DE LA RACINE CARRÉE DES NOMBRES

La somme 825 étant plus grande que 809 , on en conclut que le chiffre 5 est trop fort. On essaye de la même manière le chiffre 4 :

On voit que 4 n'est pas trop fort; et comme il ne peut être trop faible, il s'ensuit que c'est le chiffre exact des unités. La racine demandée est donc 84 .

On retranche 656 de 809 , et l'on obtient pour reste 153 , c'est le reste de l'opération.

Le nombre proposé est donc égal au carré de 84 , plus le reste 153 .

Yoicï le tableau de l'opération :

308. Hbmabode [. Si le double des dizaines n'était pas contenu dans les dizaines du reste , le chiffre des unités serait 0 ; et ce reste serait le reste de l'opération. Exemple : 620-3 8 17 0 49 1 4

Le double des 7 dizaines , ou 14 , n'étant pas contenu dans les 13 dizaines du reste 138 , le chiffre des unités est 0 ; la racine est donc 70 , et le reste de l'opération est 138 .

Remarque H. La crainte de mettre aux unités de la raeine un chiffre trop fort pourrait en faire mettre un trop petit. Voici comment on serait averti de cette erreur. Soit" a la racine trouvée; si elle élait trop petite d'une unité, le nombre proposé pourrait contenir le carré de a+1 .Or,cecarré, a'-|-2a-j-I , surpasse le carré de a de 2a + 1 ; mais le nombre proposé surpasse le carré de a d'une quantité égale au reste de l'opération. Il faudrait donc que ce reste fût au moins égal au double de la racine obtenue , plus 1 , pour que cette racine fût trop petite d'une unité.

Remarque III, La racine obtenue est approchée à moins d'une unité par défaut; en l'augmentant d'une unité on a la racine à moins d'une unité par excès. On peut demander quelle est celle qui est la plus approchée.

39/[ TROISIÈME l'AIITIL. — CHAPITRE XI.

Pour répondre à cette question , désignons par N le nombre proposé, par a. la racine obtenue , et par r le reste de l'opération; nous aurons

Faisons le carré de a + \ , nous aurons

(« + l)'=a' + "+i - Si r surpasse a , il le surpassera au moins d'une, unité, puisque ce sont des nombres entiers; on aura donc.

parsuite N>(a+ {)* , d'où y/N>a-H , c'est-à-dire que la racine du nombre proposé sera plus près de a-p-t 1 ue de « • ■ > -

Si r est égal ou inférieur à a, on aura

parsuite - N<(a-H)' , d'où +

c'est-à-dire que la racine du nombre proposé sera plus près de a

que de a-f-1 .

En résumé, it n'y a d'avantage à augmenter d'une unité ta racine obtenue que. lorsque te reste surpasse relie racine.

Si l'on a égard à celte règle, on aura toujours la racine à moins d'une demi-unité près.

309. Supposons maintenant que le nombre proposé ait plus de 4 chiffres, mais pas plus de 6 . Soit, par exemple, le nombre 72095» .

Ce nombre étant plus grand que 100 , sa racine est plus grande que 10 ; ilenestdomêmodelaracinoduplusgrand carré conlenu(307); elle se compose donc de dizaines et d'unités; et son carré contient le carré des dizaines , le double produit des dizaines par les unités et le carré des unités. Le nombre proposé contient en outre un resté, s'il n'est pas un carré parfait.

Le carré des dizaines de la racine demandée ne peut se trouver que dans les 7209 centaines du nombre proposé. On démontrerait comme ci-dessus (307] qu'en enrayant la racine carrée du plus grand carré contenu dans ces 7209 centaines , on aura les dizaines de- la racine. On trouve ainsi que ia racino demandée a S4 dizaines, et l'on obtient pour reste. 15358 .

Ce nombre contient encore le double produit des 84 dizaines obtenues par les unités, le carré des unités et un reste s'il y en a uu. Le double produit des S4 dizaines par les unités ne peut se