X1.2.3 p X 1 . 2-3 . . . . q X etc

pourvu que la somme des nombres » , p , q , etc., soit égale

Remarque il. Si l'on Tait u=l , b = i , c = l , etc., le développement se réduit à lu somme de ses coefficients. Quant an polynôme, il se réduit à N ; en désignant par celte lettre le nomlire de ses termes. La somme des coefficients dû développement de la m™" puissance d'un polynôme de N termes est donc égale à H- .

Remarque III. Celle propriété peut trouver son application. On démontrerait facilement que le coefficient du (orme général exprime le nombre de manières de partager m objets en N groupes, dont le premier contienne n objets, le second p , le troisième 5 , et ainsi de suite. La somme des coeuînents du développement de la puissance m*~ d'un polynôme de N termes exprime donc le nombre de manières de partager m objets en N groupes. Or, d'après ce-, qu'on vient de voir, ce nombre de manières a pour expression S" .

Exemple I. Du combien de manière» peut-on pincer 8 personnes dans 3 chambres '!

(Réponse: 3* ou 6561.)

Exemple II. lie combien de manières peut-on mettre 12 pièces de monnaie dans un porte-monnaie quia A compartiments '! (Réponse: 4" ou 1677^210. )

l'iiEiii'I.E 111. De combien de manières peut-on faire 10 parts avec un jeu de 52 cartes?

( Réponse : 10" , ou un nomliro formé de l'unité suivie de 52

tèros.y

5 111. Dos iiicim>- îles .|iiiiiilil L 'S nlscbriquos.

252. La racine n""" d'une quantité algébrique est une seconde quantité qui, prise n fois comme facteur, donne pour produit la première. On désigne la racine n"" d'une quantité par le signe \j placé en avant de r.efte quantité. Ainsi fa désigne in racine »*"* île a . La lettre n placée au-dessus du signe radical se nomme l'indice de la racine.

D'après la règle donnée (iiSit) pour former la puissance n*™ d'un monôme, on voit que, si un monôme est une puissance «"" exacte, on en extraira lu racine en extrayant celle de son coefficient, et en divisant par n les exposants de foutes les lettres qui ij entrent.

Ainsi v , 128a , 6»x l ' = 2o6 , j' ; ^da'Wc" =.5aW ■

(La racine n'"" d'un nombre peut s'extraire par un nrocedé

KAC1NB6 DtS (JDiSTITEl ÀLUEBllKJUES. 2,1^

analogue à celui à l'aide duquel on extrait sa racine carrée ou su racine cubique. Mais, à ce procède laborieux, on substitue avec avantage l'emploi des logarithmes, comme nous le verrons bientôt. Lorsqu'il s'agit de nombres peu considérables, on peut se contenter de former les puissances n*™* des neuf premiers nombres, et de voir quelle est celle qui reproduit le nombre proposé.) 1

Quant à laracine n*~ d'un polynôme, elle pourrait s'extraire par un procédé analogue à celui que noua avons employé au n° 170 pour extraire la racine carrée, et en se fondant sur la formule du binôme. Mais ce calcul étant à peu près sans applications , nous ne nous y arrêterons pas.

2iîô. Lorsqu'un nombre entier N n'est pas une »"~ puissance exacte, sa racine n 1 ™" est incommensurable; car les puissances d'une quantité fractionnaire irréductible sont elles-mêmes irréductibles, et ne sauraient reproduire un nombre entier N .

Lorsqu'une expression fractionnaire irréductible ^ n'est pas

aile b™ puissance exacte, sa racine n"" est incommensurable. Multiplions, en effet, ses deux ternies par , elle deviendra

. Son dénominateur sera une puissance n"* exacte; mais

iLn'en sera pas de même de son numérateur, car il faudrait pour cela que a contint le facteur b , ce qui est contraire à l'hypothèse. La racine s"™ du numérateur sera donc incommensurable; il en sera donc de même de la racine de l'expression fractionnaire proposée. . ,

On démontrerait, comme aus n" 108 et suivants, que l'on peut étendre aux quantités incommensurables du degré n les règles ordinaires du calcul algébrique.

234. Une quantité négative ne peut être une puissance ti'"' exacte qu'autant que n est impair; car les puissances paires d'une quantité réelle, positive ou négative , sont positives d'après la règle des signes. Il en résulte que toute raciuc d'indice pair d'une quantité négative est une quantité imaginaire, et n'offre que le symbole d'une opération impossible. Ainsi, pi , <J — 5 , etc., sont des quantités imaginaires.

238. Nous allons maintenant exposer les règles, générales du calcul des radicaux. On démontre, dans l'Algèbre supérieure, que tout radical, dont l'indice est n , est susceptible de n déterminations distinctes; mais une seule de ces déterminations est réelle et positive, c'est la valeur arithmétique ou numérique de ce radical.

Nous ne nous occuperons ici que de la valeur numérique dea radicaux.

Le principe fondamental du calcul des radicaux est celui-ci : La t racine a" d'un produit est égale au produit des racines n™ de ses facteurs-

Soit, en effet, abcd un produit quelconque. La racine h*~ de ce produit sera exprimée par yjabcd . ■*•, .-'

Le produit des racines ri™" des facteurs sera exprimé par y~a.yb.yc.yd .

Or, je dis que cette quantité est une nouvelle forme de la racine du produit abcd . En effet, si on élève cette quantité à la puissance n , on aura

(y« ■ ?î ■ v? - v^Cv* ; \fi . yi . ;3) Ç ) . . . .

le nombre des parenthèses semblables étant n .

Mais, pour multiplier une quantité par un produit de plusieurs facteurs , on peut multiplier su ccessiv émeut par chacun des facteurs de ce produit; ou pourra donc écrire

yâ . yi-. yë .ya.ya . . $c . y<i . $a. ys-. î/c.yà —

ou , en intervertissant l'ordre des facteurs , .. ,.

yû.yà.ya... fà.yi.ys... yi.^i.yi... yB.y3.y d ...

chaque radical entrant n fois de suite comme facteur.

Or, multiplier entre elles n quantités égales à {la , c'est élever \/a à la puissance rt', ce qui donne, par définition, n . Multiplier cette quantité successivement par n facteurs égaui à \/b , revient à la multiplier par lé produit de ces n facteurs, ou par la ri~ puissance de ^6 , qui est b , par définition. Multiplier le produit ah successivement par n facteurs égaux à yi , revientàlemulliplierparleproduitdeces m facteurs, ou par c, ce qui donne abc . Enfin , multiplier abc successivement par « facteurs égaux à \/d , revient À le multiplier par le produit de ces n facteurs, ou par d , ce qui donne abcd .

Donc, en élevant à la n i; " puissance, le produit \)a.\l}.\lc.yd , on obtient le même résultat , abcd , qu'en élevant à la n*~ puissance le radical î/àbcd . Donc ces deux quantités sont numériquement égales , et l'on a •

yâTëd=yâ:yb.yc.y3 . ',, v ■■

Ce qui Vevieat à la proposition énoncée. ' . • - '

Digilizcd Dy Coogli

28(J. Le premier usage qu'an peut (aire de ce principe est de simplifier, les radicaux. Pour cela, on décompose, s'il est possible, la quantité placée fous le radical en deux facteurs, dont l'un soit une puissance exacte d'un degré égal à l'indice du radical. On extrait alors la racine de ce facteur, et l'on se contente d'indiquer lit racine du second. Le radical porte ainsi sur une quantité plus simple.

On trouvera de cette manière

V-'567o 7 jc»= {/ 8 1 ii'3? . 7n s x= v 8 ia'x" . vfc7x= 3 a a?i/7Ï?â . . i'6400000a : b" x"= $ 3200000 «V/ V . 2 (Wx = 20 n ô V v''2ÔWt .'

On nomme radicaux semblables «eux qui portent sur des quantités égales, quelle que soit la quantité qui peut être placée comme facteur hors du radical.

On peut quelquefois, en simplifiant les radicaux, les amener à être semblables. Ainsi les expressions

qui renferment des radicaux semblables.

!2i»7. Au lieu de faire sortir un facteur du radical , on peut au contraire avoir intérêt ,;i l'aire passer soin le radical un facteur qui est devant.

Pour cela , il faut évidemment élever ce facteur à une puissance marquée par l'indice du radical.

- Ainsi «C 6 revient à \fa*b ,

car, si on simplifiait la seconde expression , on retomberait sur la

première.

Sîî8. L'addition et la soi sïr.u:ïh>.\ des radicaux ne peuvent que s'indiquer lorsque les radicaux ne sont pus semblables. Mais s'ils lu sont, on peut opérer sur les quantités qui multiplient If radical . et mettre ce radical en facteur commun. Ainsi

3a v 'ô ï 6+ 8^0*6 = (3«-j-5&— a)fâb=(îa + bfyffi .

239. Multiplication. Pour multiplier l'un par l'autre deiid' radirtiux de même, indice, il suffi! de multiplier l'une par l'autre les quantités placées sous vhutjiic radical, rt d'affecter le produit du radical commun.

2Ù2 . . SECONDS FAIiTIE. — CHAPITRE IX.

Oji a> e» effet, ci) vertu du principe fondamental (3£3),

Cette règle n'étend à un nombre quelconque de facteurs.

Il peut arriver que le produit soit susceptible de se simplifier, oti même qu'il soit rationnel. Par exemple,

v'S « W. #4 a' 6^= y 32 V = 2 (fi'.i J .

300. Pivisioî*. Pour «/i»««f i'tut'jMtf l'autre deux radicaux de même, indice, il suffit de diviser l'une par l'autre les quantités placées saut chayve radical, et d'affecter le quotient du radical

Soit, en effet, ^—g ■

On en lire ?a— } . f fi ,

ou , en «Ini'iint à la puissance n les deux membres

a — ij". b d'où q a — j et, en extrayant la racine n™ des deux membres,

■vi-

Deux quantités égales à une troisième élan! égales entre elles, on en conclut

Il peut arriver que le quotient se simplifie, ou même qu'il spit rationnel. Ainsi

261. Formation des puissances. Pour c'feuer wn radical à ta puissance n , il suffit d'y élever lu quantité' placée sous te radical.

En effet, on a .Jfi ,

les facteurs du second membre étant en nombre p . D'après la règle de la multiplication des radicaux, on aura donc

{\ l a?=ia.a.a.,..a ,

CAtÇÙL DES UiltlCAUÏ. , * ■ 243

les facteurs placés sous le radical étant aussi en nombre p ; Un peut donc écrire j ,

ce ijui revient à l'énoncé <le la p i-ojhi si 1 i< m i . On aura, par exemple,

( V ââtfâ 3 )' = v'( 3 aWtff = fë\3¥âP .

262. EsTKAcnou des kacises. Pour extraire d'un radical me racine du degré p , il suffit de multiplier par p , l'indice de. ce radical.

Soit, eneffet, \j\fâ—b . «

Élevons les deux membres à la puissance p ; il suffira pour y élever le premier membre de supprimer le premier radical ; cela résulte de la définition même de la racine. On aura donc

Elevons les deux membres de cette nouvelle égalité à la puissance n ; il suffira dans le premier membre de supprimer le radical, etdanslesecond il faudramultiplier l'exposant p par re (258). ^ Il viendra donc

0 = 6»" ou b"' . Extrayons maintenant la racine np'~ des deux membres, nous obtiendrons

Et, puisque deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles,

ce qui revient à l'énoncé de la proposition.

On trouvera ainsi

V }ÏW =' ï/ÏÏuW = -2 a'b .

263. On. peut, sans changer la valeur numérique d'un radical, multiplier pur un même nombre son indice cl l'exposant de chaque, facteur qu'il' affecte.

Soit, eneffet, l'expression v'a™ .

Si on élève cette quantité à la puissance p , on aura, en vertu de ce qui a été démontré au n° 2Ci,

SECONDE l'ipTIE. — CHAPITRE IX.

Si Kon extrait maintenant la racine p'" du résultat, on obtiendra, en vertu du numéro précédent,

Or, ces deux opérations contraires ayant pour ellél de se détruire, on doit retrouver la quantité primitive. On a donc

ce qui démontre la proposition .

' Par une raison semblable on peut , sans changer ta valeur numérique d'un radical , diviser par un même nombre Mil indice et l'exposant de chaque facteur qu'il affecte.

puisqu'on peut diviser par 2 l'indicée et les exposants 2 et i .

204. Le principe démontré au commencement du numéro précédent permet de réduire deux radicaux quelconques au même indice

Pour réduire deux radicaux au même indice , on multiplie l utdire de ehoqvn radical, ai mi que les exposants des facteurs qu'il

ut auront tous les deux le même iudice.

Cette opération, qui a beaucoup d'analogie avec la réduction ds deux Tractions an même dénominateur, est susceptible des mômes simplifications; c'est-a-dire que l'on peut prendre pour indien commun le plus petit multiple des deux indices. On divisera alors ce plus petit multiple par l'indice de chaque radical, et l'on élèvera la quantité placée sous ce radical à une puissance marquée par le quotient obtenu. ■

vient au même, fôliï&x et fa\aPx\ . Le plus petit mul-

v.V.it^V et \'3\«W .

CAum di-s radical-;;.

Si l'on avait plus de deux radicaux , on multiplierait l'indice de chaque radical, ainsi que l'exposant de chacun des facteurs qu'il affecte, par le produit des indices des autres radicaux. Ainsi les trois radicaux

deviendraient "^tfT , , "\ftf* .

Si les indices avaient des facteurs communs, on prendrait leur plus petit multiple pour l'indice commun , et l'on opérerait comme il a été dit pour le cas de deux radicaux.

La réduction des radicaux au môme indice sert à multiplier ou à diviser l'un par l'autre deux radicaux d'indices quel-

Soit, par exemple, à multiplier y/a" par £«' > en réduisant d'abord ces radicaux au même indice, on aura et "ffi* .

Opérant alors la multiplication par la règle du n°23ft, on obtiendra

"/a"'.<f« ou 7 a "* + " - S'il s'agissait au contraire de diviser l'un par l'autre les mâoies radicaux, on aurait d'abord, en appliquant la règle du n° SttO,

ou , en vertu de la règle de la division des monômes. Par fxemphi . V V' x \"' — t'"'"- — v'""' -

5 IV. Des exposants [raclinnniiire.' et des e%|iosanls négatifs.

906. On a vu au n° 2iî!i que pour extraire ia racine n™ d'un monôme, il faut diviser par n l'exposant de chaque lettre qui y

entre. Ainsi, Jô" peut s'écrire «" toutes les fois que la division de m par n peut s'effectuer, puisque ™ représente le quotient de m par n .

L'analogie conduit ensuite à adopter la même notation, lors même

Ï'l6 SECONitlî PARTIE. — CHAPITRE IX.

qué la division de m par n n'est plus possible, et à poser pu conséquence, quels que soient les nombres entiers m et ' n ,-■

c'est-à-dire que pour indiquer ta racine n** de ta puissance m 1 "" d'wne quantité a , sa affecte cette quantité d'un exposant fractionnaire qui a pour numérateur l'exposant m rfe /a puissance, et pour dénominateur l'indice n de la racine.

L'avantage de cette notation est de simplifier sur-le-champ lé calcul des radicaux, attendu que /e.s règles établies pour le calcul de* exposants entiers subsistent pour les exposants fractionnaires. C'est ce que lious allons démontrer.

SC7. J. Multiplication. Soit à multiplier les deux expressions

D'après la délinilitm des exposants Friiclioiinaires , eus expressions reviennent respectivement à

" fà" - et à \ ou, en les réduisant au même indice, h

7«™ età "'âr* .

Effectuant la multiplication d'après la règle du n- 239, il vient

ou , d'après la règle de la multiplication dei des exposants entiers,

c'est-à-dire mie, pour multiplier deux puissances fractionnaires d'uneméme quantité, Il faut faire la somme des exposants , comme dans le cas des exposants entiers, il. Division. Soit à diviser

a" par 0* , ou , ce qui revient au même ,

fô" par ,

t)ES EXPOSANTS F 11 ACTION M Al DES.

en réduisant au même indiee,

Effectuant la division 1 d'après la règle du n- Ï60 , il Vient

ou , d'après la règle de la division des monuines pour le cas des exposants entiers ,

"yf}""'—" . "*.'.'*:

Si l'on emploie un exposant fractionnaire, ce quotient pourra s'écrire .

c'est-à-dire que, pour diviser l'une pur t'outre deux puissances fractionnaires d'une même quantité , il faut retrancher l'exposant du diviseur de l'exposant du dividende, comme dans le cas des exposants entiers.

III. Puissances et racines. Soit à élever a" à la puissance fractionnaire £ . Gc cas renfermera celui où q serait égal à 1 ,

c'est-à-dire où la puissance serait entière , et celui où p serait égal à 1 , o'est-à-dire où l'on aurait à extraire seulement une racine d'indice q .

La quantité proposée a" ou \/a- doit , d'après la définition de l'exposant fractionnaire - , être élevée d'abord à la puissance p , et l'on doil ensuite ex train; de cette puissance uneracine dont l'indice est q .

Or, on a (^/= "^ (261). - ' '

On a ensuite y fifi = "{«** (262). %

Employant maintenant un exposant fractionnaire, on pourra

t'ést-a-dire 1 que, pour è\m;er une quantité affectée d'un exposant fractionnaire ^ , à une puissance fractionnaire j! ,ilfaùt faire

le produit des deux exposants ~ et ^ , comme dans le cas des exposants entiers.

On voit que toutes k-s mjjjIl-s ilu calcul iIiîs exposants entiers s'appliquent aux exposants fractionnaires; co qui justifie l'emploi de celte notation, plus générale que celle des exposants entiers, et plus conforme, par conséquent, à l'esprit de l'Algèbre.

Rhhàrque. Le principe du n- 265 revient à celui d'après lequel on peut multiplier ou diviser il lîi fois les deux termes d'une fraction par un même nombre sans en changer la valeur.

268. On a vu, au a' Al, que pour diviser l'une par l'autre deux puissances entières d'une même quantité, il faut soustraire l'exposant du diviseur de l'exposant du dividende.

Ainsi % peut s'écrire «"-* ,

lorsque n est moindre que m .

L'analogie conduit à faire usage de la même notation , lors même que n est plus grand que m , et à poser en conséquence

quels que soient les nombres m et n ■ .

Or, si n surpasse m d'une quantité p , et qu'on ait îi ■ m -j- p , on pourra écrire l'égalité ci-dessus sous la forme

et , en divisant les deux termes du premier membre par a" (41 , 267),

Telle est la définition de l'exposant négatif — p . Ainsi, les expressions

reviennent respectivement à

L'avantage de cette notation est encore que , les règles demontrrr.s pour le enlevl des exjMstmtn poMliU (cn/irrs on fractionnaires ) subsistent pour les r.rjwtmfs ttéijclij's ; (il c'est cette généralité, conforme a l'esprit de l'Algèbre, qui justifie l'emploi des exposants négatifs.

11 reste à démontrer la proposition énoncée.

DES I.XFQSASTS NÉGATIFS. 24»

269.. I. Multiplication. Soit à multiplier. ar m par a*' , m et p pouvant Être entiers ou fractionnaires.

D'après la définition des exposants négatifs, on aura à multiplier

ce qui donnera , d'après Je calcul des exposante positifs ,

" r ' — - — ou a^" ,

puisqu'il faut soustraire les exposHists dans la division , qu'ils soient entiers ou fractionnaires , et qu'on admet uh exposant négatif.

Or, p — m est la somme algébrique do p et de — m . Donc il faut, dans le cas où nous sommes, faire la somme des exposants des deux facteurs.

Soit à multiplier a - ™ par or» , ou ce qui revient au même,

on obtiendra , d'après le calcul des exposants positifs ,

mais, d'après la définition des exposants négatifs, ce résultat peut s'écrire

■ . «-o»*») .ou o-"'-'' .

Or, —m — p est encore la somme algébrique des exposants des deux facteurs. Donc pour multiplier entre elles deux puissances (positives ou négatives) d'une même quantité, U faut faire ta somme algébrique des ejposan/s.