ou

Exemple LU. De combien de manières les cartes peuvent-elles être disposées dans un paquet de 24 cartes ?

Le nombre demandé est celui des permutations de 24 objets; c'est-à-dire

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24 . En effectuant les calculs, on trouve

23S. Ayant déterminé le nombre des arrangements de ni objets nàn , et le nombre des permutations possibles de n objets , on obtient sur-le-champ le nombre des combinaisons - » à » par la formule

établie au n° 231.

En mettant pour A»,» et pour P. leurs valeurs (232, 234), on trouve

r m(m — l)(m — 2)(m — 3)....(m — n + 1) 1.2.3.4 ~ n Il y a, dans cette expression, n facteurs au numérateur et autant au dénominateur. Le numérateur a pour premier facteur le nombre total m des objets ; les autres facteurs vont en diminuant successivement d'une unité. Le dénominateur est le produit de la suite naturelle des nombres entiers depuis 1 jusqu'au nombre n d'objets qui entrent dans chaque combinaison.

On aurait pu établir aussi cette formule directement.

Supposons qu'on ait formé les combinaisons de m lettres n — 1 à n — 1 , et qu'on veuille former les combinaisons n à ji . On pourra, à la droite de chaque combinaison n — 1 à n— 1 , écrire successivement chacune des m—(n — 1) ou m — «4-1 lettres restantes. Mais , il est facile de voir que chaque combinaison nàn sera ainsi répétée n fois; car elle proviendra également de l'introduction de l'une quelconque des n lettres qui y entrent, dans la combinaison formée des n—1 autres.

Pour avoir le nombre des combinaisons n à » , il faudra donc multiplier le nombre des combinaisons n—1 à « — 1 par m — n + 1 , et diviser le produit par » . Ainsi on a

Si , dans cette formule qui est générale, on donne à n toutes les valeurs depuis 2 jusqu'à n , on aura la série d'égalités

Multipliant terme à terme, supprimant les facteurs communs aux deux membres, et remarquant que C,i=ffl , ou y , il viendra

Exemple L Dans un conseil, composé de 12 membres, on tire au sort Mie commission de 5 membres, pour s'occuper d'un certain travail. De combien de manières cette commission pourra» t-elle être composée ?

- Le nombre demandé est celui des combinaisons de 12 objets 5 à 5 . Le numérateur devra se composer des 5 facteurs 12.11.10.9.8 ; et le dénominateur des 5 facteurs 1 .2.3.4.5 . Le nombre cherché sera donc