CHAPITRE H

OES QUATRE OPÉRATIONS FOSHAMKST.il.ES, ET OF.S FIUCTIHXS ALCUBBIODES.

23. Nous ne nous occuperons dans ce chapitre et dans le suivant que des expressions algébriques rationnelles , en commençant par celles qui sont entières. Nous supposerons de plus , si elles sont monômes, qu'elles sont positives , ou que, si elles sont polynômes, l'ensemble des termes positifs l' emporte en valeur absolue sur l'ensemble des termes négatifs.

Nous verrons plus tard (chap. îv ) le sens qu'il faut attrihuer aux opérations algébriques et aux quantités mêmes sur lesquelles elles s'effectuent , lorsque la condition dont nous venons de parler n'est pas remplie.

g 1. De l'addition.

28. En ayant égard h la restriction exprimée dans le numéro précédent, additionner deux expressions algébriques, c'est ajouter à-la valeur absolue de la première , la valeur absolue de la seconde.

1° Si les deux expressions a additionner sont deux monômes semblables (22) , on additionnera les coefficients , et l'on écrira à la suite de la somme la partie littérale commune. Par exemple, les deux expressions ÔoW et 7a*a? ontpour somme 12aV .

2" Si les deux expressions à additionner sont deux monômes dissemblables, il suffira d'écrire le second à la suite du premier en les séparant par le signe -(- ; et le résultat ne sera susceptible d'aucune simplification. Par exemple, la somme des expressions Ôtte? et 7<rV est

5oV-|-7aW .

27. Supposons maintenant que les expressions à additionner soient polynômes; et qu'à a — b ,parexemple, on se propose d'ajouter c — d .

Si à la suite de a — b on écrivait le premier terme de c— d en le faisant précéder du signe + , ce qui donnerait a — b-\-c , on aurait ajouté à a — 6 une quantité trop grande de d ; le résultat serait donc lui-même trop grand de d . Pour lui donner sa véri-

OPÉRATIONS rONDAMBNTAI.ES. 13

lablc valeur, il faut donc le diminuer de d , ce qui se fera en écrivant à 8a suite — d ; et l'on aura

On voit qu'il a suffi d'écrire à la suite de a — b chacun des termes de c — d , avec le signe qu'il avait; car le terme c qui n'était précédé d'aucun signe , devait être regardé comme précédé du signe + , (19),

En répétant les raisonnements qui précèdent pour des polynômes composés d'autant de termes qu'on voudra, on verrait de même que les termes positifs du second polynôme doivent s'écrire à la somme avec le signe -|- , et que les termes négatifs de ce même polynôme doivent s'écrire à la somme avec le signe — . En d'autres termes : Pour additionner deux polynômes , onécril le second à la suite du premier en conservant à chaque terme son signe.

Remarque. La règle serait évidemment la même pour ajouter un polynôme à un monôme.

S8. Si la somme présente alors des termes semblables, il faut en opérer la réduction (22), ce qui simplifie le résultat.

Soient, par exemple, à additionner les polynômes ia*a*— 6oV-[-7ax t —9^ et Ua^-\- 10a?' ,

on trouvera 9 a'x''— i a , x'~4.ax l -\-x* . ,

Soient de môme , les polynômes :

et àa'b— 3ab*-\-b* ,

on trouvera Ga-b— 3 b" .

§ II. De la soaslraclion.

29. D'après l'hypothèse admise dans ce chapitre , soustraire deux expressions algébriques l'une de l'autre, c'est retrancher de la valeur absolue de la première la valeur absolue de la seconde. 1° Si les deux expressions sont deux monômes semblables, on retranchera le coefficient de la seconde du coefficient de la première, ce que nous supposerons possible , et l'ou écrira à la suite de la différence la partie littérale commune. Par exemple , la différence entre 7o?bx et 4a'bx est évidemment Za*bx .

2° Si les expressions à soustraire sont deux monômes dissemblables , on écrira le second à la suite du premier en les séparant par le signe — jetkrésultatneserasusceptibled'aucunesimplificatinn.

lîi pnEMiliRE PAiirji:. — chapitiie u.

Ainsiladifterencedesmonomes âu,r* et 3oV est .'iaa; 1 — 3oV.

30. Supposons maintenant que l'expression il soustraire soit polynôme, celle dont on soustrait pouvant être polynôme ou monôme. Par exemple, supposons que de a — b , on veuille soustraire c — d .

Siàlasuitede a — b on écrivait le terme e avec le signe —, c'est-à-dire si de a — b on retranchait c , ce qui donnerait a — b — o , on aurait évidemment retranché une quantité tropgrande de d ; le résultat serait donc trop petit de d .Pour lui rendre sa vraie valeur il faudra donc lui ajouter d , ce qui se fera en écrivant + d à la suite, et l'on aura a— 6— e-\-d .

On remarquera que le terme o qui avait, ou était censé avoir, le signe -f- dans ie polynôme à soustraire, a le signe — au résultat; et que le terme d qui avait le signe — dans le polynôme à soustraire, a le signe -|* au résultat.

fin répétant les mêmes raisonnements et les mêmes observations pour des polynômes, composés d'autant do termes qu'on voudra, on verrait de même que tout terme ayant le signe -j- dansfe polynôme à soustraire devra être écrit au résultat avec le signe — , et que tout terme ayant le signe — dans le polynôme à soustraire , devraêtre écrit au résultat avec le signe -|- . Delà cette règle : Pour soustraire un polynôme d'un autre, on l'écrit à la suite de cet autre en changeant le signe de chacun de ses termes;

Si la différence ainsi obtenue présente des termes semblables, il faut, pour simplifier le résultat, opérer la réduction (22) de ces termes.

Exemples. I. Du polynôme BaV— AaW— Aax^a?

on veut soustraire 4a\c" — &à?3?-\-7aaï — 9a^ , on aura d'abord pour résultat

ou , en réduisant ,

li. Si de d'-j-Zab + à'' ou soustrait tf — Îab+P ; on trouvera pour reste

o' -f- 2ab + b*— a*+ lab— b> ou, en réduisant, iab .

31. Remarque sur l'usage des parenthèses. Il arrive souvent que l'on a intérêt à regarder un polynôme, soit comme la somme , soit comme la différence de deux autres polynômes. Pour cela, on réunit

0PÉ1IATJ0NS ÏOHDAMtNTALtS.

entre parenthèses tous les ternies qu'on regarde comme composant le polynôme ajouté ou soustrait, et l'on fait précéder ces parenthèses du signe -f- dans le premier cas, ou du signe — dans le second. Mais , afin d'avoir égard aux règles données (27, 30) pour l'addition ou pour la soustraction des polynômes, si l'on met -fdevant les parenthèses, on écrit les termes entre parenthèses chacun avec le signe qu'il avait ; tandis que si l'on met — devant les parenthèses, on écrit les termes entre parenthèses , chacun avec un signe contraire. Si, dans la suite des calculs ou des raisonnements, on vient à supprimer les parenthèses , c'est-à-dire à effectuer l'opération indiquée sur le polynôme qu'elle renfermait, ses termes conservent leur signe si les parenthèses étaient précédées du signe -f , et chacun d'eux en change au contraire si les parenthèses étaient précédées du signe — . Dans un cas, comme dans l'autre, on reproduit ainsi le polynôme total , tel qu'il était- avant l' introduction des parenthèses.

Soit , par exemple , le polynôme

On pourra l'écrire de chacune des manières suivantes : a+ib-o + d-e+f-ff + k) , a + b-(e-d + e-f+g-h) , a +b-c+(d-e+/-g+A) , a + b—e + d—(e-f+g-h) , etc. ,

et, en supprimant les parenthèses , c'est-à-dire en effectuant l'addition ou la soustraction indiquées, on reproduira le polynôme primitif

S H!. De la multiplication.

59. D'après les restrictions établies au commencement de ce chapitre, le faut que nous nous proposons dans la multiplication algébrique sera le même qu'en arithmétique ; c'est-à-dire qu'étant données deux expressions algébriques, monômes ou polynômes, nous chercherons à en former une troisième dont la valeur numérique on absolue soit le produit des valeurs absolues des deux premières.

Supposons donc d'abord que les deux facteurs soient deux monômes ; par exemple §<?&x et îa'by* .

' 16 PREMlkBH PAKT1E. — CHAPITRE II.

Le premier monôme 5(i*È*r représente le résultat qu'on obtiendrait en multipliant 5 par le produit de trois facteurs égaux h a ', puis en multipliant le résultat de celte première multiplication prir le produit de deux facteurs égaux k b , et en multipliant enfin le résultat de cette seconde multiplication par le facteur s - Or, on a vu en arithmétique que multiplier un nombre par un produit de plusieurs facteurs revient à multiplier ce nombre successivement par chacun de ces facteurs; et ce principe subsiste pour les quantités fractionnaires comme pour les nombres entiers. Le monôme 5nW;c pourra donc s'écrire

De même, le monôme 3a'èy* pourra s'écrire 3XaXoX&XyXi/ .

Et, en vertu du principe déjà invoqué ci-dessus, on obtiendra le produit demandé en multipliant le premier monôme successivement par chacun des facteurs du second; ce qui donnera

5x<*X«XûXôXôxa ; x3Xa'X«XiXyXî' :

Mais dans un produit de plusieurs facteurs, entiers ou fractionnaires , on peut intervertir l'ordre des facteurs sans changer le produit. On pourra donc, en rapprochant les fadeurs égaux, écrire le produit de la manière suivante :

5x3XaX0XoX«XaX&Xôx6Xa!XyXy .

Le produit de 5 par 3 est 15. Ce produit doit être multiplie successivement par cinq facteurs égaux à a, ce qui revient à le multiplier par le produit effectué de ces cinq facteurs, ou par a*. On aura donc ainsi 15X»'. Ce produit doit être multiplié à son tour successivement par trois facteurs égaux à b, ce qui revient a le multiplier par le produit effectué de ces trois facteurs, ou par- P. On auraainsi 15Xa s X^. Multipliant par x, il vient 15x« s Xi'Xa:. Multipliant enfin successivement par deux facteurs égaux à y, ou, ce qui revient au même, par le produit effectué de ces deux facteurs , ou par j» 1 , ilvientenfln lSXa'x^XaXy 1 ; ou en supprimant les signes de multiplication :

Onvoitl-quele coefficient 15 du produit est le produit des coefficients 5 et 3 des deux facteurs monômes; 2" que toutes les lettres qui entrent dans l'un des facteurs entrent au produit; 3° que l'exposant 5 de la lettre a au produit est la somme des exposants 3 et 2 qu'elle avait dans les deux monômes; ■i- que l'exposant 3 de

OI'ÉHATIONS FONDAMENTALES. 1?

la lettre b au produit est la somme des exposants 2 et 1 qu'elle , avait dans les deux monômes ; 5" que le facteur x , qui n'entre qu'au multiplicande, entre au produit avec le même exposant 1 ; . 6° enfin tfue le facteur y 1 , qui n'entre qu'au multiplicateur, enlre au produit avec le mémo exposant 2.

De-là celle règle : l'uur muiiipti'-r l'un pur l'autre deux monômes positifs, il faut faire le produit des deux coefficients, écrire à la suite toutes les lettres qui entrent dans tes deux facteurs monômes, cl affecter chacune d'elles d'un expirant égal à la somme de ceux qu'elle a.dans ces deux facteurs. (En appliquant celte règle, on voit que toute lettre qui n'entre que dans l'un des deux moepmes entre au produit avec le même exposant.)

Exemple. Le produit de 7a;'b'cd* par Aab'dx* est 28 a*b'cd?ar'.

Remarque. Il résulte de la règle de la multiplication des monômes, que le degré (Si) du produit est la somme des degrés des deux monômes facteurs. Ainsi le degré de ba'Px étant 6 , et le degréde Sà'by' étant 5, le degré do leur produit l&tf&xy* est 6-f 5 ou ll..Deméme,ledegréde 7a s b 1 cd t étant 11, etle degré de AaPdx 1 étant 7 , le degré de leur produit Zia^'ccPa? est 11 + 7 ou 18 .

35. Soit maintenant il multiplier un polynôme par un monôme , par exemple ra-f-è — c par m. Les lettrés a,b,c,m représentent ili.'s qiumtiks nii[ii('i-i(|iif s nritiiTts ou fi"n;linni)aires. l'uur fixer les idées et faciliter le discours, supposons que le multiplicateur monôme m ait pour valeur | ; la multiplication aura pour but de

prendre les ^ du multiplicande. Si celui-ci se réduisait à o-)-fl , on obtiendrait évidemment leproduitenprenant les ^ de a, puis les | de S, et faisant la somme des produits partiels obtenus; c'està-dire que le produit total s'obtiendrait en multipliant séparément b et 6 par m et faisant la somme de ces produits partiels, ce qui

'donnerait am-^bm . Mais en opérant ainsi on a pris les |.à"u'n

polynôme trop grand de c, puisque ce n'était pas a-\-b qu'il fallait multiplier, mais bien a-f-S — e , ou a-\- b diminué de c .Le

produit obtenu am+bm est donc trop grand des | de c oudu produit cm ; pour lui rendre sa véritable valeur il faut donc en retrancher cm , ce qui donnera

am-\-bm — cm .

18 l'BEMÈne PAHTIB. — CUAMTBE il.

Comme on pourrait répéter lu mémo raisonnement pour chaque terme soustractif, on voit que pour faire le -produit d'un polynôme par un monôme (positif!, il J'm-t f multiplier séparément vhaque'terme du polynôme multiplicande par le monôme multiplicateur, en donnant à chaque terme du produit le signe du terme du multiplicande qui l'a fourni.

Ainsi le produit de t>ax 1 -{-îla , x — 4a J par 6a*bx serait

3Ôa&y-k 1 8 aW— bia'bx .

De même, le produit de 3a'6— SaW-f-Saô 1 — i 1 par iaWc serait 12oWc— 8 +'20 oWc— 4a6*e,

54. Soit enfin Jt multiplier un polynôme par un polynôme , par exemple a — b par c — d pour plus de simplicité. Faisons d'abord le produit du tmiltiplii'iimlc «•— b par le terme c du multiplicateur, ce qui donnera, d'après ce qu'on vient de voir ac — br.

En opérant ainsi , on a multiplié le multiplicande par une quantité trop grande de d .puisque ce n'était pas par c qu'il fallait multiplier, mais bien par c diminué de d . Il s'ensuit que le résultat est lui-même trop grand du produit de a — b par d , c'est-à-dire de ad—bd .

Pour lui rendre sa véritable valeur , il faut donc en retrancher ad — bd , ce qui donne, d'après les règles de la soustraction, c'està-dire en changeant le signe de chaque terme du polynôme a soustraire,

ac — bc—aâ-\-bd .

En examinant ce résultat , on voit qu'il contient les produits par- , ticis de chaque terme du multiplicande a— b par chaque terme du multiplicateur c— d . Quant au signe dont chaque produit partiel est affecté, on remarque 1" que les termes a et c , qui avaient (ou étaient censés avoir) le signe -f- , ont donné un produit ac qui figure au résultat aveclesigne -f- ; 2" que les termes b et c, dont l'un avait le signe — et l'autre ie signe -f- , ont fourni au résultat le terme négatif — 6e ; 3" que les termes a et d , dont l'un avait lesigne + et l'autre le signe — , ont fourni au résultat le terme négatif ~ad ; 4°enfinqueles termes b et d , qui avaient tous deux le signe — , ontfourniaurésultatletermepositif ~\-bâ.

En résumant, on voit que deux termes de môme, signe ont donné un produit positif, et que deux termes do signe contraire ont donné.un produit négatif.

Les mêmes raisonnements appliqués à deux polynômes quelconques montreraient que ces règles sont générales , et que deux termes de même signe donnent toujours un produit affecté du

signe -f" , et qw. drux termes de. niijnr contraire donnent un produit affecté du signe — . C'est en cela que consiste ce qu'on appelle la règle des signes dans la multiplication. On l'énonce quelquefois en disant d'une manière abrégée que + multiplié' par + donne -f-

On dira donc que, pour multiplier deux polynômes l'un par l'autre, il faut multiplier chaque termr. ihi multiplicande par chaque terme du multiplicateur , en ayant égard à la règle des signes.

Si le résultat présente des termes semblables, on en opère la réduction.

38. Soit, par exemple, à multiplier $nx > —Sa'x l —4à l x+a> par 6ax* — aa'ar-f-Sœ 3 . On disposera ces calculs de la manière suivante :

Multiplicande 5ax % — 3oV — Wx-\-d-

Multiplicateur 6ga' — 2a':c + 3a 1

1" produit partiel 30 aV — M^x"— ZiaW-^Ga^x'

2' » — lOoW-l- 60*^+80*^— 2a"a:

3' » +15o'a?— 9 a*3?— lgrfa;-f Sa ?

Produittotal réduit 30aV-^2B«V— Safx?-i-ba' , x'--l4o , x+3a 1

On écrit d'abord le multiplicande; on écrit au-dessous le multiplicateur ; on tire un trait horizontal au-dessous du multiplicatéur. On fait le produit du multiplicande par le premier terme du multiplicateur; c'est le premier produit partiel, qu'on écrit au-dessous du trait horizontal. On fait le produit du multiplicande par lé second terme du multiplicateur; c'est le second produit partiel qu'on écrit au-dessous du premier. On obtient ainsi aulanlde produits partiels qu'il y a de termes au multiplicateur. Au-dessous du dernier produit partiel , on tire un second trait horizontal ; et au-dessous de ce trait on écrit le produit total , qui est la somme des produits partiels, somme dans laquelle on effectue, s'il y a lieu, la réduction des termes semblables.

Il convient d'ordonner (-S4) le mujtiplicande , le multiplicateur et le produit total par rapport aux puissances d'une même lettre ; les calculs ayant alors plus de symétrie sont plus faciles a vérifier. Il convient aussi d'écrire chaque terme d'un produit partiel au-dessous du terme semblable, s'il y ena* dans le produit partiel précé-

dent;Ia réduction des termes semblables se trouve ainsi facilitée; il est aussi plus facile d'ordonner le produit total.

38. Nous placerons ici trois produits dont on fait un fréquent usage en Algèbre , et qui fournissent autant de théorèmes de calcul.

a'+ ab + "6+ fi'

Cette multiplication montre que le carré de la somme de deux quantités renferme !r,mrn- ih- lu première , plus le double produit de la première par la seconde , jihis h carré de la seconde.

(On se rappelle qu'en arithmétique on nomme carré d'une quantité le produit de cette quantité par elle-même.)

Ce théorème, écrit algébriquement, donne (a + i) , = a , +2a& + &' .