Considérons une progression par différence -fo

dont la raison est S et dont N est le nombre des termes. On a la suite d'égalités

Élevons toutes ces égalités à la puissance n-f-1 ; nous aurons

t~'=«"4<. + i).v-+S^^+ '°+"^'W ....+i-«. ' ffai-HtH-iiw 1 f °+"^ - l f+ '°+'y^" t"y„.,+i-'.

^■=^^» + i )e -tV-^.--'.-'+ '''+' i ;'*~'w ....+^.

Nous aurons aussi l'égalité

Ajoutons toutes ces égalités membre à membre, en observant que les termes b"** , c~** , .... të""*" 1 , f" -1 , communs ' aux deux membres de l'égalité résultante peuvent être supprimés; et en posant pour abréger

Sw-.= 0"- ;

et ainsi de suite ; il viendra

Cette formule permettra de cale u 1er S„ quand on connaîtra toutes les sommes analogues depuis S, jusqu'à .

Or, la somme S t est la somme des termes mêmes de la. progression et peut être facilement calculée f32ii). Connaissant S, , on fera n=2 dans la formule ci-dessus, et on en tirera S, . Connaissant et S, , on fera. n=3 dans la formule, et l'on en tirera S, . Connaissant S, , Sa ■ et S, , on fera n — 4 , et l'on obtiendra S t . En continuant ainsi, on finira par obtenir S, , quel que soit le nombre entier ». ■ .>

329. Supposons, pour premier exemple, que la progression dont il s'agit Boit la suite naturelle des nombres, depuis 1 jusqu'à N . Nous aurons a = ï , . ?=l , i = N .' i- ,

; I. D'ailleurs S 1 = ( i±M (3 28); '