II. Faisons maintenant dans la formule, elle deviendra

on, (2N4-J)*=14-6S,+ 12N»+8N ,

d'où 63,= (2N+1) J — I2N*~ 8N+1 .

et ^ = 2N(2S+lKa^-l)

On peut donnera celle expression une forme plus simple en appelant m le nombre impair qui termine la série considérée, c'està-dire en posant 2N— l=m ,d'c4 SNsart-H et 2N-f l=m+2 . II vienten effet ,

351. Les piles de boulets en usage dans les arsenaux sont de trois espèces : 1° les piles à base carrée ; 2° les piles à base rectangulaire ; 3° les piles à base triangulaire.

I. Dans les piles à base carrée chaque boulet d'une tranche repose sur 4 boulets de la tranche immédiatement inférieure. Chaque tranche présente la forme d'un carré, et contient autant de files de boulets qu'il y a de boulets dans chaque file ; en sorte que si n est le nombre des boulets de la première file de cette tranche , le nombre des boulets de la tranche entière sera » x» ou ■»* . De plus , le coté de chaque tranche contient un boulet de moins que le côté de la tranche inférieure, ,

II résulte de cette disposition que la tranche supérieure-est formée d'un seul boulet ; que laaeconde est forméede 2 fois 2 on 4 boulets ; que la troisième est formée de 3 fois 3 ou 9 boulets'; et, en général , que la n"" tranche est formée de ' n* boulets . La somme totale des boulets contenus dans une pile à base carrée qui a N tranchas est donc la somme des nombres

l+4-j-9+i6+eÉc....+N* , ou la somme des carrés de la suite naturelle des nombres depuis 1 jusqu'à N ; c'est-à-dire , d'après ce qu'on a vu au n° 529 ,

, ' N(H+1)ftN+lj ; ■ • .