Soit enfin à extraire la racine carrée d'une fraction
I. Si les deux termes sont des carrés parfaits, il suffira d'en extraire séparément la racine ; car, pour élever une fraction au carré , il faut, d'après la règle de la multiplication des fractions, y élever séparément ses deux termes.
Ainsi , la racine carrée do ^ est | .
II. Si le dénominateur seul est un carré parfait, on peut en extraire exactement la racine, puis extraire celle du numérateur à moins d'une unité ; on obtient ainsi la racine demandée à moins d'une fraction dont le numérateur est 1 , et dont le dénominateur est la racine carrée du dénominateur de la fraction proposée.
Ainsi , la racine de ^ est ^ ou | à moins de | . Mais ce degré d'approximation paraît en général insuffisant; il convient d'obtenir la racine à moins, d'une fraction dont le numé-
DE U llidKE CARBÉE DES NOMBRES. 299
rateur soit 1 et le dénominateur celui de la fraction proposée. Pour cela on opérera comme dans le cas suivant.
III. Si aucun des deux termes n'est un carré parfait, on rendra le dénominateur un carré en multipliant li>s deux [r:rmes du la faction proposée par son dénominateur ; on extraira la racine du numérateur à moins d'une unité, et celle du dénominateur exactement. On aura ainsi la racine demandée à moins d'une fraction ayant pour numérateur l'unité, et pour dénominateur celui de la fraction proposée.
Ainsi, la racine de ^ sera celle do ^ , c'est-à-dire ^ ou ~ à moins de i .
On peut souvent rendre le dénominateur un carré parfait sans être obligé de multiplier les deux termes par ce dénominateur, mais on n'obtient pas ainsi une approximation suffisante.
Ainsi, en multipliant les deux termes de la fraction ^ par 3 ,
on obtient |^ , dont le dénominateur est un carré parfait ; et si
on en extrait la racine on obtient ou ~ , h moins de ~ i
b ,6 fa
tandis que nous l'avons obtenue à moins de tout à l'heure.
IV. On peut même obtenir la racine demandée à moins d'une fraction ayant pour numérateur l'unité , et pour dénominateur un multiple quelconque du dénominateur de la fraction proposée. Par
exemple, on peut obtenir la racine de | à moins dé ^ . Pour
cela, il suffit de multiplier les doux termes par nt'b , ce qui
donne ; et en extradant la racine , SI l'on extrait
la racine indiquée au numérateur à moins d'une unité, on obtiendra
celle de la fraction proposée à moins de ^ .
Ainsi , pour obtenir la racine de à moins de ~ . on mu!tipliera les deux termes par 25 X 12 ou par 300 , ce qui donnera 5 et, en extrayant la racine, ~ ou ~ à moins
IÎemauque. Il peut arriver qu'en extrayant la racine de ^ à
moins de ^ , on obtienne pour racine là fraction proposée ellemême. Il suffit pour cela que la racine de ab , à moins d'une unité > soit a . Or, on a dans ce cas
a<V^6<« + l , ou , en élevant au carré ,
o'<fl6<«' + 2fl+i ; ou ,. en divisant par a ,
c'est-à-dire que b est plus grand que a , mais plus petit que (C-J--2 +5 î '1 ne peut donc avoir que l'une des valeurs a + l ou a+2 . En d'autres termes, la circonstance dont nous parlons se présentera quand le dénominateur ne surpassera le numérateur que de 1 ou 2 unités au plus.
Par exemple, la racine de g , à moins de ^ , est la racine de p , c'est-a-dire g .
. S II. De l'extraction île la racine cubique des nombres.
318. iecube d'un nombre est un produit de trois facteurs égaux à ce nombre.
Les cubes des nombres -
13 3-4 5 6 7 8 9 10, sont 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 .
Les cubes des nombres
10 100 1000 etc. ,
sont 1000 1000000 1000000000 .etc.
En général, le cube de 10" est 10 1 " .
Le cube d'un nombre composé uniquement de disaines est un nombre de mille; car le nombre étant terminé par un zéro, un produit de trois facteurs égaux à ce nombre sera terminé par trois zéros. Ainsi le cube de 80 est 512000 .
Le cube d'un nombre composé de disaines el d'unilés contient :
Oigiiizad 0/CoogI
