DE LA RACINE CARRÉE DKS NOMMES

d'ailleurs ^ est une. fraction; leur différence ■

• ' la la

est donc moindre que 1 . Par conséquent , on a. , à moins d'une unité près, «"

c'est-à-dire que si on divise le reste R par 2a , la partie entière du quotient donnera les n chiffres qui restent à trouver à la racine. Mais on pourra avoir ainsi la racine approchée, à moins d'une unité par excès ou par défaul, suivant que x? sera plus grand ou plus petit que r , ce qu'on ne peut savoir apriori.

Si , par exemple , on demande , à moins d'une unité près , la ra-* cine de 2000000000000 ; la racine devant avoir 7 chiffres, il suffira d'en calculer 4 par la règle du n" 510. On trouve que ces 4 premiers chiffres sont 1414 , et l'on obtient pour reste 604000000 . Si l'on divise ce reste par le double de 1414000 , c'est-à-dire par 2S28000 , ou, ce qui revient au même, 604000 par 2828 , on obtiendra les 3 derniers chiffres de la racine. On trouve ainsi, pour ces 3 derniers chiffres 213 ; et la racine totale est par conséquent 1414213 , à moins d'une unité près, par excès ou par défaut.

Remarque. On peut déterminer, a posteriori, si la racine obtenue est approchée par excès ou par défaut. On a en effet

N — a* -}- R et R = 2aÈ+r d'où ' H = a'+'<lab + r .

Si r est plus grand que If , N sera plus grand que (a-\~bf , et o-f- b sera approché par défaut. Si r est moindre que b* , N sera moindre que (a-\-b} % , et. a-\-b sera approché par excès. . > '

Dans l'exemple précédent, on trouve r = 1636000 ; et l'on a & = 213 ; par conséquent r est plus grand que 6* ,etlaracine obtenue est approchée par défaut.

512. Soit maintenant à extraire lu racine du nombre n , à moins de la fraction - . près.

C'est chercher deux fractions ayant pour dénominateur p et pour numérateurs deux nombres entiers consécutifs x et a;+l , tels que ces fractions comprennent entre elles la racine de n . Ainsi on doit avoir

d'où s <i/np , <a; + l ,

598 TflOiSIÈWE PARUE, — CHAPITRE SI.

c'est-à-dire que x est la racine du plus grand carré contenu dans ïlp* .Ainsi -.pour extraire la racine d'un nombre n , à moins d'une fraction près ayant pour numérateur 1 et pour dénominateur p , il faut multiplier te nombre proposé n par te carré du dénominateur p , extraire la racine du produit à moins d'une unité, et donner à cette racine le dénominateur p .

Si, par exemple, on demande la racine de 42 à moins de i , on

multipliera 42 par 49 , carré de 7 ; on extraira à moins d'une unité la racine du produit 2058 ; ayant obtenu cette racine, qui

est 44 , on lui donnera le dénominateur 7;etl'onaura ~ ou 6^

pour la racine demandée.

313. Si la fraction qui exprime l'approximation est une imité d'un certain ordre décimal , l'application de la règle ci-dessus conduit a mettre à la droite du nombre proposé 2 fois autant de zéros qu'on mit obtenir de oYcutta'es à hi racine ; il extraire à moins (l'une unité la racine du nombre ainsi obtenu , et à séparer sur la droite de oelte racine le nombre de décimales demandé.

Soit, par exemple, à extraire la racine de 2 a moins de ^qôqôÔQ ' il faudra mettre 12 zéros à la droite de 2 , ce qui donnera le nombre 2000000000000 ; extraire à moins d'une unité la racine de ce nombre, ce qui donnera 1414213 ; et séparer 6 décimales sur la droite de cette racine, ce qui donnera 1, 414213 .

Dans le cas où l'on doit avoir un grand nombre de décimales , on peut appliquer la méthode abrégée du n" 311.