DS U RACINE CARRÉE DES K0MHRE
trouver' que dans les 1535 dizaines du reste. Si l'on divise ces 1535 dizaines par le doubla de 84 on 168 , on obtiendra pour quotient lu chiffre des unités ou un chiffre trop fort. Le quotient de 1535 par 168 est 9 . Pour essayer ce chiffre, on l'écrira û la droite du double des dizaines obtenues et l'on multipliera par co chiffre ; on formera ainsi le double produit des dizaines par les unités et le carré des unités; et l'on verra si le résultat peut Être soustrait du reste 15358 .
On obtient ainsi 15201
Ce nombre pouvant être soustrait de 15358 , le chiffre 9 est le chiffre des unités de la racine. La racine demandée est. 849 ; et ls reste de l'opération est 157 .
Le nombre proposé 720958 est donc égal au carré de 819 plus le reste 157 .
Voici le tableau des opérations :
■ iW '
On pourrait faire ici les mêmes remarques qu'au n° BOH.
510. En répétant ces raisonnements, on pourra extraire la racine d'un nombre composé d'autant do chiffres qu'on le voudra; et l'on est conduit à la règle suivante ;
Pour extraire, à moins d'une, unité, la racine carrée d'un noinbre entier, on le divise en tranches de. deux chiffres, à partir de la droite (la dernière tranche i: gauih'' pouvant n'en ncmr qu'un). On extrait la racine du plus grand car ri: caiilenu dans la premier': tranche à gauche; on a ainsi le chiffre, des p/us hautes unités de la racine. On soustrait de cette première tranche le carré du chiffre écrit à la racine; à la droite du reste, on écrit la tranche suivante, ee gui donne le PBEMtIR hestk. On sépare par un point le chiffre des unités de ce rente, et fond irise la partie à gauche par le double du chiffre obtenu à la racine; on obtient pnur quotient le. second chiffre delà racine, ou un chiffre trop fort. Pour l'essayer, on l'écrit à la droite du double du chiffre déjà obtenu, et l'on multiplie parle chiffre qu'on essaye. Si le produit peut être soustrait da premier reste. , le chiffre
essayé est bon , et on l'écrit à lu droite du chiffre déjà obtenu à la racine. A la droite du reste de la soustraction , on écrit ta troisième tranche du nombre proposé ; oâ obtient ainsi le second reste. On sé-
" pare son premier chiffre ii droite par un point, et l'on divise la partie à gauche par le double de la partie déjà obtenue à la racine; on obtient pour quotient le troisième chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. Pour l'essayer, on récrit à la droite du double de lapartie ■ déjà obtenue a la racine, et l'on multiplie par le chiffre qu'onessaye; si le produit peut être soustrait du second reste, le chiffre essaye est bon, et on l'écrit à la racine. A droite du reste de la soustraction, onéerit la quatrième tranche, et l'on obtient un troisième reste sur lequel on opère comme su, les précédents. On continue ainsi jusqu'à ■ce qu'on ait obtenu tous les chiffres de la racine qui sont en même
\ nombre que les tranches d« nombre proposé.
1 ,'5*311, Lorsqu'on a obtenu plus de la moitié des chiffres de la racine, les autres peuvent s'obtenir par une simple division.
Pour fixer les idées, soit N le nombre proposé ; supposons que . la racine, Vraoins d'une unité, ait 2n+l chiffres, et qu'on en ait déjà obtenu . Désignons par a la valeur de cette
partie obtenue, et par x ce qu'il faudrait y ajouter pour compléter la racine exacte. Soit enfin 11 le reste auquel on est par-
On aura H = (a^-x) t =a t +2ax-\-^ , .
d'où N— a* ou %=2a*-r-a^
et, en divisant par 2a , . .
dou * = Ta - Ta .
Soit b la partie entière du quotient de R par 2a, et, r le reste ; on pourra écrire
Or, puisqu'on a déjà obtenu m + 1 chiffres à la racine , il en reste n à obtenir; a; se compose donc d'un nombre de n chiffres, plus une quantité moindre que 1 ; x est donc moindre que l'unité suivie de n zéros; et conséquemmenl x* est moindre que l'unité suivie de 2n zéros . D'un autre coté, a se composant de n-|-i chiffres suivis de n zéros , est plus grand que l'unité suivie de 2 n zéros ; il en est de même, à plus forteraison.de 2a . La quantité ~ est donc moindre qUe 1;
