ou

2S6. Rhhahoub I. La valeur de ' C„. K peut être mise sous une autre forme qu'il est bon de connaître.

Si l'on multiplie les deux termes de C„, n par le produit (m— n)(m~n— n— 2).... 3.2.1 , ou 1.2.3. 4... .(m — n) ,

on trouve

1.2.3.4 .... ~n " ~ 2. 3... (m— n)' Or, le numérateur est alors le produit de la suite descendante des nombres entiers depuis m jusqu'à 1 , ou , ce qui revient, au même, le produitde la suite naturelle des nombres depuis 1 jusqu'à m . On peut donc écrire

"■" 1.2.3.... «Xl.2.3.... (m— n) ' Et, comme C m . n est nécessairement un nombre entier, on voit que le produit de la suite naturelle des nombres depuis 1 jusqu'à m est toujours divisible par le produit 1 . 2 . 3 . . . . n , par le produit 1 . 2 , 3 . . . . (m— n) , et par le produit de ces deux produits.

On aurait pu remarquer de même , sous la première forme de C., , queleproduit m(m — l)(m — 2) (m— n-f-1) est toujours divisible par le prodait 1.2.3 n ; ou que le produit de

a nombres consécutifs est toujours divisible par le produit des n premiers nombres.

Remarque 11. 11 résulte aussi de la forme que nous venons de donner à C m ,„ que Te nombre des combinaisons de m objets n n n est égal au nombre dis combinaisons de ces mêmes objets

En effet, la formule ci-dessus étant générale, on peut donner à n une valeur quelconque moindre que m ; donnons-lui In

sultera que m— n sera changé en m — (m— n) On aura donc

" 1.4.3. ...(m— »)X1.2.3....n " Par conséquent C„,.=C„, 1B » ,

ce qu'il fallait démontrer.

On aurait pu apercevoir cette propriété directement. Car, si l'on prend n lettres , par exemple , sur m , il en resté m — n ;à chaque combinaison de n lettres répond une combinaison de m — n lettres, et vice versa. Et si les combinaisons nkn sont toutes distinctes, il en sera de même des combinaisons m—n a m — n , et vice versa. Donc ces combinaisons sont en même nombre.

257. Problème 1. Parmi les combinaisons de 12 lettres a, b, c, .... etc., 5à5 .combien y en a-t-il qui contiennent à la/ois 3 lettres déterminées a , b , c P

Pour résoudre ce problème, concevons que l'on veuille former les combinaisons ô à 5 qui contiennent à la fois a , b et e . Nous commencerons par écrire ces 3 lettres ; et, à la suite de ces 3 lettres, il en faudra écrire 2 autres , prises parmi les 12 —" .ou 9 lettres restantes. Le nombre demandé est donc ce 1 -" J binaisons de 9 lettres 2 à 2 ; c'est-à-dire

Si l'on demandait généralement : combien, parmi les cmnbinaisonsde m lettres n à n , y en a-t-il gui contiennent à la fois p lettres tlètermi liras? Ou remarquerait de même que, pour former les combi n nisons demandées, il faudrait d'abord écrire les p lettres qui doivent entrer dans toutes ces combinaisons, puis compléter le nombre de n lettres dans chaque combinaison, en prenant les n—p lettres complémentaires parmi 'es m — p lettres non encore écrites, l.e nombre demande serait donc celui des combinaisons de m — p lettres n — p à n—p , c'est-à-dire {m— p)(m^p— l)(m— p~ 2),... [m— p— (n— p) + 1]

(m. — p)(m — p — l)(m—p — 2), . . .(ni — w-f-1) 0U 1 2 3 .... (n—p) '

Problème II. Parmi les combinaisons de 12 lettres a, b, c, .. ., etc., S à 5 , combien y en a-t-il qui ne contiennent ni a , ni b , ni c?

Si l'on met à part les 3 lettres o , t> , e qui ne doivent pas entrer dans les combinaisons demandées, il en restera 12 — 3 ou