III. a + b

a'+àb —ab — b'

—F . ' y Cette multiplication montre que leproduitde la somme de deux quantités, par leur différence , équivaut à la différence de leurs carrés.

Ce théorème, écrit algébriquement, donne

57. Remarques. I. Si le multiplicande et le multiplicateur sont homogènes (23), le produit est lui-même homogène. Car chaque

terme du produit s'obtenant en multipliant un terme du multiplicande par un- terme du multiplicateur, le degré de ce terme du produit est la somme des degrés des deux termes qui l'ont fourni (32), c'est-à-dire la somme des degrés du multiplicande et du multiplicateur, puisque ceux-ci sont homogènes. Tous les termes du produit sont donc du même degré , c'est-à-dire qu'il est homogène.

Ou voit de plus que son degré est la somme des degrés des deux polynômes facteurs.

Ainsi , dans l'exemple donné au n° 33 , le multiplicande est homogène et du 4° degré, le multiplicateur est homogène et du 3' degré, le pioduit est homogène et du 7" degré.

38. II. Par suite des réductions qui s'opèrent entre les termes semblables, certains termes du produit peuvent disparaître; c'est ce qu'on voit dans l'exemple m du n° 30. Mais il y a toujours au moins deux termes qui ne disparaissent pas : ces termes sont, si le multiplicande et le multiplicateur .ont été ordonnés par rapport aux puissances d'une même lettre , le produit du premier terme du multiplicande par le premier terme du multiplicateur, et le produit du dernier terme du multiplicande par le dernier terme du multiplicateur.

En effet : si , pour fixer les idées,, on suppose ces polynômes ordonnés par rapport aux puissances décroissantes d'une même lettre ; le premier terme du multiplicande et le premier terme du multiplicateur contenant chacun la lettre ordonnatrice à une puissance plus élevée qu'aucun des termes qui suivent, leur produit contiendra cette même lettre a une puissance plus élevée qu'aucun autre terme du produit, et ne pourra conséquemment se réduire avec aucun autre. De même : le dernier ternie du multiplicande et le dernier terme du multiplicateur contenant chacun la lettre, ordonnatrice à une puissance moins élevée qu'aucun des termes qui précèdent, leur produit contiendra cette même lettre à une puissance moins élevée qu'aucun autre terme du produit , et ne pourra en conséquence se réduire avec aucun autre. Tels sont, dans la multiplication du n" 33, le premier terme 30a\c s du produit elle dernier -j-SŒ 7 .

Quelles que soient les réductions qui s'opèrent, il restera donc au moins deux termes au produit. La multiplication suivante offre un exemple du cas où il ne reste que ces deux termes.

-■-\-a, i b + d , P-\-a-b'+a!> i — a*b — a > b*—a>b i — atf — & a 1 — h 1

39. III. 1! peut Arriver que plusieurs termes du multiplicande contiennent la lettre ordonnatrice avec le même exposant; on ordonne alors ces termes entre eux par rapport à une seconde lettre, comme on l'a vu (24). La mémo circonstance peut se présenter au multiplicateur.

On écrit ordinairement les termes d'un même groupe (24) dans une même colonne verticale, afin do mieux distinguer les différents groupes. La multiplication s'effectue d'ailleurs comme à l'ordinaire.

Exemple. Sa?x t +606** —laba?

Sax —4aù

+ato

—§a*ba*+\'inb , x i ' — 8a*Fx

+ 6 e?ba*— 1 2 a'bx* — 24 aWte-f- 1 6 a W

— Âub*3?+ jjtfjfe)

9«V — 1 2 a*bx* — Via&z -{- 16 0*6* — 4 aoV-f 26 a'&'a?— 32 a'Px

Lorsque, comme dans l'exemple précédent, il y a au multiplicande et au multiplicateur plusieurs termes affectés do la plus haute puissance de la lettre ordonnatrice, on peut remarquer que le produit de ces deux groupes de termes donne le groupe- le plus élevé (24) du produit; c'est-à-dire que les termes provenant de la multiplication de ces deux groupes peuvent bien se réduira entre eux, mais ne sauraient se réduire avec eeux qui proviennent des groupes suivants, attendu qu'ils contiennent la lettre ordonnatrice principale avec un plus haut exposant. Ainsi , dans l'exemple cidessus, les termes 3nV— luhxi 1 du multiplicande, elles termes Zax-\-%bx du multiplicateur, ont fourni au produit quatre termes qui se sont réduits à deux 9a , x , —4ab'x' ; mais ces termes n'auraient pu se réduire avec les autres qui contiennent tous la lettre ordonnatrice x avec un exposant moindre que 3 .

La même chose aurait lieu s'il y avait au multiplicande et au multiplicateur plusieurs termes affectés do la moindre puissance de la lettre ordonnatrice; ces deux groupes de termes donneraient le groupe le moins élevé (24) du produit.

Ces remarques nous seront bientôt utiles.

40. IV. On a vu, en'arithmétique, et nous avons déjà rappelé, qu'un produit de facteurs entiers ou fractionnaires ne change pas dans quelque ordre qu'on effeotue les multiplications. Les quantités

OPÊIIATIOhS FOK ]> A M KK T A LUS< SS

monômes ou polynômes que nous considérons jusqu'ici n'étant, d'après les restrictions établies au commencement de ce chapitre, que des quantités numériques, on peut leur appliquer le même principe. Cette remarque fournit un moyen de vérifier une multiplication 1 algébrique; il suffit de 1b recommencer en prenant lâ multiplicateur pour multiplicande et le multiplicande pour multiplicateur; le produit doit rester le même. On pourrait encore recommencer l'opération en changeant de lettre ordonnatrice.

Mais il est préférable d'acquérir de bonne heure assez d'habitude du calcul pour pouvoir se passer de ces sortes de vérification.

S IV- D e la division.

41. La division, en Algèbre comme en arithmétique, est uneopération par laquelle, étant donnés un produit de deux facteurs et l'un de ces facteurs, on 6e propose de retrouver le second facteur. Le produit donné est le dividende, le facteur donné est le diviseur, le facteur cherché «st le quotient.

Soit d'abord à diviser un monôme (positif) par un autre monôme (également positif), par exemple I5a , b , xy' par 5a?b'x .

D'après les règles de la multiplication des monômes (33) le coefficient 15 du riividendeaétéforméen multipliant le coefficient 5 dudiviseur par le coefficient inconnu du quolieut ; ou obtiendra donc ce coefficient inconnu en divisant 15 par 5 , ce qui donne 3 .Le quotient ne peut contenir aucune lettre qui ne soit pas au" dividende. Or, l'exposant 5 de la lettre a. au dividende est la somme de l'exposant 3 de la même lettre au diviseur et de l'exposant inconnu de cette même lettre au quotient; on obtiendra' donc cet exposant inconnu en retranchant 3 de 5 , ce qui donne pour reste 2 et montre que le quotient doit contenir le facteur a* . De même, l'exposant 3 de la lettre b au dividende est la somme de l'exposant 2 de cette même lettre au diviseur et del'exposantinconnudecette même lettre au quotient; on obtiendra donc cet exposant inconnu en retranchant 2 de 3 , ce qui donne pour reste 1 , et montre que le quotient contiendra le facteur 6 . La lettre x entrant avec le même exposant au dividende et au diviseur, ne saurait entrer au quotient. Lalettre y n'entrant pas au diviseur, doit entrer au quo-, tient avec le même exposant qu'au dividende. Le quotient sera donc 3a%* . Et, en effet, en multipliant 5<rWc par Za , by > on retrouve bien lbaWxy* ■

'De là cette règle ; pour diviser deux monômes (positifs) l'un par l'autre, divises le coefficient du monôme dividende par le coefficient du monôme diviseur, vous obtiendrez le coefficient du monôme quotient. Examines successivement chaque lettre du dividende. Si elle

•2tl PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I[.

est commune au dividende et au diviseur, et que son exposant au dividende surpasse son exposant au diviseur, écrivez-la au quotient avec un exposant égal à la différence de ces exposants. Si elle a le même exposant au dividende et au diviseur, dispensez-vous de l'écrire au quotient. Si elle n'entre qu'au dividende, écrives-la avec le même exposant au quotient.

Exemple. Lequotientde 1%a , b i cd'x x par 7o*6Vd* est Aa&dx'.

4'À. Rehàrqles. I. La division serait impossible : 1° si le diviseur contenait une lettre qui n'entrât pas au dividende; 2° si une lettre avait au diviseur un exposant plus élevé qu'au dividende; 3" si le coefficient du dividende n'était pas exactement divisible par le coefficient du diviseur.

II. lorsqu'une lettre entre au dividende et au diviseur avec le même exposant, si on lui appliquait la même règle qu'aux autres lettres , on devrait l'écrire au quotient avec un exposant égal à la différence des exposants qu'elle a au dividende et au diviseur, c'està-dire avec l'exposant a^ro. Ainsi, le quotient de lbd'Vx par 3a*b serait 5a°bx .

Or, nous avons vu que le quotient doit être 5bx ; le facteur a 0 représente donc un facteur qui n'altère pas le produit; c'est-à-dire qu'il représente l'unité.

On se sert quelquefois de ce symbole pour conserver au quotient la trace d'un facteur du dividende qui disparaîtrait sans cela. Mais il faut bien se rappeler qu'une expression telle que o 1 est le symbole de l'unité, ou que a' est égal à 1

45, Soit maintenant à diviser un polynôme par un monôme (positif), par exemple 30a a bx'-\-lSa i bx' — 24a s &c par 6a}bx .

Le quotient sera un polynôme, car le produit d'un monôme par un monôme serait un monôme. Or, on a vu (33) que le produit d'un polynôme par un monôme est un polynôme composé du même nombre de termes affectés des mêmes signes, et qu'ils s'obtiennent en multipliant respectivement chaque terme du polynôme multiplicande par le monôme multiplicateur. On formera donc le quotient demandé en divisant chaque terme du polynôme dividende par le monôme diviseur, et affectant chaque terme du quotient du même signe que le terme du dividende qui l'a fourni.

Lequotientde 30a s 6a^ par Qa'bx est 6as^ ; on l'écrira au quotient total , où il sera censé avoir le signe -|- , attendu qu'il sera le premier. Le quotient de 18a'&r s par Gu'bx est $a*x ; on l'écrira avec le signe -f à la suite du premier terme du quotient total. Lequotientde 24a ! bx par 6a'6x est 4 q s ; on l'écrira avec le signe — à la suite des deux premiers termes du quotient total.

Le quotient total sera ainsi 5ax'-+-3a'x — 4^ . On peut vérifier, en effet, qu'en multipliant ce quotient parie diviseur 6a*bx on reproduirait le polynôme dividende.

On voit que pour diviser un polynôme par un monôme (positif), il faut diviser chaque terme du polynôme dividende par le monôme diviseur, et affecter chaque terme du quotient du même signe que le terme du dividende qui l'a fourni.

Ainsi, le quotient de 12a'oV — 8 0*6*0 + 20 a" 6"c — ia¥c par Aa&c est Za'b — 2û , 6'+5ûù s — .

Remarque. La division serait impossible si un terme quelconque du polynôme dividende n'était pas exactement divisible (42) par le monôme diviseur. .

44. Lorsque tous les termes d'un polynôme admettent un facteur commun, il est souvent utile de mettre ce facteur en évidence, c'està-dire do décomposer ie polynôme en deux facteurs dont l'un soit le facteur monôme commun à tous ses termes , et dont l'autre soit le quotient du polynôme proposé par le facteur commun; ce quotient ou ce facteur polynôme 'se met alors entre parenthèses. Par exemple, on a vu tout à l'heure que le polynôme 30a>bx i + na > bx* — Ha s bx était divisible par Ga'bx et donnait pour quotient

On peut donc écrire ce polynôme de la manière suivante: {bax' + Wx — 4o- 1 )6o , fcr .

qui exprime le produit du quotient par le diviseur (15). Le facteur monôme peut se mettre indifféremment à droite ou à gauche de la parenthèse.

Soitdemêmelepolynome Wa^Pe— 8 a , ù l c + 20 a'fc — 4o6'c . On reconnaît que le facteur 4o6*c est commun à (dus ses termes ; on peut donc mettre co facteur en évidence , en écrivant entre parenthèses le quotient du polynôme proposé par le facteur mis hors parenthèses. On aura ainsi : '

iab l c(Za'b — 2û , 6 , + 5o6 , — 6') . ' ^

On fait encore usage d'une autre notation qui remplace les parenthèses. Lorsqu'un polynôme contient plusieurs termes affectés de la. même puissance de la leltro ordonnatrice, ou écrit quelquefois ces termes dans une même colonne verticale ; mais la lettre ordonnatrice ne s'écrit qu'une fois dans cette colonne, et on la sépare des

26 PRBMIÊnE PARTIE. — CHAPITRE II.

autres facteurs par un trait vertical, qui tient lieu de parenthèses, Ainsi, au lieu d'écrire

9oV— Aa&a?— 12d , fcr , +26a , ôV+12«6 1 **— titf&x— 32a*Poe

+ 16 a'*' , ou écrira

9t?\x?— 12tM ta»— IBtfP te-f-WaW — 404*1 +26o'ô' —320*^1 + 12ÛÙ 5 |

On voit que a? est mis en facteur commun par un trait vertical pour les deux premiers termes , pour les trais suivants, et x pour les deux suivants.

AS. Soit enfin à diviser un polynôme par un polynôme; par exemple,

MoW — 28 oV — 3 «V -f 5aW— 1 4 afx + 3 o 1 par 5aa* — 3n'.r* — 4.flte +a* .

On commencera par écrire te diviseur à la droite du dividende, en les ordonnant par rapport aux puissances d'une même lettre, s'ils n'étaient pas déjà ordonnés ; et on les séparera par un trait vertical. On tirera un trait lionwmld au-dessous du diviseur pour le séparer du quotient. Ces dispositions sont indiquées dans lo tableau ci-dessous; les polynômes y sont ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de la lettre x .

Dividende. Diviseur.

300*0?— 28a s .r l — 3a*a?+5<tx*—i4ifB+&# : | haa?— 3oV— 4a".g+a t — 30aV+18(! , j'+2'iii'^— Oo 5 ^' Gax-— ïtfx-^u' Quotient.

V reste... —WaV+lla-a;'— nV— Ua'x+Sa 1 -|-10aV— fe'-c"— 8û ! ;r ! -f Za*x

2* reste. -f IStfix*— 9«W— Ifcrtc-J^tf

— i5aV+9(rV+l 2a';c—