CHAPITRE X

BBS ÉQUATIUXS KM'IIMÎSTIKLI.KS HT I>RS LOG1BIVHMBS.

S 1. De la résolution des Équations exponentielles.

271. On nomme en général équations exponentielles celles dans lesquelles l'inconnue entre comme exposant. La plus simple des équations de ce genre est l'équation

c'est la seule que l'on traite dans les éléments; nous allons dans ce paragraphe nous occuper de sa résolution pour le cas où a et b sont positifs.

Remarquons d'abord que , si l'on savait résoudre cette équation pour une valeur particulière de <i et pour toutes les valeurs de b , on saurait la résoudre pour toute autre valeur de a . Supposons , par exemple, que l'on sache résoudre l'équation 10*— n

pour toutes les valeurs de n , et qu'on veuille résoudre l'équation

fl*=Ù .

On posera y = ~ d'où i"= h ou (a") — b (887) .

On posera ensuite a" =10 «Ton ïi.= i(P en élevant les deux membres à la puissance m .

Puisque par hypothèse on sait résoudre cette dernière équation, on en tirera la valeur de m . On aura ensuite à résoudre l'équation

G» 5 ) =b ou 10'— b , d'où l'on tirera de même la valeur de x .Connaissant m et x , on en déduira y par la relation y = ■£ .

272. Remarquons, en second lieu, que si l'on savait résoudre l'équation

Equations exponentielles. 253 pour toutes les valeurs de n plus grandes que t , on saurait la résoudre pour des valeurs plus petiies que 1 . Soit, en effet, à résoudre l'équation

dans laquelle p peut être entier ou fractionnaire , mais plus grand que 1 . l'osons

ilviendra 10-»=- ou ^- = - ClQii) ,

ce qui exige iû*=p .

Or, puisque p est plus grand que 1 , on sait , par hypothèse , résoudre cette équation ; on en tirera donc lu valeur de y ; et, en la prenant en signe contraire , on aura la valeur de x .

273. Remarquons enfin que, si l'on savait résoudre l'équation

pour toutes les valeurs entières de n , on saurait la résoudre pour toutes les valeurs fractionnaires. Soit, eu effet, à résoudre

dans laquelle p a\ q sont supposés entiers. Posons ■ x=y~s ,

ilviendra io»- = £ ou (289).

Or, on satisfera à cette équation en posant séparément

10"=^ et m- = q , équations que l'on sait résoudre par hypothèse, puisque p' et q sont entiers. Connaissant g et z , on enfera la différence y — z, et l'on aura la valeur de x .

274. Il reste doue à résoudre l'équation 10' = w pour les valeurs entières de n .

Lavaleurde x sera entière toutes les fois que n sera égal à l'unité suivie d'un certain nombre de z.éros. Si , par exemple, on a à résoudre

connue 100000 équivaut» 10 3 , il s'ensuit que j. = 5 . Les équations