CHAPITRE IX
S I. Des combinaisons.
S5i . La formation des puissances des polynômes exigeant la connaissance de la théorie éli'incntLiin? dus combinaisons , nous allons d'abord l'exposer, afin de ne pas interrompre ce que nous aurons à dire sur les puissances.
Oh nomme combinaisons de m objets n à n les différentes manières de grouper ces objets n à n , de telle sorte que deux groupes diffèrent au moins par un des objets qui y entrent.
On nomme permutations de n objets les différentes manières de les ranger suivant une figure déterminée , par exemple en ligne droite.
On est convenu de nommer arrangements de m objets n n n les différentes manières de ranger ces objets suivant une figure déterminée, en ligne droite par exemple , en les prenant n à n .
Il résulte de ces définitions que si , après avoir formé toutes les combinaisons de m objets n à n , on effectuait, dans chaque groupe de n objets toutes les permutations possibles, on obtiendrait précisément tous les arrangements possibles de ces m objets n à n . En sorte que , si l'on multiplie le nombre des combinaisons de m objets n à n , par le nombre des permutations qu'on peut faire subir à un groupe de ra objets , on obtiendra précisément pour produit le nombre des arrangements possibles de " ces m objets n à m .
Si donc on désigne par C„,„ le nombre des combinaisons de m objets «an ; par P„ lo nombre des permutations qu'on peut faire subir à un groupe de n objets; et par A»,, le nombre des arrangements possibles rie m objets n à n , on aura la relation
d'où l'on déduit C„, K =^î ;
c'est-à-dire que, pour obtenir le nombre des combinaisons de
21fi SECONDE PÀBTIË. — CHAPITRE JX.
m objets w à n , il faut diviser le nombre des arrangements possibles de ces m objets n à n , par le nombre des permutations qu'on peut faire subir a un groupe do n objets.
Nous allons donc chercher à déterminer A™., et P„ ; nous en déduirons C m .« .
Afin do fixer les idées , nous supposerons que les objets dont il s'agit sont les lettres de l'alphabet C m ,„ désignera alors le nombre de manières de prendre m lettres » a n , de telle sorte qu'on obtienne, en les multipliant, autant de produits distincts. P„ désignera le nombre de manières d'écrire à la suite les unes des autres n lettres déterminées. Enfin „,. n désignera le nombre de manières d'écrire à la suite les unes des autres n lettres, prises , de toutes les façons possibles , sur un nombre total de ni lettres.
232. Soient a , b , c , d , . . , h , k , l , les m lettres considérées.
Le nombre des arrangements de ces m lettres 1 à 1 est évidemment égal au nombre de ces lettres ; on a donc
Cherchons à former les arrangements 2 à 2 . Pour cela , il suffira de prendre tour à tour chacune des m lettres, et d'écrire à sa droite chacune des m — 1 lettres restantes; ce qui donnera
ab ba ca .la
ac be eb
ad bd cd
On aura bien ainsi tous les arrangements - 2 à 2 ; il suffit pour le démontrer do faire voir qu'aucun arrangement n'a été omis , et qu'aucun n'a été répété. Or, 1" considérons un arrangement quelconque eh . On a pris chaque lettre à son tour pour former une colonne verticale ; on a donc pris en particulier la lettre c . A la suite de cette lettre, on a écrit successivement chacune des lettres restantes; on a donc écrit en particulier la iettre k ; ce qui a donné l'arrangement ck . Donc, aucun arrangement n'a été omis.
2° Comparons deux arrangements quelconques écrits dans le tableau ci-dessus. Ou ils se trouveront dans une même colonne verticale, et alors ils différeront par la dernière lettre ; ou ils se trouveront dans deux colonnes diiïérentes, et alors ils différeront -par la
première lettre. Donc , tous les arrangements- obtenus sont distincts.
Donc enfin, on a bien ainsi tous les arrangements 2 à 2 .II reste à en déterminer le nombre. Or, il y a autant de colonnes qu'il y a d'arrangements 1 à 1 , ou de lettres ; c'est-à-dire m ; et il y a m — 1 arrangements dans chaque colonne; il y a donc en tout — 1) arrangements 2à2 ; et l'on a
Formons les arrangements 3à3 . Pour cela, il suffira de prendre tour à tour chaque arrangement 2 à 2 , et d'écrire à sa suite chacune des m — 2 lettres restantes, ce qui donnera
abl acl bel klh .
On aura bien ainsi tous les arrangements 3 à 3 . En effet :
1° Considérons un arrangement quelconque bek . On a pris, a son tour, chaque arrangement 2 a 2 pour former une colonne verticale; on a donc pris en particulier l'arrangement bc . On a écrit à la suite chacune des lettres restantes ; on a donc écrit en particulier la lettre A , ce qui a donné l'arrangement bck . Donc aucun arrangement n'a été omis.
2° Comparons deux arrangements quelconques écrits dans le tableau ci-dessus. Ou ils sont dans la même colonne verticale, et alors ils diffèrent par la dernière lettre; ou ils sont dans deux colonnes différentes, et alors ils diffèrent au moins par l'ordre des deux premières lettres, comme abk et bak . Donc tous les arrangements écrits sont distincts.
Donc enfin , on a bien ainsi tous les arrangements 3 à 3 .11 reste à en déterminer le nombre. Or, il y a autant de colonnes qu'il y a d'arrangements 2à2 , c'est-à-dire À„,, ou m(m—l) ; èt , dans chaque colonne, il y a m — 2 arrangements ; il y a donc en tout m(m — î)[m — 2) arrangements 3 à 3 ; et l'on a
La loi de formation de ces valeurs est évidente. Mais on peut la démontrer d'une manière générale. Concevons que nous ayons trouvé le nombre A«^i des arrangements n-rlkn — 1 , et que nous voulions former les arrangements «h , Pour cela, il suffira de prendre à son tour chacun des arrangements n — 1 à
»— 1 , al d'écrire à sa suite chacune des lettres restantes, lesquelles sont au nombre de m — (» — 1) ou m~n-\-i . On formera ainsi autant de colonnes verticales qu'il y a d'arrangements n — 1 àn — 1 , et dans chacune de ces colonnes il y aura m— l arrangements. 1° Aucun arrangement non n'aura été omis ; car, soit, par exemple, l'arrangement abe....gh que nous supposerons formé de n lettres. On a pris à son tour chaque arrangement n — 1 à n — 1 pour former une colonne verticale ; on a
donc pris en particulier l'arrangement abc g . On a écrit à la
suite chacune des lettres restantes ; on a donc écrit en particulier la lettre A , ce qui a formé l'arrangement abe....gh . 2° Aucun arrangement n'a été répété; car, si l'on compare deux arrangements écrits dans le tableau formé comme il vient d'être dit, ou ils seront dans une même colonne verticale, et alors ils tlifkToront pat 1 la dernière lettre ; ou ils seront dans deux colonnes différentes, et alors ils différeront au moins par l'ordre des n — 1 premières lettres , comme abc . . ,,gh et <jbc....ah .
Donc enfin on aura bien tous les arrangements n à n . Pour en déterminer le nombre, il faut multiplier le nombre des colonnes, ou le nombre des arrangements n — I àn— 1 , c'est-à-dire A m ,„, , par le nombre d'arrangements contenus dans chaque colonne, c'est-à-dire par m — n + l ; on aura donc
Cette formule étant générale , on peut y donner à n toutes les valeurs entières depuis 2 jusqu'à n ; on obtient ainsi
A.,.=i.,H-(a- «-M1 ■ Si l'on multiplie ces égalités membre à membre , qu'on supprime les facteurs A.., , A m .i , A„, 4 .... , A„,,„i communs aux deux membres, et qu'on remplace A„,i par sa valeur m , on obtient
233. Remarque. Le second membre se compose de n facteurs, qui vont en diminuant d'une unité , à partir de m qui est le premier. Ainsi le nombre des facteurs est toujours égal à l'indice n de A„.„ ; le nombre des arrangements S à 2 est exprimé par 2 facteurs; le nombre des arrangements 3à3 est exprimé par
3 facteurs, etc.; le nombre des arrangements nkn est exprimé par n facteurs.
Exemple I. Combien peut-on former de nombres de 3 chiffres avec les chiffres impairs 1,3,5,7,9? .'• Le nombre demandées! le nombre des arrangements de 6 objets
3 à 3 ; il est donc égal a un produit de 3 facteurs, dont le premier est 5 , et les autres vont en diminuant successivement d'une unité. Ce nombre est dono
5X1X3 Ou 60 .
Exemple II. Combien pourrait-on former de rubans rayés de
4 couleurs avec les 7 couleurs du prisme t
Le nombre demandé est le nombre des arrangements de 7 objets 4 à 4 ; il est donc égal à un produit de 4 facteurs, dont le premier est 7 ; et les autres vont en diminuant successivement d'une unité. Ce nombre est donc
7X6X5X4 ou 840 .
Esbhple III. Six joueurs jouent à un jeu de caries où l'on donne une carte à chacun; de combien de manières peut-il arriver qu'ils soient servis ?
Le nombre demandé est le nombre des arrangements de 32 objets 6 à 6 ; il est donc égal à un produit de 6 facteurs , dont le premier est 32 , et les autres vont en diminuant successivement d'une unité. Ce nombre est donc
32 X 31 X30 X 29 X 28 X 27 ou 652458240.
Si le jeu était de 52 cartes , le nombre demandé serait 52x51X50x49X48X47 ou 14658134400 .
854. Évaluons maintenant le nombre des permutations possibles qu'on peut faire.subirà n objets. Les permutations ne diffèrent des arrangements qu'en ce que l'on prend toutes les lettres; en d'autres termes, le nombre des permutations de n objets est égal au nombre des arrangements de n objets n à n ; c'est-àdire que l'on peut écrire
Si donc on remplace m par n dans la valeur de A„,„ , on aura la valeur de P„ . On trouve ainsi
P,=n(n— 1)(«— 2). ...2.1 ou. P„=l.è.3. ...(»— tj.n :
C'est-à-dire- que le nombre des permutations de n objets est
égal au produit de la suite naturelle des nombres, depuis 1 jusqu'à îi . .
On remarquera que, comme dans la formule des arrangements , le nombre des facteurs est égal à n .
On aurait pu établir directement cette formule.
Supposons, en effet, qu'on ait formé les permutations de n — 1 lettres a -, h , c , .... k , et que leur nombre soit P,i . Pour former les permutations de n lettres, on prendra chacune des permutations de n — 1 lettres, et on y introduira la n 4 ™ lettre , f , successivement à toutes les places. Les permutations ainsi obtenues seront toutes distinctes; car elles différeront, ou par l'ordre des n—1 lettres primitives, ou par la place qu'occupe la lettre introduite I . D'ailleurs , aucune per-
mutation ne sera omise; car, si l'on considère la permutation abic. , . , k , par exemple, on voit qu'elle provient de la permutation abc. ...h de n — 1 lettres, dans laquelle on a introduit l à la 3" place; elle a donc dû être formée. On aura donc bien ainsi toutes les permutations de n lettres. Or, chaque permutation de » — 1 lettres en fournira » de « lettres; car la lettre / . peut être mise à n places différentes.
On aura donc P. = P„i X n .
Si , dans cette formule , qui est générale , on donne à » toutes les valeurs depuis 2 jusqu'à n , on obtient
Pi = P..a P,=P,.3
p,=p.ft .
Multipliant terme à terme, supprimant les facteurs communs aux deux membres , et observant que le nombre des permutations de 1 lettre est égal à 1 , ou que P,=l , il viendra P„=1.2.3.4...« .
Exemple I. De combien de manières peut-on atteler à une diligence 5 chevaux désfgttàs'/
Le nombre demandé est celui des permutations de-' 5 objets ; sa valeur est donc
