REMARQUES SDR 1, F \ T R ACTION DES RACINES C ARRHES ET .CUBIQUES

503. L'extraction de In racine carrée et celle de la racine cubique des nombres sont ordinairement excusées dans L-s traités d'Arithmétique ; c'est pourquoi nous n'avons pas cru devoir en parler dans le corps même de tel ouvrage. Mais comme la théorie de ces opérations donne lieu à plusieurs remarques qui ne peuvent être hien comprises sans le secours de l'Algèbre, il ne sera peut-être pas inutile de la reproduire, comme application des principes précédemment établis.

§ 1. De l'extraction de la racine carrée des nombres.

504. Le carré d'an nombre est le produit de ce nombre par lui même.

Les carrés des nombres

123456789 10 sont 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 .

On remarquera qu'aucun de ces carrés ne se termine par un des chiffres 2 , 3 , 7 ou 8 .

Les carrés des nombres

10 100 1000 etc., sont 100 10000 1000000 etc.

En général, le carré de 10" est 10 1 * ; c'est-à-dire que le carré de l'unité suivie de n zéros est l'unité suivie de 2n zéros. Le carré d'un nombre composé Uniquement de dizaines est un ,1? -

TROISIÈME PÀttTIi!. — CHAPITRE XL

nombre de centaines; car le nombre étant terminé par un zéro , le produit de ce nombre par lui-même sera terminé par deux zéros. Ainsi le carré de 80 est 6400 .

Le carré d'un nombre composé de dizaines et d'unités, se compose: du carré des dizaines, du double produit des dizaines par les unités, et du carré des Unilési

Car en appelant n ce nombre, d ses dizaines et u ses unités, on a

n = d-\-% , d'où «' = rf 1 -f- 2 r/w + m* .

On remarquera que d étantun nombre de dizaines, d 1 est un nombre de centaines, 2</« est un nombre de dizaines. Il en résulte que le chiffre des unités de n 1 est le chiffre des unités de m' ; donc le carré d'un nombre entier ne peut être terminé par aucun des chiffres 2 , 3 , 7 ou 8 .

Si un nombre admet un facteur premier p , il ne peut être un carré parfait qu'autant qu'il est divisible par p 1 . Car si un carré n' est divisible par p , le facteur p devant diviser l'un des deux facteurs du produit n X n divise nécessairement n ; ainsi n est de la forme pq , g étant un nombre entier; donc n 1 est de la forme j?V ; donc n* est divisible par " p* .

Par exemple, si un nombre est divisible par .2 et qu'il ne le soit pas par 4 , il ne saurait être un carré parfait. Si un nombre est divisible par 3 et qu'il ne le soit pas par 9 , il ne saurait •Stre un carré parfait ; et ainsi de suite.

ÎSOS. On appelle racine carrée d'un nombre un second nombre qui, multiplié par lui-même, reproduit le premier.

Ainsi 2 est la raeine carrée de 4 ; 3 est la racine carrée do 9 ; etc.

Lorsqu'un nombre n'est pas un carré parfait, sa racine ne peut être exprimée exactement ni par un nombre entier , ni par wra nombre fractionnaire.

D'abord elle no peut être exprimée par un nombre entier. Supposons qu'elle puisse l'être par un nombre fractionnaire ^ , qu'on peut toujours regarder comme réduit à sa plus simple expression. Il faudrait alors que son carré ^ fût un nombre entier. Or a et li n'ayant aucun l'acteur commun , il en est de même do «* et de h- , et par conséquent ^ ■ ne peut être égal à un nombre entier.

La racine carrée d'un nombre qui n'est pas un carré parfait est dite ,

Btt LA BACINE CARRÉE DES NOMBBES.

pour cette raison, incommensurable. On se propose ordinairement alors de trouver coite racine avec un certain degré d'approximation.

506. Extraire la racine carrée d'un nombre A moins p'UKE UNITÉ près (par défaut ) , c'est chercher la racine du plus grand carré contenu dans ce nombre.

Supposons d'abord que le nombre proposé n'ait pas plus de deux chiffres.

Soit, par exemple, le nombre 72 . Ce nombre est compris entre 64 et 81 ; sa racine est donc comprise entre 8 et 9 ; c'est-àdire que 8 est sa racine carrée à moins d'une unité , par défaut.

On voit qu'il suffit, dans ce cas, de chercher entre quels carrés consécutifs le nomhre proposé est compris ; la racine du plus petit de ces deux carrés est la racine demandée.

Au lieu de prendre la racine carrée à moins d'une unité près , par défaut, on pourrait la prendre par excès; ce serait alors la racine du carré imniydiauiuiunt supérieur au nombre proposé.

Ainsi 9 serait la racine carrée de 72 , à moins d'une unité près, par excès

Il peut arriver que In racine par excès soit plus approchée que !a racine par défaut. C'est ce qui arriverait, par exemple, pour le nombre 80 , dont la racine est évidemment plus voisine de celle de 81 que de celle de 64 , c'est-a-dire plus voisine de 9 que de S. Nous reviendrons d'une manière générale sur cette cire on si an ce.

507. Supposons, en second lieu, que le nombre proposé ait plus de 2 chiffres , mais pas plus de A . Soit, par exemple , le nombre 7209 .

Ce nombre ayant 4 chiffres, est compris entre 100 et 10000. Le plus grand carré contenu dans ce nombre étant au moins égal à 100 , qui y est contenu ,. est lui-même compris entre 100 et 10000 .Sa racine, qui est le nombre demandé, sera donc comprise entre 10 et 100 , et se composera par conséquent de dizaines et d'unités. Le carré de cette racine contiendra donc le carré des dizaines, le double produit des dizaines par les unités, et lo carré des unités. Le nombre proposé contiendra en outre un reste, s'il n'est pas un carré parfait.

Le carré des dizaines de la racine demandée , étant un nombre de centaines, ne peut se trouver que dans les 72 centaines du nombre proposé. Je dis que , si l'on extrait la racine carrée du plus grand carré contenu dans les 72 centaines du nombre proposé, on aura précisément le chiffre des dizaines de la racine demandée. En effet, désignons par a la racine du plus grand carré contenu dans 72 i nous aurons

rf<72 <(•+!)• ,

292 TDOISltME PAilTIB. — CHAPITRE XI.

,0u, en multipliant par 100 ,

a'X100<7200<{o+l) 1 xl00 ; mais, ces trois nombres exprimant des centaines, on ne changera pas le sens de l'inégalité , si l'on ajoute au nombre intermédiaire un nombre, 9 , moindre que 100 ; on aura donc a , .100<7209<(Q+l)'.IOO , ou, on extrayant la racine,

a.lO<y/72Ô9<{a+l).10 .

Là racine du nombre proposé est donc comprise entre a dizaines et a-\-l dizaines ; il en est donc de même de la racine du plus grand carré contenu, puisqu'elle diffère de la racine totale de moins d'une unité. Elle se compose donc de a dizaines , et d'un certain nombre d'unités moindre que 10 . Le chiffre des dizaines est donc a .

Le plus grand carré contenu dans 72 est 64 dont ia racine est 8 . Le chiffre des dizaines dclaracine demandée est donc 8 .

Retranchons du nombre proposé le carré des dizaines obtenues à la racine. Le reste 809 contient encore le double produit des dizaines de la racine demandée par les unités, plus le carré des unités , plus un reste si 7209 n'est pas un carré parfait.

Le double produit des dizaines de la racine par les unités étant un nombre de dizaines , ne peut se trouver que dans les 80 dizaines du reste 809 . Si ces 80 dizaines étaient exactement le double produit des dizaines de la racine par les unités, en le divisant par le double des dizaines obtenues on aurait les unités. Mais comme ces 80 dizaines peuvent contenir en outre quelques dizaines provenant du -carré des unités et du reste , s'il y en a un , en faisant celte 1 division il pourra arriver qu'on obtienne un quotient plus grand que le chiffre des unités ; et il sera nécessaire de l'essayer, i' Le double des 8 dizaines obtenues est 16 dizaines . Le quotient de 80 par 16 est 5 'j Pour essayer le chifl're 5 , ilfaut former le double produit des 8 dizaines par ces 5 unités , le carré de ces 6 unités ; et voir si la somme peut se retrancher du reste 809 . On fait ce calcul plus commodément en écrivant le chiffre à essayer , 5 , à la droite du double des dizaines obtenues , 16 , et en multipliant par 5 :

car on forme ainsi le produit du double des dizaines par les unités et le carré des unités.