FORMATION DES PUISSANCES

Pour obtenir le second, il faudra multiplier le premier par 7 , introduire le facteur ■ a , et diminuer l'exposant de x ' d'une unité, ce qui donne 7ax* .

Pour obtenir le suivant , il Faut multiplier celui-ci par 6 , diviser par 1 + t ■ ou 2 , ce qui revient à multiplier par 3- , puis augmenter d'une unité l'exposant de a et diminuer d'une unité l'exposant de x , ce qui donne 2la*.r' .

Pour obtenir le suivant, il faut multiplier celui-ci par 5 , diviser par 2 -j- 1 ou ;i , ou , ce qui est plus commode , diviser d'abord par 3 et multiplier ensuite par 5 , puis augmenter d'une unité l'exposant de a et diminuer d'une unité l'exposant de' x , ce qui donne Sba'x* .

Comme l'exposant do x ne surpasse plus celui de a que d'une unité , les termes suivants s'obtiendront en récrivant en ordre inverse les termes déjà écrits, après avoir changé r. en a et a en x , Ces termes sont donc SSu'x 1 , 21a 5 a^ , 7a"x et «' . 1 , '

Ainsi on aura

On trouvera de môme ,

(x+a) i =:x i -\-4ax s + 6a t x i -\-4a''x + a i .

-j-aa^-f-a 8 .

246. Nous avons supposé jusqu'ici que le binôme à élever à la puissance m avait ses deux termes positifs; si l'on avait à élever à la puissance m le binôme .r — a , le développement de cette puissance pourrait se déduire de celui de (x-±a) n en changeant a en —a . Les puissances impaires de — a étant négatives, et ses puissances paires étant positives (238), les termes de rang impair, qui contiennent a à des puissances paires, seront positif , et les termes de rang pair , qui contiennent a à des puissances impaires, seront négatifs, c'est-à-dire que les termes seront alternativement positifs et négatifs. Ainsi on aura

Le. dernier terme o™ sera précédé du signe + s'il est de rang impair , c'est-à-dire si m + 1 est impair , oii si m est pair. Il sera précédé du signe — s'il est de rang pair, c'est-à-dire si m est impair.

On trouvera ainsi , (a-— <0'=;r , —5aas 4 +luBV — 10a'x t + 6iA»~ rf . — a) 6 = a:* — Boa: 5 + 1 5 iAb'— 20. oV +15 a>x , ~ 00% + n" .

847. Soit maintenant à développer une puissance d'un binôme quelconque, par exemple (2a 1 — Aab) s .

On commencera par poser 2a'=p , 3afi=ç .On aura -ainsi "à développer (p— gf ; ce qui donnera

p*— 5p i g-\-Wp>q'— 10jpy-f-5j>V— 9" - On aura ensuite

p=2o» , p*=Ao> , p i =B«« , p>=16a" , p l =22a"> . ' g=3ab , tf=9a'b>, &=a,7<tP, tf=%\<tb\ q'—iiSafb*.

Substituant ces valeurs dans le développement ci-dessus, on obtiendra

Ma K — 5.t6a s .3ab+lQ.$a«.9a>b' — 10.W.27a , b , +Ù.'2a''.i\M l

— 243 a [ ù» ; ou , en effectuant les multiplications indiquées ,

32a' 1 — 240o"i-f 720n 8 6 , — IOSOû^+SIOo'û 1 — 243« S 6 J . On développerait do la môme manière une puissance quelconque d'un binôme donné.

2-SO. Remarque I. Si , dans le développement de (x-\-à) a , on suppose x = \ et a=\ , les puissances de x etde a se réduisent toutes à l'unité; en sorte que lo développement se réduit à la somme des coefficients. Mais, en même temps, l'expression (ic-\-à) m se réduit à Cl-fl)"' ou à 2™ . Ainsi donc : la .tomme des coefficients, dans-le développement de (x+a)" , est égale à lu m™ puissance de 2 .

l'ar exemple, dans (ai-f-o) 1 , on a vu que les coefficients sont

Si l'on en fait la somme, on trouve 128 , qui estbien la 7" puissance de 2 .

De même, les coefficients de (x-j-af sont, comme on l'a vu,

La somme de ces coefficients est 256 , qui est la 8' puissance de 2 .

Rem*bque II. Cette propriété peut trouver son application. Supposons, par exemple, que l'on demande de combien de manières

PURMATION DES PUISSAHCES.

on peut partager m objets en deux groupes. On remarquera que l'on peut d'abord ne rien mettre dans le premier groupe, et mettre les m objets dans le second , ce qui ne peut se faire que d'une manière. On peut ensuite mettre 1 objet dans le premier groupe , et m — 1 dans le second, ce qui peut se faire de m manières. On peut en mettre 2 dans le premier et m — 2 dans le second, en qui peut se faire d'autant de manières qu'il y a de combinaisons

possibles de m objets 2 à 2 , c'est-à-dire m ' m g — . On peut enmettre 3 dans le premier groupe , et m — 3 dans le second, ce qui peut se faire d'autant de manières qu'il y a de combinaisons possibles de m objets 3 à 3 , c'est-à-dire ™ (m ~ 1)( '"~ 2i .

En continuant ainsi , on voit que les différentes manières d'exécuter le partage demandé sont en nombres marqués par les coefficients du développement de {x-\-a)" . Donc, le nombre total de manières d'effectuer ce partage , sera exprimé par la somme des coefficients de ce développement, c'est-à-dire par 2™ .. ■ ■■■

Exemple I. Huit personnes sont placées dans 2 chambres , de combien de manières cela peut-il se faire?

{Réponse : 2* .ou 256.)

Exemple II. On veut mettre 12 pièces de monnaie dans une bourse à deux compartiments; de combien île manières peut-on te faire!

(Réponse: 2" ou 40GG.)

Exemple 111. Avec un jeu de 52 cartes on propose de faire iparts ; de combien de manières pourra-t-on le faire?

(Réponse : 2 n ou 4503599627370496 .)

Remakque in. Si l'on fait x= 1 ' et a = 1 dans le développement de [x — àf , on obtient pour résultat la somme des coefficients de rang impair du développement de (x-\-a'f , moins la somme de ses coefficients de rang pair. La différence entre ces deux sommes est donc nulle , puisque (1 — 1)°' se réduit à zéro.

Mi». Soit maintenant à développer la puissance w 1 " d'un polynôme quelconque a-j- 4-f" c-\- d + e , . : . +k-\-t , que nous désignerons par P pour abréger. Posons

b + e + d + e.... +* + !«*., nous aurons . t . ,

V=(x+ a r=x"+max™-<. . .+ , f n J l) "- (m ^+ i} a»x^»...+a-". Dans ce développement, H faudra remplacer x" , i*- 1 , etc.,

par leurs valeurs. Pour cela, posons

nous aurons x = b-\-y ; d'où l'on tirera, par exemple, =(y+ô)~-"=jr- "+(»»— n)6}"—

+ V Km 7~''::;: (, "~T p+1 V ----... .+>--- •

Dans ce nouveau développement, il faudra remplacer , y - " -1 , etc., par leurs valeurs. Pour cela, posons

nous aurons y=c~^-z ; d'où l'on déduira , par exemple,

(7/i— w— ff)(ffl--n— p— l)...(m— m— p— -

Dans ce nouveau développement, il faudra remplacer s"-"-» , î""" 1 " , etc., par leurs valeurs. Pour cela, posons

e + ....+k + t = u , nousaurons s = d-\-u ; d'où l'on tirera , par exemple,

# M== tf^-f-. | (m^^j-ç) rfu — p-w ....

. -|- (»'-n-p-g)(m-«-p-g-l).-(w-^-iii-g-r+l) ( ^ m „ M r

.... + £■■ -~. / En continuant ainsi , on parviendra à des développements dans lesquels n'entreront plus que les diverses puissances de * + / , que l'on sait développer. On obtiendra donc le développement total par des substitutions successives.

Soit, par exemple, à développer (a-f-i-J-éJ? . On aura d'abord

(a-\-xy=a t + 3a t x + 3ax* + x' .

On aura ensuite

x t = b t + Sbc +0» , x* = b i -j r Zb*c-{-Zbc t + c i .

Et, en substituant, et effectuant les calculs,

(a+ô+c)^a 1 +3o , H-3«*c+3a6 , 4^aic+3oe , +o a -|-36•c+3fic»+c , . Remarque. On peut encore écrire ce développement ainsi :