FORMATION DES PUISSANCES

nombre des fadeurs serait pair ou impair. Ainsi , la puissance m™ d'une quantité négative a le signe -f- ou le signe — , suivant que m est pair ou impair.

On trouvera de cette manière ■ .

(-a)>=+a>; (— a)»=— tf ; (— o/=— a»;

et ainsi de suite.

De même

(— Sa'PaO'^-f 81ûWV ; (— 'Aa , tr s zY = -~ 243a u 6"te s . 'J39. Occupons - nous maintenant de former la m 1 *"' puissance d'un binôme.

On pourrait, étant donné ce binôme, en obtenir par des mulliplicatïons successives le carré , puis le cube, puis lo 4' puissance , et enfin une puissance quelconque. Mais le but que l'on doit se proposer est de découvrir une loi qui permette de développer la puissance m - ™ sans être obligé de passer par les puissances intermédiaires.

Si l'on calcule, par des multiplications successives, les puissances successives d'un binôme très-simple, tel que X-^-a , comme ce binôme est homogène, on voit bien que ses puissances surent homogènes; et, comme il est du premier degré , on reconnaît sans peine que son carré sera du second , son cube du troisième , etc. ; et enfin que sa puissance m"" sera du degré m . En sorte que la loi des exposants est très-simple, puisque , dans chaque terme du développement , la tomme des exposants doit être égale à m .

Mais, quant à la loi des coefficients, on ne peut lu découvrir a la seule inspection des résultats ; cela tient aux réductions qui sa sont effectuées entre les termes semblables, et par suite desquelles .la trace des opérations qui les ont fournis a disparu.

Pour empêcher ces réductions, on commence par multiplier entre eux des binômes dont le premier terme est le même, mais dont les seconds termes sont différents, telsque x-\-a , x-\-b , x+e i etc.

On trouve ainsi :

1° Que le produit (x -f a) (a + i>) , revient à x t -\-a\x-\-ab .

2" Que le produit, {x -f a) (x -f- b) .(« -f e) , revient à

3" Que le produit (x-\-a}(x-{- b)(x-i-c)(x -\-d) , revient à ; x + àbcd ,

x* + ab

+ ac

+abd

+ad

■i-'acd

+ bc

+ bcd

+ bd +td

Or, dans ces développements il y a une loi manifeste :

L'exposant de t, dans le premier terme est égal au nombre des facteurs biiiomes; il va ensuite en diminuant d'une unité d'un terme à l'autre , jusqu'au dernier qui no contient plus x , c'est-à-dire où l'exposant de x est zéro (42 , Item. H).

Le coefficient du premier terme est l'unit^.

Le coefficient du second terme est la somme des seconds termes des binômes. .

Le coefficient du troisième terme est la somme des produits 2 à 2 des seconds ternies des binômes.

Le coefficient du quatrième terme est la somme des produits 3 à 3 des seconds termes des binômes , et ainsi de suite.

Enfin le dernier terme est le produit des seconds termes de tous les binômes.

S40. Il s'agit de démontrer que cette loi est générale. Pour cela, admettons qu'elle s'applique à un produit de m — 1 binômes, et faisons voir qu'elle s'appliquera dès lors à un-produit contenant un l'acteur binôme de plus, c'est-à-dire m facteurs binômes.

Soient donc x-\-a, x-\-b , x-\-c, œ-\-d, x-^k ,

les iw — 1 binômes pour lesquels nous supposons que la loi énoncée ci-dessus se vérifie. Désignons par Si la somme des seconds termes de ces binômes, par S, la somme de leurs produits 2à2, par Sj la somme de leurs produits 3 à 3 , en général par S, la somme de leurs produits nàn . D'après la loi admise , le développement du produit de ces m — 1 facteurs binômes sera x"-< '-f-S^+S^"- 1 .... +S»^—'-f S.a:"-"- 1 .... -j-S-,.

Introduisons un m*" facteur x -f- 1 , lé produit sera «-+S»-|as^+S, la^....+S. |*~\.i.-f-S^/.

Dans ce développement , l'exposant du premier terme est égal au nombre m des facteurs binômes ; l'exposant de x va ensuite en diminuant d'une unité d'un terme à l'autre, jusqu'au dernier où il est zéro , c'est-à-dire où x n'entre pas.

FORMATION DES PlilSSASCcS. 229

Le coefficient du premier terme est l'unité.

Le coefficient du second terme se compose de 1h somme Si des seconds termes des m — 1 premiers binômes, plus du second terme / du m"-" binôme; i! est donc égal à la somme des seconds termes des ni binômes. ■ \

Le coefficient du terme qui en a 2 avant lui se compose de la somme S, des produits 2 à 2 des seconds termes des m — 1 premiers binômes, plus du produit S,l de la somme des seconds termes de ces m — 1 premiers binômes, par le second terme l du m"""; en d'autres termes^ il se compose des produits 2à2 des seconds termes des m binômes , puisque S. représente la somme de ceux où n'entre pas / , et que S,i est la somme de tous ceux qui contiennent l .

Le coefficient du ternie qui en a 3 avant lui se compose de la somme S, des produits 3à3 des seconds le mies des m— 1 premiers binômes, plus du produit S,£ de la somme de leurs produits 2à2 par le second terme t du binôme; end'autres. termes, il se compose de la somme des produits 3 à 3 des seconds ternies des m binômes , puisque S, représente la somme de ceux où n'entre pas l , et que , S,i est la somme de tous ceux qui contiennent ■■' .

Généralement, le coefficient du terme en x"~ n , ou du terme qui en a » avant lui , se compose de la somme S„ des produits n à n des seconds termes des m — 1 premiers binômes, plus du produit S,( de lasomme de leurs produits n — 1 à» — 1 par le second terme / du m""" binôme ; en d'autres termes, il se compose de la somme des produits n à n des seconds termes des m binômes , puisque S„ est la somme de ceux où n'entre pas l , etque S„,/ représente la somme de tons ceux qui contiennent l.

Enfin, S„, étant le produit des seconds termes des m — 1 premiers binômes , S„,i est le produit îles seconds termes des m binômes.

Ainsi la loi énoncée étant supposée vérifiée pour m — 1 binômes, est vraie encore pour un binôme de plus. Or, ellen été vérifiée pour 4 binômes , donc elle est vraie pour 5 ; étant vraie pour 5 binômes elle l'est pour 6, et ainsi de suite; donc elle est générale;

241 . Pour déduire de cette loi celle du développement de la puissance d'un même binôme x -{• a , il n'y a qu'à supposer que tous les seconds termes a , 6 , c , l deviennont égaux.

La somme des seconds termes des binômes deviendra égale à a répété autant de fois qu'il y a de binômes, -c'est-à-dire m fois. Le coefficient du second terme du développement sera donc ma .

!,a somme dos produits 2 à 2 des seconds termes des binômes deviendra égale à o* , répété au tout de ibis qu'on peut faire de

combinaisons 2 à 2 avec m lettres, c'est-à-dire ^ fois. Le coefficient du troisième terme du développement sera donc égal m(m— 1) 1.2

La somme des produits 3à3 des seconds ternies- des binômes doviendra égale à , répété .autant de fois qu'on pèut faire de combinaisons 3 à 3 avec m lettres, c'est-à-dire m (m— l)[m-- 2) j. o j s ^ e coefficient du quatrième terme du dé-

j i ii «(»— ljfm — S) , veloppement sera donc égala — — - '

Généralement, la somme des produits n à n des seconds termes des binômes deviendra égale à à" , répété autant de fois qu'on peut faire de combinaisons n a n avec m lettres, c'est-à-dire

un nombre de fois marqué par ^ 2 3 ï» —

Le coefficient du (n +1)*" terme , ou de celui qui en a n avanl lui , sera donc égal ù

1.2.3.... 9 EniEn le produit des seconds termes des binômes deviendra égal à rf" ; ainsi le dernier terme du développement sera /t™ . On aura donc enfin

Telle est ki formule dit binôme; cette formule est due à'Newton.

2-52. Pour appliquer cette formule à un exemple particulier, il n'est pas nécessaire d'y remplacer m par sa valeur particulière. Il est plus commode d'observer d'après quelle loi chaque ternit peut se déduire du précédent ; cette loi connue , on pourra déve- . lopper une puissance quelconque de t -f a sans le secours de la formule générale;

Le premier terme x m a pour exposant celui de la puissance qu'on veut développer.

La terme maa** -1 peut se déduire du précédent en le multipliant par m , exposant de a- danB ce terme, en introdui-

FORMATION DES PUISHAHCES. 2M

sant le facteur a , c'est-ii-dire en augmentant l'exposant de a d'une imité , et en diminuant au contraire celui fie x d'une

unité.

Le terme ^ W '~ 1 - u'oa"" 11 peut se déduire du précédent

Hin.ï"- 1 en le multipliant par m — 1 .exposant de x dans ce terme, en divisant par 3 , nombre supérieur d'une unité à l'exposant de a dans le même terme, puis en augmentant d'une unité l'exposant de a. et en diminuant d'une unité l'exposant de x .

Le terme ^"^ ■ ^^ ^ ^ a'x"-' > peut se déduire du précédent "^-— aV"-* en le multipliant par m — 2 , exposant

de x dans ce terme, en le divisant par 3 , nombre supérieur d'une unité à l'exposant de a dans ce même terme, puis en augmentant d'une unité l'exposant de a- et en diminuant d'une unité l'exposant de x .

Cette loi est générale. Pour le faire voir, considérons le terme général

m(m — l)(m — S)... .(m — w -f 2)(m— n-f 1) ' L J "" 1.2.3 ..... (n— 1) n Pour en déduire le terme précédent, il n'y a qu'à changer, n en îi — i , ce quidonne

m(«t— 2) ■ . . . («-B+3)(m-B4-il) ^,^ M , L iJ ""- 1.2. 3 .... (n— 2) . (n—1) , On reconnaît ainsi que pour déduire au contraire le terme [«] du terme précédent [n — 1] , il faut le multiplier par («i — , exposant de x dans ce terme, le diviser par n , nombre supérieur d'une imité à l'exposant n — 1 de a dans ce même terme, puis augmenter d'une unité l'exposant de a et diminuer d'une unité l'exposant de x . :

M5. Une autre remarque peut servir à abiéger les calculs , c'est que les coefficient* (les termes éiitdemrnt. é.lniijnh des extrêmes son/ égaux.

En effet : le nombre total des termes du développement est fli + 1 , puisque le premier terme est af" , que l'exposant de x va en diminuant d'une unité d'un terme à l'autre, etque le dernier terme ne contient pas x .

Cela posé, considérons le terme qui en a « avant lui; ce terme a pour coefficient le nombre dus combinaisons de tri lettres n à n

232 SECONDE PABT1E. — CHAPITBE IX.

ou C„,„ . Considérons 4e terme qui en a n après lui; d'après la remarque qui précède , il en aura m — n avant lui, puisque le nombre des termes qui suivent , ajouté au nombre des termes qui précèdent, doit faire m. . Ce terme aura donc pour coefficient le nombre des combinaisons de m lettres m — » à m — n ou - Or, le nombre des combinaisons de m lettres m — n à m — n est égal au nombre des combinaisons de m lettres n à « (236 , Rem. III) ; donc ces deux coefficients sont égaux.

On aurait pu arriver à la même conséquence en remarquant que le développement de (x+a)" doit être le même que celui de (a -j- xy ; et que , puisque , dans ces deux développements , les coefficients se forment d'après la même loi , denx termes de même rang doivent avoir le iiièmi: coefficient. Or, deux termes qui ont le môme rang dans les doux développements sont précisément deux termes également éloignés des extrêmes dans l'un de ces développements considéré seul.

244. Il résulte de la remarque précédente que si m est impair, auquel cas il y aura un nombre pair m + 3 de termes , tous les coefficients se reproduiront deux fois ; il suffira donc de calculer la moitié des termes; les termes suivants s'obtiendront en récrivant les précédents en ordre inverse, en y changeant x en a et a

Si ■ m est pair, auquel cas il y aura un nombre impair m + 1 de termes, il. y aura un terme du milieu dont le coefficient ne se reproduira pas; il faudra pousser le calcul jusqu'à ce terme; les suivants se déduiront des précédents comme il vient d'Être dit.

On peut même se dispenser de compter les termes. '

Dans le cas de m impair, on reconnaîtra qu'on est parvenu au dernier terme de la première moitié, lorsque l'exposant de x ne surpassera plus celui de a que d'uni' unité. En effet, soit Ma'ir' le terme qui termine celte première moitié ; le suivant devra être tHa"x f ; mais, d'après la loi de formation, on doit avoir q=p-\-ï . . Dans le cas de m pair, on reconnaîtra qu'on est parvenu au terme du milieu, quand les exposants de a et de x seront égaux. Car, soit Ma*** le terme du milieu; le terme précédent contiendra a'-'x^ , et le terme suivant contiendra au contraire cf^x*-' . Or, ces deux termes étant également éloignés des extrêmes , doivent pouvoir se déduire l'un" de l'autre en changeant x en a et a en x ; ce qui exige qu'on ait p-{-l=:q-{-l et p — — 1 , ou simplement p= g .

243. Appliquons la formule du binôme et les remarques que nous venons de faire au développement de .

Le premier terme sera x 7 .