DE LA RACINE CUBIQUE DES HOMBBES

le cube des disaines, le triple produit du carré des disaine» par les unités, le triple produit dès dizaines par le carré des unités, et le cube des unités.

Car en appelant » ce nombre, d ses dizaines et u ses unités, on a

n = d+u , d'où rt = d i -\-?,dH+Zdu'-\-v> (248).

3lB. On appelle racine cubique d'un nombre un secondnombre qui, pris trois /ois comme jacteur, reproduit le premier.

Ainsi 2 est la racine cubique de . 8 ; 3 est la racine cubique de 27 , etc. On démontrerait comme au n° 30S, que lorsqu'un nombre n'est pas un cube parfait, sa racine cubique est incommensurable. On ne peut alors l'obtenir qu'avec un certain degré d'approximation.

Extraire la racine cubique d'un nombre à moins d'une unité près {par défaut), c'est chercher la racine du plus grand cube contenu dans ce nombre.

Supposons d'abord que le nombre proposé n'ait pas plus de 3 chiffres; soit, par exemple, le nombre 641 .

Ce nombre est compris entre 512 et 729 ; sa racine cubique est donc comprise entre 8 et 9 ; c'est-à-dire que sa racine cubique à moins d'une unité, par défaut, est 8 . Il suffit, comme on voit , dans ce cas , de chercher entre quels cubes consécutifs te nombre proposé est compris; la racine du plus petit de ces deux cubes est la racine demandée.

La racine du plus grand serait la racine approchée à moins d'une unité par excès. Ainsi 9 serait la racine de 641 par excès.

317. Supposons, en second lieu, que le nombre proposé ait plus de 3 chiffres, mais pas plus de 6 .Soit, par exemple, le nombre 641793 .

Ce nombre ayant 6 chiffres est compris entre 1000 et 1000000 . Le plus grand cube contenu dans ce nombre étant au moins égal à 1000 qui y est contenu, est lui-même compris entre 1000 et 1000000 . Sa racine, qui est le nombre demandé, sera donc comprise entre 10 et 100 , et se composera par conséquent de dizaines et d'unités. Le cube de cette racine contiendra donc le cube des dizaines, le triple produit du carré des dizaines par les unités, etc. Le nombre proposé contiendra en outre un reste s'il n'est pas un cube parfait.

Le cube des dizaines de la racine demandée étant un nombre de mille , ne peut se trouver que dans tes 64lmille du nombre proposé. Je dis que , si l'on extrait la racine cubique du plus grand cube contenu dans ces 641 mille , on aura le chiffre des dizaines

3(12 TH01SIÈUE PART1B. — CHAP1TBB XI,

de la racine demandée. En effet, si a désigne la racine de ce plus grand cube, on aura

d'où o J . 1 OOO < 64 1000 < (a + 1/ . 1000 ;

ou en ajoutant 703 au nombre intermédiaire, ce qui ne changera pas le sens des inégalités , puisque ces nombres expriment des mille,

tf.l00O<64l793<( tt +l)M0O0 ; ou, en extrayant la racine cubique,

. a.lO<v'êîÎ7Ô3<(a-|-lJ.10.

La racine du nombre proposé est donc comprise entre a dizaines et a + î dizaines ; il en est de même de la racine cubique du plus grand cube contenu, puisqu'elle diffère de la racine totale de moins d'une unité. Elle se composera donc de «dizaines et d'un certain nombre d'unités moindre que 10 .

Le plus grand cube contenu dans 641 est 512 , dont la racine est 8 . Le chiffre des dizaines de la racine demandée est donc 8 .

Retranchons du nombre proposé le cube des dizaines obtenues à la racine; le reste 120703 contient encore le triple produit du carré des dizaines de la racine demandée par les unités, etc. ,

Ce triple produit du carré des dizaines par les unités étant un nombre de centaines, ne peut se tronver que dans les 1297 centaines du reste; et si l'on divise ces 1297 centaines par le triple carré des dizaines de la racine, on aura le chiffre des unités ou un chiffre trop fort. Divisant 1297 par 3 fois 64 ou par 192 , on trouve pour quotient 6 . Pour essayer ce chiffre il faut former le triple produit du carré des dizaines par 6 , le triple produit des dizaines par le carré de 6 , puis le cube Je 6 , et Voir si lasomme de ces trois parties peut être retranchée du reste 129793 .

Oh fait ce calcul plus commodément en remarquant que 3(ft« -fSi&'+u' peuts'écrire [3(i*+(3d + H)M]t( .

On fera donc ie triple des dizaines 3(i ; on y ajoutora les unités, ce qui donnera Sd-\-u , et l'on multipliera la somme par les unités, ce qui donnera (3(/-}-u)i/ ; on ajoutera ensuite ce produit au triple carré des dizaines i|ui est déjà formé; on aura ainsi 3d* + &d-\-u)u ; et en multipliant par les unités, on aura enfin

[3d* + (3rt +«)u]u ou aiPo-r-Srfii' + M'-. * "■