l(r= 10000 ; etc
SECONDE PARTIE, -r CHAPITRE X.
donneraient do môme
; etc.
Remauque. L'équation 10 J = 1 donne x = 0 . Caron a vu (41) qu'on a en général a"= 1 .
27a. Pour toute autre valeur entière de » , x sera incommensurable. Supposons, en effet, qu'on donne h x la valeur commensurable - . L'expression 10' deviendra 10' 1 ou ^ÎO 1 ".
Pour que cette quantité fût égale à un nombre entier, il faudrait que lC fût une puissance exacte du degré '/.Or, 5P. Pour que ce produit fût une puissance ç™ exacte v il faudrait qu'il en fût de même de 2" et de 5r . 11 faudrait donc que p fût
serait égal à l'unité suivie d'un certain nombre de zéros , ce qui est cimlruii'i? à l'hypothèse.
276. On ne pourra donc pas, en général , obtenir exactement lu valeur de x ; on ne pourra que se proposer d'en approcher.
On a calculé une fois pour toutes , par des méthodes qui ne sont point élémentaires , une table où l'on trouve , on regard de chaque valeur entière de n , depuis 1 jusqu'à 100000 et au delà, la valeur correspondante de x , à moins d'une demi-unité du 7* ordre décimal.
Nous reviendrons bientôt sur l'usage de cette table. Pour le moment, nous essayerons de faire comprendre comment, par des moyens élémentaires, on aurait pu la calculer.
Imaginons qu'on extraye la racine carrée de 10 ; puis la racine carrée de cette racine ; puis la racine carrée de cette nouvelle racine, et ainsi de suite. Ou obtiendra ainsi des quantités qui iront en diminuant, mais qui si:nmt toujours supérieures à l'unité, puisque, d'après le mécanisme même de l e.\ liai lion de la racine carrée, tout nombre plus grand que 1 a une racine plus grande que 1 . Ces quantités ne seront autre chose que dos puissances fractionnaires de 10 , dont les exposants seront successivement
Après la 25« opération , on parviendra à une puissance de 10 qui aura pour exjtosant
divisible par q . Mais alors -
10 s = 10 s ; et ainsi de suite.
etc. ;
ou
KQUATIOKS EXPONJsNTlKLJ.ES.
quantité plus petite qu'une demï-unilé du 7* ordre décimal ; car son dénominateur est plus grand que 20000000 .
Désignons cet exposant par i pour faciliter l'écriture , et représentons par 1 + a la valeur de 10 f ; en sorte qu'on ait 10^=1 + 0 [1],
277. Concevons maintenant que, par des multiplications successives, on calcule les puissances successives du second membre de cette équation ; on aura les égalités
lb*=1 ; I0>=1 + ? ; I0t=tl+of ; W=(l + «? ; lo» = (l + «)' ; ....io'» = (i + «r ; dans lesquelles les seconds membres auront été calculés par hypothèse.
Or, 1° les exposants successifs ~ , ^ , j* , etc. , diffèrent
entre eux de ■ , c'est-à-dire de moins d'une demi - unité du 7* ordre décimal.
2° 3a dis que tout nombre entier moindre que lOOÛOOO tombera entre deux termes consécutifs de la série formée par les seconds membres.
En effet, en vertu de la relation [lj, on a d'abord
io=fi+ »)>= i +p«+ ^tt* 1 " ,+ etc -
Donc le terme p» , à lui seul, est moindre que 10 , et l'on a 9i<i0 . ■ .
On ne troublera pas cette inégalité en remplaçant |J par un nombre moindre, par 10000000 , par exemple; on aura donc
l«XXIOaO.<10, d'où «rîsâfflj.
Cela posé, prenons la différence entre deux termes consécutifs de la série des seconds membres; par exemple, entre les termes (l et (1 + a)" . Celte différence est
(1 +,)-(! 4.„ r -i ou (r+ a )-<[<i +«)-!] ,
oit encore (1+*)"-'. = ';
et comme = est moindre que j^ jj^QQ ■ culte différence est moindre que
(1 +«)-' ÎOOOOOO '
Cette différence sera donc moindre que l'unité tant que l'on aura
D'ailleurs la série des quantités (!+•«> , (! + «)* , (! + «;•».... + , (l+«r. etc., peut toujours être poussée assez loin pour que le dernier terme atteigne et surpasse même tout nombre donné, 1OO0OOO , par exemple ; il suffit pour cela qu'on ait
(1 +<*)»> 1000000 ou 1-fwa-f- y '' a'-f- '■'<-'■ >IOOOOOO ; inégalité à laquelle on satisfera si l'on pose
„„>,oooooo .u „>!Î5255»,
ce qui sera toujours possible à réaliser.
Donc, puisqu'on peut prolonger cette série depuis l jusqu'à 1000000 , et que dans toute celte série la différence entre deux termes consécutifs est moindre que I , il s'ensuit que tout nombre entier, moindre que 1000000 , tombera entre deus termes consécutifs de cette série.
27». D'après cela on aura tous les éléments nécessaires pour former la table dont il s'agit.
Supposons, en effet, que l'on demande la valeur de x qui satisfait à l'équation
n étant un nombre moindre que 1000000 .Soient {l-j-a)"—' et (1 +'«)"' les deux termes consécutifs de la série entre lesquels « tombera ; on aura les égalités
toV = (l + <-i , 10* =n
Les trois seconds membres étant rangés par ordre de grandeur, il en sera de même des trois premiers ; donc x sera compris entre
et j . Or, ces deux fractions ne diffèrent que de i ,
DES LQGAH1TBMES.
c'est-à-dire de moins d'une demi-unité du 7* ordre décimal. On pourra donc prendre l'une ou l'autre pour la valeur de x ; l'erreur commise sera encore moindre que cette différence. En d'autres termes, l'une ou l'autre de ces fractions sera la valeur approchée de x , à moins d'une demi-unité du 7" ordre décimal, soit par défaut, soit par excès.
En raisonnant de même, on déduirait du calcul ci-dessus indiqué les valeurs de x correspondantes à toutes les valeurs entières de », depuis 1 jusqu'à 1000000 . Mais il n'est pas nécessaire de pousser la table de ces valeurs aussi loin.
Rbharque. Celte méthode, comme toutes les méthodes élémentaires qu'on pourrait employer pour le môme objet, serait inapplicable à cause de la longueur des calculs ; mais elle est propre à faire comprendre la possibilité de former une table des valeurs approchées de x , table qui est d'une grande importance dans les calculs numériques, ainsi qu'on va le voir, et qui est connue sous le nom de Table des logarithmes des nombres.
S H- Des logarithmes.
fi79. On appelle logarithme d'un nombre l'exposant de ia puissance à laquelle il faut élever une quantité constante pour reproduire ce nombre. Cette quantité constante se nomme la base des logarithmes, et les logarithmes de tous les nombres, pris par rapport à une même base , forment ce qu'on appelle un système de logarithmes.
. Par exemple, dans l'équation
l'exposant x est le logarithme de 6 ; et si l'on fait varier h en donnants x les valeurs correspondantes qui vérifient cette équation , ces valeurs formeront un système de logarithmes dont la base sera la quantité constante a .
Ou désigne le logarithme d'un nombre b par la notation log b . Ainsi \ogb=x signifie que le logarithme de b est égal à x .
Dans tout système de logarithmes , le logarithme de la base est . 1' ; car on a, quel que soit ■ a
Dans tout système de logarithmes , le logarithme de l'unité est ïér,o; car on a, quel quesoit a
Dans tout système de logarithmes, les puissances commensu-
rables de la base ont seules des logarithmes commensurables. Car, si l'on avait —
x=£ d'où =& ,
le nombre b serait une puissance commensurable de a .
Tous les autres nombres ont des logarithmes incommensurables.
RÉMAKonî:. Il peut arriver que la base soit incommensurable; les logarithmes des puissances commensurables delà base n'en sont pas moins commensurables. Ainsi l'équation
est satisfaite par x = | ; car on a
. y$f= \ïj¥=fë=fàî .
1180. Les logarithmes de tous les systèmes jouissent des propriétés fondamentales suivantes :
I. Le logarithme d'un produit est égal à ta somme des logarithmes de ses facteurs.
Soient b , V , b" , etc., les facteurs d'un produit P . Soient x , a^,' «" , etc., et X leurs logarithmes respectifs. On aura les égalités
af==b ; a"' — à 1 ; . tf"=i° ; etc. . ■
En les multipliant membre a membre, et observant que," d'après les règles démontrées dans le chapitre précédent , pour faire le produit de plusieurs puissances d'une même quantité, il faut faire la somme des exposants , il viendra
«""■"■^■""■^iiXè'Xf'Xeté .
Dr on a aussi ' o' = P= 6.ù'. 6".etc .
Donc $.=x+x'-i-x"-\-etc~. ,
oubien logiW'... = logi-r:log6'rT-iog6"-f-etc. , ce qui revient à l'énoncé de la proposition. ' * ' .
H. Le logarithme duguotient de deux quantités est égal au logarithme du dividende, moins le loijarithmc du diviseur.
Soient i et S 1 deux quantités, x et x' leurs logarithmes. Soient q le quotient de b par b' , et X son loga- , rithme. On aura les égalités
af = b et af = b' .
En tes divisant membre a membre , et observant que pour diviser
DES LOGàRITUMBS. 35D
l'une par l'autre deux puissances d'une même quantité , il faut retrancher l'exposant du diviseur de l'exposant du dividende , il viendra
mais on a aussi a'— -/^> .
Donc \=x — x" ou log^, = logô — logé' ,
ce qui revient à l'énoncé de la proposition.
III. Le logarithme d'une puissance d'un nombre esl égal au logarithme de ce nombre, multiplié par l'exposant de la puissance.
Soient b un nombre, x son logarithme. Soient P la puissance p"" de b , et X son logarithme. On aura d'abord a*=b .
Elevant les deux membres à la puissance p , et remarquant que pour élever une puissance d'une quantité à une nouvelle puissance il faut faire le produit des exposants , il viendra
mais on a aussi a I = V = b p .
Donc ' X— px ou logft° = p.log6 , ce qui revient à l'énoncé de la proposition.
IV. Le logarithme d'une racine d'un nombre est égal au loga~ rilhme de ce nombre, divisé par l'indice de la racine.
. Soient b un nombre, x. son logarithme. Soient R la racine m 1 ™ de.fr, et X son logarithme. On aura d'abord a'i=b . \
E\trayant ta racine m*" des deux membres et observant que pour extraire la racine m"- d'une puissance d'une quantité, il faut diviser son exposant par m , il viendra . , -
Mais on a aussi a*=H=yb~ .
Donc X=| ou log^='-^ ,
ce qui revient à l'énoncé de la proposition.
281. On voit que ces propriétés des logarithmes permettent de ramener la multiplication à une addition, la division à une soustrac-
tion , lu formation d'une puissance h une m ulti pli cation , et l'extraction d'une racine à «ne division , pourvu qu'on ait une table des logarithmes de tous les nombres.
En effet, si l'on veut faire le produit de deux nombres, on cherchera leurs logarithmes dans la table ; on en fera la somme ; on cherchera celte somme dans la colonne des logarithmes, et le nombre correspondant sera le produit demandé.
Si l'on veut trouver le quotient de deux nombres, on cherchera leurs logarithmes dans la table ; on retranchera le logarithme du diviseur de celui du dividende ; on cherchera la différence dans la colonne des logarithmes , et le nombre correspondant sera le quotient demandé.
Si l'on veut élever un nombre à une puissance, on cherchera dans la table le logarithme de ce nombre ; on multipliera ce logarithme par l'exposant de la puissance; on cherchera le produit obtenu dans la colonne des logarithmes, et le nombre correspondant sera la puissance demandée. r
Enfin, si l'on veut extraire une racine d'un nombre, on cherchera dans la table le logarithme de ce nombre; on divisera ce logarithme par l'indice de la racine ; on cherchera le quotient obtenu dans la colonne des logarithmes, et le nombre correspondant. sera là racine demandée. . •
«82. Dans les systèmes de logarithmes ordinairement employés, la base est plus grande que 1 .
I. Les logarithmes des quantités plus grandes que 1 sont alors positifs et d'autant plus grands que ces quantités sont plus grandes.
D'abord ils sont positifs. On a vu, en effet, que lorsqu'une quantité est plus grande que 1 , on peut toujours l'élever à un? puissance positive telle que le résultat surpasse un nombre donné quelconque (277). Soit x le logarithme d'un nombre b plus grand que f;; on pourra toujours élever la base a à une puissance positive : X , telle que le résultat N soit plus grand que 6 . On aura les égalités .
d'ailleurs a"= 1 .
Les trois seconds membres étant rangés par ordre de grandeur, .il devra en être de même des trois premiers. Donc x est compris entre 0 et un nombre positif X ; donc il est lui-même positif.
En second lieu, les logarithmes sont d'autant plus grands que les
DES 1.01: AB l'I 11MES.
nombres auxquels ils correspondent sont eux-mêmes plus grands. En effet, soient x et x' les logarithmes de deux nombres b et b' ; en sorte qu'on ait
Supposons b' > b , et divisons la seconde égalité par la première; il viendra
Or, le second membre étant plus grand que t , x' — x qui en est le logarithme devra, d'après ce qui précède, être positif. Donc af est plus grand que x .
II. Les logarithmes des quantités moindres que i sont négatifs et d'autant plus grands en valeur absolue que ces quantités s ont plus petites.
D'abord ils sont négatifs. Soit, en effet, x le logarithme d'une quantité b moindre que 1 ; on aura
Posons
p étant plus grand que ( .
Posons en outre x = — y . Il viendra
Or, S étant plus grand que 1 , d'après ce qui a été démontré ci-dessus, il faut que y soit positif. Donc x est négatif.
D'ailleurs la valeur de y est d'autant plus grande que p est plus grand; en d'autres termes, la valeur absolue de x est d'autant plus grande que 6 est plus petit.
Remarque. Puisque n' croît indéfiniment avec x , lorsque o est plus grand que 1 , on en conclut qu'à une valeur infinie, mais positive, de x répond une valeur infinie de a' ou de b , et vice versa, ce qu'on exprime en disant que le logarithme de l'infini eut l'infini positif .
Par la même raison, puisque à une valeur infinie de p ré.pond une valeur infinie et positive de y , on en conclut qu'à une valeur nulle de b répond une valeur infinie, mais négative pour r ; ce qu'on exprime en disant que le logarithme de zéro est l'infini négatif.
285. Les logarithmes le plus fréquemment employés , et qu'on désigne , pour cette raison , sous le nom de logarithmes vulgairèi,
sont ceux dont la base est 10 , et qui répondent conséqucmment à l'équation
Nous avons vu (278) comment on pouvait concevoir que la table de ces logarithmes ait été formée. Ces logarithmes ont été calculés sous forme décimale , à moins d'une demi-unité du 7° ordre. Ils se composent d'une partie entière qu'on appelle la caractéristique, et d'une partit; décimale formée de 7 chiffres.
Les logarithmes des nombres plus grands que 1 sont positifs, ainsi qu'on l'a démontré ci-dessus; ceux des quantités moindres que 1 sont négatifs ; mais ces derniers ne figurent point dans les tables; on en verra bientôt la raison.
Au lieu d'employer des logarithmes entièrement négatifs, on préfère employer des logarithmes dont la caractéristique soûle est négative ; ces logarithmes se convertissent facilement les uns dans les autres, ,
Soit, par exemple, un logarithme entièrement négatif — 2,7364508 .
Ce logarithme revient à
Si on y ajoute + 1 et — 1 , ce qui ne changera pas sa valeur, on pourra l'écrire
— 2 — 1 + 1— .0,7364508 , ou —3 + 0,2635492 , ou enfin 3,2635492 .
On met ainsi le signe — au-dessus de la caractéristique pour indiquer qu'il ne porte que sur elle et n'affecte pas la partie décimale.
Pour retrancher 0,7364508 de 1 , on sait qu'il n'y a qu'à retrancher le premier chiffre significatif à droite de 10 , et tous les autres de 9 . On voit donc que : pour convertir un logarithme enfièrement négatif en un logarithme dont la caractéristique seule soit négative, il faut augmenter la caractérisfit/m: d'une unité, mettre le signe — au-dessus, et soustraire c/iitquc décimale de 9 , m allant de gauche à droite, sauf la dernière décimale significative que l'on soustrait de 10 .
.'Ainsi —1,7998405 ; —0,0467739; —4,8654231 ; reviennent à
Réciproquement : pour convertir un logarithme, dont la caractéristique seule est négative, m un togarit/ime entièrement négatif, il faut ; diminuer la caractéristique d'une unité . mettre la signe —
DIS LOGABITHKES. 26!
devant , et soustraire chaque décimale de 9 , en allant de gauche à droite, sauf la dernière décimale significative que l'on soustrait de 10 .
On peut reprendre , commo exemples , les logarithmes écrits cidessus.
