U : 11 .14 ; etc
322. On peut calculer un terme de-rang quelconque, connai'ssant le premier et la raison, sans qu'il soit nécessaire pour cela de former les termes intermédiaires.
Soient en effet a le premier terme et '8 la raison.
le deuxième terme sera s-f-A ; -
le troisième terme sera a -f- 2S ;
le quatrième terme sera o-|-3 '5 ;
le cinquième terme sera a~\-4S ; et ainsi de suite.
On remarque que le coefficient de ! est précisément le nombre des termes qui précèdent celui qu'on veut former; en sorte qu'en appelant i le terme de rang n , c'est-à-dire qui en a n — t avant lui, on aura
c'est-à-dire qu'un terme de rang quelconque est égal au premier augmenté d'autant défais la raison qu'il y a de termes avant lui.
Comme applications de cette formule, soit à résoudre les problèmes suivants : '
I. Un ouvrier place cette année 200 fr. à la caisse d'épargne , et se propose d'y ajouter 125 fr. chaque année; quelle sera la somme placée au bout du 15 ans ? (Abstraction faite des intérêts.)
lia somme demandée est le seizième terme d'une progression par différence, dont le premier terme est 200 et dont la raison est 125 . En appelant x cette somme, on aura donc a; = 200 f -|-125 f X15 = 2O75 [ .
II. Un charretier doit déposer 50 voitures de sable en des points espacés de 20™, en 20"' sur une route; le point où il vient prendre le sable est situé sur la même route, à 150° de veluy où il doit déposer la première voiture; quel chemin aura-t-il à parcourir pour déposer la 50* voilure et revenir au point de départ?
Pour déposer la première charretée et revenir au point de départ, il aura à parcourir deux fois 150", c'est-à-flire 300" . Pour déposer la seconde et revenir, il devra parcourir 20° J de plus en allantet 20™ én revenant, c'est-à-dire 40" de plus que pour la première. Pour déposer la troisième et revenir, il devra parcourir encore 40™ de plus ; et ainsi de suite. Les distances successives a parcourir forment donc une progression arithmétique dont le pre-' mier terme est 300°" et ia raison M" ; ainsi on aura pour la valeur du 50* terme x .
325. La formule [1] peut servir à résoudre 4 problèmes différents, suivant que l'inconnue est a , ■ l , «. ou S . Elle peut servir, par exemple , à traiter cette question :
Entre deux nombres donnés A et ■ B insérer m moyens arithmétiques; c'est-à-dire former une progression par différence, dont A et B soient les termes extrêmes, et telle qu'il y ait m termes entre À et B.
Pour cela on remarque qu'il y aura m-f-2 ternies , et que, par conséquent , en nommant S la raison inconnue, on aura'
B = A + (ffl-f-l)î ,d'où S = ^j ,
c'est-à-dire que pour obtenir la raison, it faut diviser la différence des deux nombres donnés par le nombre des moyens à insérer, plus un. On obtiendra ensuito les moyens demandés en ajoutant successivement à A les quantités 8-, 25 , 33 , etc.
PBOGBESSIONS PAR DIFFÉRENCE. 309
Par exemple, si on propose d'insérer 6 moyens entre 0 et 13 , on aura S = ^L=J! = * , Par conséquent, la progression
lOf.lOf.llf.Uf.lty. 13 .
524. Dans toute progression par différence , la somme de a termes également éloignés des extrêmes est égale à la somme
Soient en effet a et l les termes extrêmes, S la raison, 1 le terme qui en a n avant lui et T' celui qui en a n après lui. On aura
l = a + nS e t l = T + n& .
Retranchant ces égalités membre à membre , il vient
T — l — a — T' , d'où T + Ï"=a + / , ce qu'il fallait démontrer. '
325. On peut se proposer de calculer la somme des termes d'une fH-ngresskii) ji;h- dill'ércnce.
Pour cela , soit i a. 6 . c. d .... g . h . k . I
proposée. En désignant pa^ i~. la somme lins
tenues, on. aura, indifféremment •
S = a + b + c + d-f- ....+ g + h + k + l , ou S = t+k- r ./ l + n + ....-\-d+c + b + a ,
en écrivant les termes dans un ordre inverso.
Or, on remarque que les termes placés l'un au-dessous de l'autre dans ces deux sommes sont précisément les fermes a égale distance des extrêmes. Si donc, on ajoute ces deux égalités membre à membre , le second équivaudra , en vertu de la proposition démontrée au numéro précédent, à autant de fois la somme des extrêmes qu'il y a de termes ; en appelant donc n ce nombre de termes , on aura ■
2S'=C« + 0» ,d'où S = f ±±^ [2],
c est-à-dire que la somme des termes d'une progression par différence s obtient en faisant la somme des extrêmes, multipliant cette somme par le nombre des termes, et prenant la moitié du résultai.
Comme application de cette formule, on peut se proposer les problèmes suivants :
!. Un corps gui tombe verticalement, dans le vide, parcourt ■ ■J"',90-H dans lapremiùre seconde, et successivement 9 ra ,8088 de.
[510 TROISIÈME l'A ISTlt. — CHïPlTBK XIL
plus dans chacune des secondes suivantes; quel chemin aura-t-il parcouru au bout de 10 secondes ?.
Les espaces successivement parcourus dans la première seconde , la deuxième , la troisième , etc. , forment une progression par différence dont le premier terme est 4 m ,9044 et la raison g-.SOSS . En appelant l l'espace parcouru dans la 10* seconde , on aura donc d'abord (382)
En. appelant S l'espace total parcouru en 10 secondes , on aura ensuite
II. Un charretier doit déposer 50 voitures de sable, e» des points espacés de 20™ en 20™ sur une route; le point oit il vient prendre le sable est situé sur la même route, à . 150" de celui où il doit déposer la première voiture; quel chemin aura-t-ti à parcourir pour déposer les 50 voitures et revenir au point de départ? .. . j ■ ...
Nous avons déjà vu (522) que les espaces successifs à parcourir pour déposer chaque voiture et revenir au point de départ, forment une progression par différence dont le premier terme est 300" et la raison 40™ . Nous avons trouvé pour le dernier terme 2260™ . En appelant 5 le chemin total , nous aurons donc s=1 30O+|26O)5O = 640OO „
526. La formule [2] suppose que l'on connaisse le dernier terme; mais on peut encore se dispenser de le calculer. En effet, si, dans cette formula, on met pour l sa valeur tirée de la formule [1], on trouve
s = l . + .+£- m . ^ m + ! St - m m
Si, par exemple , on applique cette formule au dernier problème, on aura
3&7. Généralement, à Faide des deux formules
Î=a + C«— 1)S et S= C -Ï^
5 quantités, a , *,.»-,(, S , on peut résoudre tous les problèmes dans lesquels,- 3 de ces quantités
PBOGBESSrONS PAR DIFFËHEHCB. 31*
étant données, on demande les 2 autres. Le nombre île ces problèmes est celui des combinaisons de 5 objets. 2 à 2 , ot» |~ . , c'est-à-dire 10 (23B).
Soit, pour exemple, à résoudre ee problème : ' Combien faudra-l-il d'années pour s'acquitter d'une dette ■de 7700 fr. , en donnant 800 fr. la première année, et successivement 200 fr. de pins chacune des années suivantes ?
Les sommes payées chaque année forment une progression par diffirencedoiitlçpremiertermeest 500 fr. et la raison 200 fr. ; c'est-a-direqu'onaici: a=800fr. , S=200fr. et S=7700fr.
. Mettant pour « j S et S leurs
i = 50O+(# — 1)200 et 7700 = ^""^ ' ■
Mettons pour i sa râleur dans la seconde équation , et faisons disparaître le. dénominateur 2 , il viendra
ou 15400= lOO0On+2OOn' — 200» , '
ou 200n ! +800n— 15400 = 0 ,
.ouenfin 1 n'+4*n— 77 = 0 ,
d'où »=— 2±v/4 + 77=— 2±fl .
La première valeur convient seule à la question ; c'est «^'7 . H faudra donc 7 années. On trouve ensuite '.
" 1 = 500 + 6.200 = 1700 f pom 1» somme payée' la 7* (innée.
S H. Somme (tes puissante, sem&labtes rte» terrai difKrence. — Application au* piles
