DE LA BACISIE CUBIQUE DES NOMBRES
Voici le tableau de ce petit calcul dans l'exemple dont nous nous occupons :
Triple des dizaines 240
Somme
Produit par les unités 6 Triple carré des dizaines Somme
Produit par les unités 8
Ce nombre étant plus petit que le reste 129793 , le chiffre essayé 6 n'est pas trop fort. On l'écrira donc à la racine; et en retranchant 124056 de 129793 on aura le reste de l'opération 5737 . '
Voici le tableau général des calculs :
Remabque ï. Si le triple carré des dizaines de la racine n'était pas contenu dans les centaines du reste, le chiffre des unités serait 0 , et ce reste serait le reste de l'opération.
Remabque II. La crainte de mettre aux unités de la racine un chiffre trop fort pourrait en faire mettre un trop petit. On s'en apercevrait si le reste de l'opération contenait le triple du carré île la racine, plusle triple de celte racine, plus 1 ; car le cube de (a-\-lf étant a ! +3o*-f3a+l , surpasse le cube do a de 3o ! +3a-M .
318. Silenombre proposé avait plusde 6 chiffres, mais pas plus de 9 , on démontrerait comme ci-dessus qu'en extrayant la racine du plus grand cube emilcmi dans ses mille on aurait les dizaines de la racine demandée, lesquelles seraient alors exprimées par un nombre de 2 chiffres. On retrancherait des mille du nombre proposé le cube des :ii/:iirii - lilitomuv à la racine , et à côté du reste on abaisserait les trois chiffres suivants. On remarquerait comme eidessus que le triple produit du carré des dizaines obtenues par les unités ne peut se trouver que dans les centaines de ce reste; et que par conséquent en divisant ces centaines par le triple carré des dizaines obtenues à la racine , on aurait les unités ou un chiffre trop
fort, On essayerait ce chiffre comme ci-dessus; puis, s'il était reconnu bon , on l'écrirait à la racine. Exemple :
Ayant obtenu les deux premiers chiffres de la racine , comme cidessus, on a pour reste 5737 ; et en abaissant les 3 chiffressuivants, 5737845 . On forme le triple carré de 86 , qui est 7396; on divise 57378 par 7396 ; on trouve pour quotient 8 ; mais aveu un peu d'habitude on reconnaît facilement que ce chiffre serait trop fort. On essayedonc 7 ; on obtient 5303963 qui peut être retranché de 5737845 . Le chiffre 7 est donc bon ; la racine demandée est 867 ; et le reste de l'opération 433882 .
De là cette règle :
Pour extraire, à moins d'une unité, la racine cubique d'un nombre entier, on le divise en tranches de 3 chiffres à partir de la droite {la dernière tranche à yauche pouvant en avoir moins de 3 )-. On extrait ta racine tin plus granit cube contenu dans la première tranche àgauehe; on a ainsi le chiffre des plus hautes unités de la racine. On soustrait de ectte, première tranche le cube du chiffre trouvé à la racine; à ta droite du reste on abaisse la tranche suivante , ce qui donne un premier reste. On sépare par un point les deux premiers chiffres à droite de ce reste, et l'on divise la partie à gauche par le triple carré du chiffre obtenu à la racine; on obtient pour quotient le second chiffre de la racine, ou un chiffre trop fort. Pour l'essayer, on l'ajoute- au triple de la partie déjà trouvée à la racine et l'on multiplie, la somme par ce chiffre; au produit on ajoute le triple carré de la partie obtenue à la racine et l'on multiplie, celle, noune/le somme par te chiffre qu'on essaye. Si le produitpeut cire retranché du premier reste, le chiffre essayé est bon , et on l'écrit à la racine. A la droite du rate de ta soustrac-~ lion on abaisse la tranche mirante.; un obtient ainsi un SECOND RESTE. On sépare par un point les deux premiers chiffres à droite, et l'on divise la partie, à. ejauchc par le triple carre de la partie déjà obtenue à la racine; on essaye le quotient comme ci-dessus, et l'on continue
DE LA RACINE CÏIBIQUE DES NOMBBEE. 305
ainsi jusqu'à ce qu'on ait obtenu tous les chif/resdela racine, gui sont en même nombre que les tranches du nombre proposé,
519. Soitniaintenantaextraîre la racine cubique dunombre n à moins de la fraction - près.
C'est chercher deux fractions ayant pour dénominateur p et pour numérateurs deux nombres entiers consécutifs x et x-\-\ tels que ces fractions comprennent entre elles la racine cubique de m . Ainsi on doit avoir ■
d'où tf<iV<:e+l ,
c'est-à-dire que x est la racine du plus grand cube contenu dans np' . Ainsi , pour extraire la racine ont bique^d'un nombre n à moins d'une fraction ayant pour numérateur 1 et pour dénominateur p , il faut multiplier le nombre proposé n parle cube du dénominateur p , extraire la racine du produit à moins d'une unité , et donner à cette racine le dénominateur p .
Si, par exemple, on demande la racine cubique de 15 à moins de i , on multipliera 15 par 729 cube de 9 , onextraira àmoins d'une unité la racine cubique du produit 10935 ; ayant obtenu cette racine, qui est 22 , on lui donnera le dénominateur 9 - et l'on aura y ou 2j pour la racine demandée:
Si la fraction qui exprime l'approximation est une unité d'un certain ordre décimal, l'application di! la règle ci-dessus conduit à mettre à la droite du nombre proposé 3 fois autant de zéros qu'on veut obtenir de décimales; à extraire à moins d'une unité la racine cubique du nombre ainsi obtenu; et à séparer sur la droite de cette racine le nombre de décimales demandé.
Soit, par exemple, à ejslçaire la racine cubique do 2 à moins, de t il faudra mettre 6 zéros à la droite de 2 , ce qui
donnera 2000000 ; extraire à moins d'une unité la racine de ce nombre, ce qui donnera 125 ; et séparer deux décimales sur la droite de cette racine, ce qui donnera , 1,23 .
■ 320. Soit enfin à extraire la racine cubique d'une fraction.
I. Si les deux termes sont des cubes parfaits , il suffira d'extraire séparément la racine de chacun d'eux; car, pourélever «ne fraction* -
306 T&QiSIÈHE l'ÀUTIE. — CAUUHE M.
au cube , U faut, d'après les règles de lu multiplicalion des fractions, y élever séparément ses deux terroes. . -,
Ainsi „Ia racine cubique de ^ est g .
II. Dans tous les autres cas, on obtiendra la racine- demandée, à moins d'une fraction ayant pour numérateur l'unité , et pour dénominateur celui de la fraction proposée, en multipliant les deux termes decelto-ci par son dénominateur, extrayant la moine cubique du numérateur à moins d'une unité, et celle du dénominateur exactement.
Car ^ revient à ^ , dont la racine cubique est . Ainsi ,
. . , 7 „ . 1008 , .... ^ÎÔOS
la racine cubique de sera celle de , c esta-dire 1 — ,
ou ^ ,ou g .àmoinsde ^ .
ill. On peut obtenir la racine demandée ù moins d'une fraction ayant pour numérateur 1 et pour dénominateur un multiple quelconque du ilt'-itu itj i i iuLeur de lii fraction proposée. Par exemple, on
peut obtenir la racine cubique de | àmoinsde ~g . Pour cela,
il suffît de multiplier les deux ternies par m'/l 1 , ce qui donne
'~\ , et en extrayant la racine ^-- l ''- J -- . Si l'on extrait la racine
indiquée au numérateur à moins d'une unité, on obtiendra celle de
la fraction proposée a moins de ^ .
Ainsi, pour obtenir la racine cubique de ~ àmoinsde ,
on multipliera les deuï termes par 125X144 ou par 18000,
J 26000 Sû 5
cequidonnera ^ ; et, en extrayant la racine, ^ ou g ,
