I. Soit à multiplier 362,4 par
;On trouvera: log 362,4 = 2,5591882 log 5,97 =0,7759743 Faisant la somme, on obtient 3,3351625
Le nombre correspondant 2163,528 sera le produit demandé. . D. Soit h diviser 71,645 par 6,25 .
On a : log : 71,645 = l,8551859
lot;6,26 = 0,7958800, Faisant la différence, on trouve : 1,0593059
Le nombre correspondant 11,4632 sera le quotient demandé.
III. Soit îi élever 2 à la 20" puissance. On trouvera d'abord que le logarithme de 2 est 0,3010300 . Multipliant par 20 ,
on obtient 6,020600 . Le nombre correspondant 1048576 sera la puissance demandée.
Si l'emploi de la proportion (289) on du tableau des différences proportionnelles (3ÎIS) laissait quelque incertitude sur le dernier chiffre , on pourrait remarquer que ce chiffre doit être pair, puisqu'il s'agit d'une puissance de 2 . On pourrait d'ailleurs le trou ver directement d'une manière assez prompte, en remarquant que la 5' puissance de 2 , qui est 32 , est terminée par un 2 ; que par conséquent la 10 e est terminée pat' 2 fois 2 ou 4 , et la 20" par le même chiffre que 4 fois 4. ou 16 , c'est-à-dire par 6 .
IV. Soit à extraire la racine cinquième de 365478. . On trouvera d'abord que le logarithme de ce nombre est 5,5628612 . Divisantpar S , on obtient 1,1125722 . Le nombre correspondant 12,9590 sera la racine demandée, à moins d'un dis-millième. .
294. On voit par ces derniers exemples que l'emploi des logarithme permet d'nti'ectuer avec promptitude, et sans aucune ten— sien d'esprit, des calculs qui, de toute autre manière , exigeraient beaucoup de temps et d'efforts, s'ils n'étaient même tout à fait impossibles.
Pour soulager encore davantage son attention , le calculateur peut même se dispenser d'effectuer aucune soustraction. S'il se présente, en effet, un logarithme à soustraire, c' est-a-dire précédé du signe — , comme, par exemple,
on peut le changer en un logarithme dont la caractéristique seule soit négative (2B3) , et écrire
3,2864502 , - • puis ajouter ce logarithme au lieu de le soustraire.
Quant à l'opération par laquelle on soustrait chaque décimale de 9 et la dernière de 10 , elle ne doit pas être comptée comme une soustraction ; il suffit de graver une fois pour toutes dans son esprit ce tableau ■• .'.•'■-."'
et de se rappeler que, toutes les fois qu'il se présente un des chiffres de la première ligne , il faut le remplacer par le chiffre correspondant de la seconde, et vice versa, sauf pour la dernière décimale significative qui doit être retranchée de 10 : r - ' - *' • ' .■" : - Nous indiquerons les logarithmes ainsi préparés par le signe nbré-
276 SECONDE PABT1E. — CHAPITRE X.
viatif L . Dans l'exemple II du numéro précédent, nous aurions ainsi :
log 71,645= 1,8551859 C 6,25 =1,2041200
d'où , en additionnant : 1 ,0593059
comme au numéro cité.
Des personnes peu habituées aux calculs numériques regardent comme une complication la simplification dont nous venons (le parler; avec un peu de pratique le lecteur se convaincra que c'est une simplification des plus réelles et des plus importantes.
Si le logarithme à soustraire avait déjà une caractéristique néga* tive; s'il s'agissait, par exemple , de soustraire 3,4771895 , cette opération ret iendrait à changer le signe de la caractéristique et celui de la partie décimale , ce qui donnerait
3 — 0,4771895 ou 2 + (I— 0,4771895)
ou enfin 2,6228105 ;
c'est-à-dire que, daus ce cas, il faudrait changer le signe de lu caractéristique, ta dhniawr d'une imité, puis soustraire chaque chiffre décimal de 9 , sauf la dernière décimale significative qui doit être soustraite de 10 .
On trouvera ainsi L 0,2
20S. La mime simplification est ordinairement présentée d'une autre manière, qu'il est indispensable de connaître.
On nomme complément arithmétique d 'un nombre ce qu'il faut lui ajouter pour faire une unité de l'ordre immédiatement supérieur à celui de son premier chiffre à gauche. Ainsi, le complément arithmétique de 7 est 3 , attendu que 7 et 3 font 10 ; le complément de 76 est 24 , attendu que 76 et 24 font 100 ; le complément de 762 est 238 , attendu que 762 et 238 font 1000 , et ainsi de suite.
Comme les logarithmes des nombres entiers le plus fréquemment employés sont moindres que 10 , on nomme complément d'un nombre ce qu'il faut ajouter à ce logarithme pour faire 10 . Ainsi le complément de 3,7820497 est 6,2179503 . Ce complément s'obtient en retranchant chaque chiffre de 9 , sanfle dernier chiffre significatif à droite qui doit être retranché de 10 . L'opération né-
cessaire pour obtenir le complément d'un logarithme ne doit donc pas fltre comptée comme une soustraction ; c'est une opération machinale qui s'exécute h l'aide du tableau . 7 0 12 3 4 9 8 7 6 5;..
et, lorsqu'on en à acquis l'habitude, il n'est pas plus long d'écrire le complément que le logarithme lui-même.
Cela posé , au lieu de soustraire un logarithme on peut ajouter son complément et retrancher ensuite 10 .
Soit, en effet, / . un logarithme qu'il s'agit de retrancher d'une quantité a , ou aura à effectuer le calcul indiqué par l'expression a — l .
Or, on ne changera pas cette expression en «joutant et retranchant 10 , ce qu'on peut écrire
« + (10 — 0—10 - Mais' 10 — / est précisément le complément de (; on peut donc écrire, en indiquant par C !e complément, '-"
. ' a+CH— 10 ;
ce qui revient à l'énoncé de la proposition.
Si l'on a plusieurs hiynriihiite..-; « smtstraire, on peut ajouter leurs compléments, et retrancher du résultat autant de fois 10 qu'il y a eu de compléments employés. .
Cette manière d'opérer la simplification dont nous parlons est la plus usitée; mais celle que nous avons d'abord indiquée au n" 294 est la plus commode. j . ■
286. Nous pouvons maintenant nous occuper de l'application des logarithmes à tous les calculs qui comportent leur emploi.
Résoudre une question par logarithmes, c'est déduire des logarithmes des données le logarithme de l'inconnue. Cette inconnue se déduit ensuite de son logarithme à l'aide dés tables. Pour qu'une question puisse être traitée de celte manière, il faut qu'on n'ait à se servir des tables que deux fois, savoir : une première fois pour y chercher les logarithmes des données, une seconde fois pour y chercher le nombre correspondant au logarithme de l'inconnue. On exprime quelquefois cette condition en disant qu'il faut n'avoir à passer aux nombres qu'une fois.
On peut toujours concevoir que l'inconnue elle-même soit exprimée au moyen des données, l'our que cette expression soit calculable par logarithmes, il faut qu'elle né contienne que des pre^
duits, des quotients, des puissances ou des racines; ou que, si les signes ou .— y entrent, ces signes, ne réunissent, que les premières puissances des données.
Ainsi t l'exprmion x = ^~~ est calculable par logarithmes, parce qu'elle ne contient que des produits, des quotients, des puissances et dos racines.
L'expression x = <J(a-^-b) (a— 6) est encore calculable par logarithmes, parce que les signes + et — qui y entrent ne ' réunissent que les premières puissances des données a et b . Gomme on ne peut , en efl'et , ramener l'addition et la soustraction à des opérations d'un ordre plus simple , on conçoit que l'on fesse la somme a-\-b et la différence a— b , sans le secours des logarithmes, puis , que lo produit à effectuer et la racine à extraire se calculent par ie moyen des logarithmes. On n'a ainsi a passer aux nombres qu'une fois, c'est-à-dire pour trouver le nombre correspondant au logarithme de x .
Au contraire, l'expression x = y 'a' -j- bc n'est point calculable par logarithmes, parce que le signe -f- qu'elle renferme réunit des quantités qui ne sont pas les premières puissances des données a , b , c , mais bien le carré de l'une et le produit des deux autres. On pourrait bien , a la vérité , calculer a* et t 6c par le moyen des logarithmes ; mais il faudrait passer aux nombres pour obtenir a' et be . C'est alors seulement qu'on en pourrait foire la somme , et que l'on pourrait extraire la racine de cette somme par le secours des logarithmes. . ' -
297 . Pour appliquer les logarithmes à une formule , il suffit de se rappeler les propriétés fondamentales dos logarithmes (280). Soit , par exemple, l'expression
. - . agVjg , . ■■
on aura d'abord,. en se rappelant quo lo logarithme d'un quotient est égal au logarithme du dividende, moins le logarithme du diviseur,
logai = Iog(3oy6ë)— log(5m) ; -
mais le logarithme d'un produit étant égal à la somme des logarithmes de ses facteurs, on pourra écrire . . .
foga; = ]og3-|-logrï'-|-logv/ëc— (log5-f-logm) .
Puis , remarquant que le logarithme de a* est égal à 2 fois le
logarithme de a , et que le logarithme de t/hc est égal à la moitié du -logarithme du produit bc , ou à la moitié de la somme des logarithmes de' b et de c , il viendra:
Ioga; = log3-f2loga + ^(log6 + log< ; ) — (log5 + log»n) . Et , si l'on veut éviter les soustractions indiquées , ^ loga:=log3+21oga+£fl<>g&+Ioge)+L5+irm (294),
logar=log3+21ogo+4(log6+logc)+C'log5+G'logm-20 (298).
Comme application, supposons a a , b , c , m lesvaleurs suivantes : ,
£1 = 29,6*5 , &=105697 , c==3,7B99 , »i = 44t,8 . . , 3X (29,645)'xVlQ589 7 X 3,7899 doù * = — ' 5XM1.8 '
On disposera le calcul de la manière suivante :
10g 29,645 = 1,4719515 . 2log29,645 = 2, D 439030 Iogl05897=5,0248837 log 3,7899 = 0,5780-278 somme . 5,6035115
demi-somme 2;8017557 log^ =2,8017557
L 5 =1,3010300 E 441,8 = 3,6452257 log a; où somme = 3^1690356 d'où x = 1475,827'..'.. ' ■>
On traiterait de la même manière toute autre formule calculable par logarithmes.
298. Comme applications, nous traiterons les problèmes suivants : . . ' .. - ■
Problème I. Trouver le rayon d'une sphère dont le volume est de 0 m -',250 .
En désignant par x le rayon de la sphère , et par m le rapport de la circonférence au diamètre, on a*
=0,250 d'où * = ^/°^~ 3 , * Voï. notre Géométrie théorique et pratique, V MMnn , n° TOÏ.
280 SECONDE PARTIE
et en appliquant les logarithmes, ■ -
log 0,2 50+log3+L|4+L.n log* — — ■ 7i .
On trouvera log 0,250 =1,3979400
log 3 =0,4771212
L k ou L 3,1415926=1,5028501
Pour prendre le tiers de ce résultat, il suffit de rendre la carac- ■' téristique divisible par 3 , ce qu'on fera en ajoutant — 1 et +1 ; on dira alors : le tiers de 3 est 1 ; le tiers de .17 est 5 ; le tiers de 27 est 9 , et ainsi de suite; ce qui donne 1,5919504 .
Le nombre 0", 390790 . . . , qui correspond à ce logarithme , est le rayou demandé.
Problème II. Trouver un nombre tel que 4 fois la racine cinquième de son cube, soi/ égal à 108 .
En appelant x ce nombre, on devra avoir
4y* s = 108' d'où x= yfçr
et, en appliquant les logarithmes.,
On trouve logI08 = 2,0334238
dont la somme =1,4313638 ;
multipliant par 5 , il vient 7,1568190; puis , en divisant par . 3 , 2,385liOG3 . Ce logarithme correspond au nombre demandé, 243. ■
Problème III. - Trouver la hauteur de l'hectolitre, sachant que c'est un cylindre dont le diamètre égale la hauteur.
Désignons par x la hauteur cherchée , qui est aussi le diamètre de la base. Le volume du cylindre aura pour expression * i*jE*Xo; ou' ^KX* ,
• Voy. noire Géométrie théorique e/proligae, 3- édition, n° 888. '
et, en l'égalant à 1 hectolitre, c'est-à-dire a (r- c ,l , on aura ^^=0,1 d'où a* = U$à ,
ou, par logarithmes,
, \ Iog0,4 + L3,l4l5926
Iog0,4 . =1,6 L 3,1415926 = 1,5028501
dont la somme est 1,1049100
Pour diviser par 3 , ajoutons — 2 et +2 , nous dirons : te liers de 3 est ï ; le tiers de '21 est 7 , etc., ce qui donne Ï.7016367 .
Ce logarithme correspond à la hauteur demandée O ra ,503079 ... ou, approximativement . 0"\503 .
Problème IV. Le lecteur pourra s'exercer sur les problèmes suivants r .
I. Trouver le rayon de la sphère dont la surface a 1 mitre carré.
(Réponse: ((=,282094.. . ou simplement 0 m ,282 .) . H. Trouver un nombre dont le tiers, le cube et la racine carrée forment un produit égal à 170;j .
(Béponse: 4 .)
III. Trouver la locuteur du litre, sachant que c'est un cylindre dont la hauteur est double du diamètre.
(Réponse: 0 in ,172050... Ou simplement 0 n, ,172 .) '■■ 299. 11 arrive quelquefois qu'une formule, qui n'est pas calculable par logarithmes, peut le devenir à l'aide de certaines transformations.
■ I. Soit proposé, pour premier exemple, de calculer le volume d'un cône connaissant son côté cl le rayon de sa base.
Désignons par V le volume du cône , par c son côté et par r le rayon de sa base ; sa hauteur étant l'un des cotés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont l'autre côté de l'angle droit est r et dont l'hypoténuse est c , sera exprimée par i/h* — r* ; par conséquent l'expression du volume V sera *
• Voy. noire GiométTimkéoriquc et pratique, 3- édition, n° 693.
Cotte formule n'est pas immédiatement calculable par logarithmes, à Cause du signe — qui réunit les carrés des données c, et r . Mais on remarque que la différence c* — /* peut être considérée comme le produit des deux facteurs r + c et c — r (36); on peut donc écrire
formule qui est calculable par logarithmes , puisque les signes -f . et — qui y entrent ne réunissent que les premières puissances des données.
En y appliquant les logarithmes, on obtient
Si r=sO ra ,Q4 et c=0- ,07 . on trouvera -, c + r — O m ,ll Iog0,ll=î,04l3927 c — r=0 u ,03 log 0,03 = 2, 4771213
, i (logO.H + logO,03) = 2,7592569
logO,M=2,6020599;... 2IogO,04 = 3,204H98 log3,H15926=0,-i97j.499 ■ -, L 3" =1,5228788 Donc logV = 5,9834054
Le volume demandé est le nombre correspondant a ce logarithme, ou. "V .. ■ - . , - .
ou 9©^*-** et 252 milli » ,i0u1 ' . ■
II. Comme second exemple, nous prendrons la formule qui donne l'aire d'un triangle au moyen de ses trois côtés, - . ■
En désignant cette aire par À , et les cotés par a , b , c , on démontre 'que l'on a .
A = i fïciïF—, [o« + C — **)' formule qui n'est pas calculable par logarithmes.
Mais on remarque. que la quantité placée sous le radical est la différence de deux carrés et se décompose, par conséquent, en deux facteurs, dont l'un est la somme des racines de ces carrés, et l'autre
* Vny. noire G&mitrti théorique et pratique, S" édllion, page isfi.
. DES LQGAMTHMES.
Or, la première quantité entre parenthèses revient à
et se décompose, par conséquent, en
(a-\- c + l.)(<t + c-b) . . . ; La seconde quantité entre parenthèses revient à
et se décompose en
(b + a-c)(b-a + cî ■ H vient donc , ■
\ = y(a + c + b){ a + c-b){b + a -c){b~ a -}-c) formule qui est calculable par logarithmes, puisque les et — ■ qui y entrent ne réunissent que des premières des donnée?.
On lui donne une forme plus simple en posant
a+b + c = 2s , d'où a + c — ô = 2(s— 6) ,
ft — o + c = 2(*— a) .
Substituant ces valeurs, et remarquant que le' facteur S*', 'mis hors du radical, devient 2* ou 4 , et détruit par conséquent le facteur i , on obtient
A = y'i(.*— a) (à—b) (s—c), ou, en appliquant les logarithmes,
logA= 4 [logs + log(s— a) f log(l — log(* ■ Si 0 = 41" , ô = 37» , c = \Q- ;
on trouvera d'abord a -j- 6 -}- c = 94 ; d'où s = 47 , s — a— 6 , s — i'=10 , s — c = .' Puis log47= 1,6720979 '
log 6=0,7781512 loglO= 1,0000000 log31 = 1,4913617
logA =2,4708054 .
L'aire demandée est le nombre correspondant a ce logarithme , ou
28(i SECONDE PAHTIE. — CHAPITRE X.
III. Le lecteur pourra s'exercer à rendre calculable par logarithmes la formule
qui représente l'aire d'un trapèze dont la plus grande base est a , la plus petite b , et les eâtés non parallèles c et d ,
Il trouvera qu'en posant a -\-c-\-d — b = ip elle peut s'écrire
formule calculable par logarithmes.
Pour o=83" , i — 61™ , c=S5 m , d — 49" ; il trouvera A = 3520»- r ,55 .
500. Lorsqu'une formule ne peut pas ûtre rendue calculable par logarithmes, c'est-à-dire lorsqu'on ne peut déduire le logarithme de l'inconnue des logarithmes des données, sans passer préalablement aux nombres, il faut au moins tacher de le faire le plus petit nombre de fois possible, ce à quoi on parvient quelquefois au moyen d'une inconnue auxiliaire.
I. Soit , par exemple, k calculer le volume d'un trône de pyramide dont la hauteur est h ni dont les bases sont des carrés ayant respectivement pour côtés a et h .
En désignant ce volume par V , on aura * \ = j l h{a*+b'+ab) , formule qui n'est point calculable par logarithmes. On pourrait bien calculer par logarithmes les quantités «* , 6" et nb ; mais il faudrait passer trois fois aux nombres pour obtenir la valeur de la quantité entre parenthèses. -
Pour l'éviter, ajoutons, entre les parenthèses, les termes -\-ab et — ab , cequi ne changera pas la valeur de V ; il viendra
V^^hia' + P+ïab— ab) ou V = iA[(o + ^-«ô] .
Posons x*=ab d'où x=\Jab et loga:=i(loga-|-IogiO . L'inconnue auxiliaire ayaal élé calculée , on pourra mettre x 1 à la place de «6 dans la formule , et il viendra "
y=^ih[(a + bf-a^ = ih(a+b + x)(a+b-x)
d'où
logV = E3 + logA + log( a +& + a ; )+log(o-|-&- 1 c) . * Vny. noWe CAmArie théorique et pratique, S- êilliion , n" 691.
On parvient ainsi à appliquer les logarithmes à la formule , en ne passant préalablement aux nombres qu'une fois au lieu de trois.
Soient, par exemple, a=12™' , b=iO m et A = 2™ . On aura d'abord
, log!2= 1,0791812 log 10 = 1,0000000 - 2,0791812 logic =1,0395906 .
Et, en passant aux nombres, x — 10,9797 .
Puis: 0 + 6-f- a; = 32,9797 ; Iog32,9797 = 1,5182467 a -j- b — x = 1 1 ,0203 ; log 1 1 ,0203 = l ,0421935 log 2 -=0,3010300 L 3 =1,5228788 d'où log V = 2,3843490
et V = 242-- clJ, ,2975....
II. Le lecteur pourra traiter de même la formule V = ^ lt A(R , + r 1 +Rr) , qui exprime le volume d'un tronc de cône , dont la hauteur est A et dont les bases ont pour rayons R et r ".
Pour R=6 , "r=5 , A=2 ; il trouvera # = 5,477225 ; puis V = 190-- :ul, ,590 .
501 . L'un des principaux usages des logarithmes est de servir à résoudre les équations exponentielles. Nous avons vu (271) que, dès que l'on sait résoudre l'équation
<f=b [1], pour une valeur particulière de a et pour toutes les valeurs de b , on suit , par cela mémo, la résoudre pour toute autre valeur de a . Or, les tables des logarithmes vulgaires résolvent immédiatement l'équation
on pourra donc en déduire la solution de l'équation [1] pour des valeurs positives quelconques de a et de b .
En appliquant, en effet, les logarithmes à cette équation, on eh tire
x logo = log ô
d'où
* Voy. noire Gèamétie théorique et pratique, 3' éililion, n" (i!l8.
c'est-à-dire que la valeur de x est te quotient du logarithme rlu nombre b par le logarithme du nombre a .
On pourrait même obtenir ce quotient par logarithmes; car, en appliquant les logarithmes à l'équation [3] , on en déduit
log x = log (log b) — log (log a) ou logaJ^logîlogôJ + L (loga) (294),
ou encore logx = logflogfi) + C'log(loga)— 10 (295). Soit, par exemple, à résoudre l'équation esponontiullc
loc3 0,4771212 on aura * =1^2 = 0,301(1300 '
d'où !og*==log(0,47712l2) + £(0,3010300) '.'■ \ '
^1,8786287 + 0,5213902 = 0,2000189 , d'où x = 1,58497....
On trouvera de même que la valeur de * dans l'équation (5,76)'=40 est «=2,10680 .
502. I. Enfin, ayant une table de logarithmes calculée dans le système dont la base est 10 , on peut par une opération trèssimple former une table de logarithmes dans un système quel-
En effet, soient a la base de ce système et y le logarithme d'un nombre n dans ce système, on devra avoir a* = î> .
Prenons les logarithmes des deux membres dans le système vulgaire, dont la base est 10 , il viendra ' : ■ -
y log fi — logrt ,
d '° û »=EÏS— »— U5Î*
Or, logn est le logarithme vulgaire de n , et y garithme dans le système dont la base est a ; on voit donc que pour obtenir le logarithme d'un nombre dans wi système quelconque, il suffit de diviser son logarithme vulgaire par le logarithme vulgaire de la base de ce système, ou, ce qui revient au même, de le multiplier par la quantité constante
Cette quantité constante, par laquelle il faut multiplier les logarithmes vulgaires de tous les nombres pour obtenir leurs logarithmes dans le système dont la base est « , est ce qu'on nomme le module de la nouvelle base , par rapport à la base 10 .
Si l'on demandait, par exemple, le logarithme de 2' dans le système dont la hase est 7 , il faudrait multiplier le logarithme
vulgaire de 2 , ou 0,3010300 p»r ^ ou par .
Ainsi en appelant x le logarithme demandé, on aurait *' = o1"So d'où log x = log 0,3010300 + E 0,8450980 , = 1,4786098 -f 0,0730928 , =1,5517026 ; d'où x = 0,3562071....
Plus généralement, si x est le logarithme d'un nombre » dans le système dont ia base est a , et que y soit le logarithme du même nombre dans le système dont la base est b , on devra avoir
et en prenant les logarithmes des deux membres dans le système dont la base est a , , . ,
ylogô — logw = a; ;
d'où
c'est-a-dîre qu'il faut diviser le logarithme du nombre « , pris dans le système primitif, par le logarithme de la nouvelle base pris dans ce même système primitif, ou, ee qui revient au même, le multiplier par la quantité constante
que l'on nomme le module de la nouvelle base par rapport à l'ancienne , et qui est le quotient de l'unité par ie logarithme de la nouvelle base pris dans l'ancien système.
II. Si l'on demandait dans quel système de logarithmes le nombre n a pour logarithme a , en appelant- x la base de ce système , on aurait
x*-ti ;
d'où ttloga: = logffl et log,c = ^^ ,
'■(îc?fi) 5
c'est-à-dire que pour .noir le logarithme de la base demandée dans un système quelconque, il faudrait diviser le logarithme du nombre n , pris (Unis c« im;m<: système , pur le logarithme donné.
Par exemple, si l'on demandait dans quel système de logarithmes le nombre 47 a pour logaritlime 3,8501475 ; en appelant x là base demandée , et en prenant les logarithmes dans le système dont la base est 10 , on aurait
'' . log j7 ^ 1,6720979
t * ar 7"3,8S0l476 3,8501475 " .
Effectuant ce calcul par logarithmes , on trouvera : ' log x = 0,4342947 ; d'où « = 2,71828.-...
Remarque. La base dont nous vemms <]•• d. i- i iniuor la valeur est en effet celle d'un système de logarithmes usité ; c'est celle des logarithmes népériens ou hyperboliques qui jouissent de propriétés remarquables , mais dont le développement ne saurait trouver
TB01SIÈME PlATIlù
