FORMATION DES PUISSANCES. 2S

2BO. On peut se proposer de trouver le ternie général du développement de P~ .

l'our cela, il faudra, dans le terme général de (x-\-a)'" .remplacer af - " par le terme général de son développement , c'està-dire, par le terme général du développement de (y -f- b)"- n . Puis, -dans ce second terme général, remplacer p™-"-" parle terme général du développement de (a-(-e)~T*-* . Puis, dans ce troisième terme général , remplacer g^—t-v p ar i e terme général du développement de [« + d)™ - " - »* - ' . Et ainsi de suite.

Pour fixer les idées, supposons que P n'ait que les cinq termes a-\-b-\-c-\- d-fe ; ou que u=e . En effectuant les substitutions dont on vient de parler, on trouvera, au numérateur du coefficient du terme général , la suite des (acteurs

puis m — n , m — » — 1 , .... , m— S— p-f-1 ;

puis m — n—p , m— n— p— 1 , m—n — p~-q+l ;

puis m-n-p—q, m—n—p—q—ï , m— n—p— q— r+1 .

On voit que ces facteurs forment ia suite descendante des nombres entiers depuis m jusqu'à m—n — p — q — r-f-1 , ou jusqu'à i+1 ; en désignant par s le nombre m~-~n—p — q — r . On peut prolonger cette suite de facleurs jusqu'à l'unité, sauf à multiplier le dénominateur par s(s— 1). .. .3.2.1 , ou, ce qui revient au même , par 1 . 2 . 3 .... s .

Le dénominateur sera alors formé du produit 1.2.3....nX1.2.3....î>X1.2.3....gX1.2.3....rX1.2.3... .s .

Quant au monôme affecté de ce coefficient, ce sera ' ou tf'SVdV .

Le terme général demandé sera donc enfin .

yj ■ («-p» jft.-.*-

1.2.3...nXI.2.3... P X1.2.3....gX1.2.3...rX1.2.3...s ' avec la condition n-\-p-\-q-\-r-\-s = m .

Il serait facile de généraliser ce résultat.

Soi. Remarque I. Le coefficient de ce terme général étant nécessairement un nombre entier, il en résulte que le produit de ia suite naturelle des nombres depuis 1 jusqu'à m , est divisible par le produit