PILES DE BOULETS

sant successivement dans cette formule n=l , i jusqu'à n ; ce qui donnera ■ pour la première tranche : 4 1 ' + £ ï j deuxième ^4 + {2 ;

troisième \9 +£3 ; ,

quatrième £ 16 + 2 4 ;

Faisant la somme , on trouvera d'une part

4(1 + 4+9+16....+»') „„ } .. "<» + W2»+l) , en second lieu :

4(1 + 2+3 + 4....+») ou J.îil±fl .

La somme sera doue

»[» + iiia» + D , »(«+i)

»(»+l)IB»+l)+3] . »(»+l)(2»+4)

12 , ou encore J3 ,

„ue»f,„ «(«+1X.+» ,

Si, par exemple, il y a 10 tranches, le nombre des boulets sera

On obtiendrait le nombre des boulets d'une pile tronquée à base triangulaire, en la considérant encore comme la différence entre deux piles complètes.

Remarques. Les nombres compris dans la formule

savoir; 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , etc., sont ceux que l'on appelle triangulaires , parce qu'ils expriment le nombre de boulets, ou d'objets de même espèce, que l'on peut ranger suivant une figure triangulaire.

Les nombres compris dans la formule

«avoir: t , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , etc.,

318 TROISIÈME PÀBTIE. — CHAPITRE XU.

soi» ceux que l'on appelle pyramidaux, parce qu'ils expriment le nombre de boulets ou d'objets quelconques que l'on peut ranger de manière à former une pyramide triangulaire. ,

S III. Des progressions par quotient.

33-S. On nomme progress ion par quotient on progression géométrique , une suite de termes tels que chacun soit égal au précédent multiplié par une quantité constante appelée raison. Pour écrire une semblable progression, on la fait précéder du signe ^ "', et l'on sépare les termes par deux points. Ainsi ; ' i ■

#5:10:20:40:ao:i60:320:640:etc.

est une progression par quotient, dont la raison est 2 .

Une progression par quotient est croissante lorsque la raison est plus grande que l'unité ; elle est décroissante dans le cas contraire. Si la raison était l'unité, ta progression se réduirait à une suite de

Il résulte de la nature même des progressions géométriques, que chaque tenue est moyen géométrique entre celui qui le précède et celui qui le suit. Ainsi on a

, 5:10:: 10:20 ; 10:20:: 20:-» ; 20:40 :: 40: 80 ; etc.

33tî. On peut calculer un terme de rang quelconque, connaissant le premier et la raison. Car, soient a le premier ternie et q la raison.

Le deuxième terme sera

le troisième

le quatrième

le cinquième

et ainsi de suite.

Ou remarque que l'exposant de q est précisément le nombre des termes qui précèdent celui que l'ou veut former; en sorte qu'en appelant / le terme de rang n , ou qui on a « — l avant lut, on aura -.

l=aq^ ' -\> ■ . . [1],

c'est-à-dire qu'un terme de rang quelconque est égal au premier multiplié par In raison rïovv; ri une puissance marquée par le nombre des termes gui précèdent. ■ ."

PBOGBÏSSIOHS PAS QUOTIBST. 319

Si, par exemple, le premier terme est 7 et la raison 2,25 , oii aura le 20* terme par la formule

i=7.(2,26) u ; d'où Iog/=log7+191og2,25= 7,5365659 ;

ce qui donne /=344O059O , à moins d'une dizaine. 330. La formule [1] peut servir à résoudre ce problème : Entre deux nombres A et B insérer m moyen* géométriques ;

c'est-à-dire former une progression par quotient, dont A et B

soient les extrêmes, et telle qu'il y ait ta termes . entre

A et B .

Le nombre total des termes devant être wt-f-2 , on devra avoir, en appelant g la raison,

B=i,« d'où ,

c'est-à-dire que pour obtenir la raison, il faut diviser le second nombre par le premier, et extraire du quotient une. racine dont l'indice est le nouihir i/r.t ni'iifn..< à insérer, plus un.

On obtiendra ensuite les moyens demandés en multipliant successivement A par ij , par q* , par g* , etc.

Par exemple, si on propose d'insérer 6 moyens entre 9 et 13 , on aura

,= ^| d'où ^,= !Sta±i°=0,0228 H4 .

et par suite, q= 1,053536.. On obtiendra ensuite les lûgarithmesdes 6moyens ennjoutant logç , -l\a%q , 31ogy,elc., au logarithme de 9 ; ce qui donne, en appelant m, , m, , m, , .... fflij , ces moyens ,. '

log m, =0,9770569 d'où m,= 9,485*3-.

log m,— 0,9998713 m,— 9,90703,.

logm,= l,0226857 m,= 10,53624..

logW!= 1,0455001 m t =U, 10452..

logm,=l ,0683145 w,=ll,7034ft..

logwis=l,0911289 ï»,=12,30634..

357; On peut calculer la somme des termes d'une progression par quotient.

Soit aa:b:c:d:...\k;i

la progression proposée. Désignons la raison par q , et la somme des termes par S . On mira d'abord

b=aq ; o=bq ; d—cq.... ; l=hq .

Si l'on ajoute ces égalités membre à membre , il viendra

b+c+d....+l=gla+b+e.... + k) ou S— o=î(S— [) ,

d-»ù - s =2fcf: m,

c'est-à-dire que pour obtenir la somme des termes d'une ■progression par quotient, il faut multiplier le dernier terme par la raison, en . retrancher le premier terme, et diviser le reste par la raison diminuée d'une unité.

Exemple : soit la progression

Onaura S= 364 ^ 3 - 5 = 5465 .

Si l'on met pour l sa valeur aq"~~' , la formule qui donne S prend la forme

c-— — a ° tg" —

q-1 ç-l ' On aurait pu établir cette formule directement , car on a $> = a-\-aq-\-aq i -\-aq' .... -j-aj—' , OU S = a(l + q + 9 *-\-q»,.,. + q^) ,

ouencore S = otf*- 1 ^-^-'+....+ç , + s'-f-l) .'

Or, la quantité entre parenthèses est le quotient de g* — 1. par q — 1 (48) ; on peut donc écrire

comme ci-dessus.

Comme application de cette formule , on peut proposer les problèmes suivants : . ':

I. Un joueur double sa mise ekague fois qu'il perd. Si sa mise primitive était de 0<,25 et qu'il perdit 20/ow de suite , quelle serait sa perte totale ?

Ses pertes successives forment une progression par quotient dont le premier terme est 0',25 et dont la raison est 2 . On trouvera d'abord pour le 20 e , ternie

On aura ensuite

PROGBESSIOSS PAU QUOTIEHT. 321 .

II. Un mai/ii/ffntm interrntj'i sur le pris: d'un cheval répond : Les fers de mon chenil suntjixrs u l'aide de 20 clous; si vous me donniez 1 centime pour le premier, 2 centimes pour le second, 4 pour le troisiètne, et ainsi lie suite, toujours en doublant , je vous donnerais le cheval et 485 r ,75 . On demande combien U l'estimait.

Il faut d'abord chercher le nombre de centimes qu'il faudrait donner pour le 20* clou . Ce nombre- est le 20* terme d'une progression par quotient dont le premier terme est 1 et la raison 2 ; on a donc, en le ili'sL'inmt par l ,

le nombre total S de centimes payés pour les 20 clous serait' donc ■:■*'..

:1048575 e ou 1W85',75 .

Si de ce nombre on retranche 485 f ,75 , il reste 10000 f .

55». Lorsqu'on prolonge indéfiniment une progression géométrique décroissante , la somme de ses termes s'approche sans cesse d'une limite finie qu'elle ne peut atteindre, mais dont elle peut différer aussi peu que l'on veut,* si Ton prend un nombre suffisant de termes.

Supposons, en effet, que (/ soit moindre que 1 . La formule [2] pourra s'écrire, en changeant les signes des deux termes du second membre ,

La première partie du second membre est une quantité indépendante du nombre des termes ; la seconde partie contient un facteur qui ne dépend pas non plus du nombre des termes^

Mais le facteur g" est d'autant plus petit que la progression est prolongée plus loin ; car les puissances successives d'une fraction vont sans cesse en diminuant.

Nous allons démontrer que l'on peut toujours prolonger la progression assez loin pour que g" devienne plus petit que toute quantité donnée.

En effet, g étant moindre que 1 peut se mettre sous la

forme ^ , « étant positif.. Il suffit donc de démontrer

que (l +«)" peut devenir aussi grand qu'on le voudra en pre-

322 TflOlSIÈME l'ÀHTJE. — CHàPITRE XII.

nant » suffisammentgrand.Or,ledéveloppementestde , c'est-à-dire l-|-no + ?™y~^ t! '+ etc -

se composant d'une suite de termes positifs, si l'on rend l'un de ces termes nv plus grand qu'une quantité donnée, le développement sera, à plus forte raison, plus grand que .cette quantité. Or, on pourra toujours rendre n% aussi grand qu'on le voudra eo prenant le facteur n suffisamment grand. Dune enfin, on pourra prendre n assez grand pour que g" soit plus petit que toute quantité donnée.

Il suit de là que la seconde partie de la voleur do S pourra élre rendue aussi petite qu'on voudra en prenant un nombre suffisant do termes ; et que , par conséquent , celle valeur tend sans cesse vers une limite fixe qui est

Cette limite est ce qu'on nomme quelquefois ta somme des termes de la progression prolongée a l'infini.

Ainsi , la limite de la somme des termes d'une progression gèomètriqve décroissante est égale au premier terme, divisé par l'unité moins la raison.

Par exemple, la progression

Hi:i:i:i:oto.

rtont la raison est \ ,'a pour limite

, c'est-à-dire 2 .

■:-ïi:-t:£:^:etc.

dont la raison est J f \ a pour limite

• ■ ï—i, ou 3— i ' àtrirbri&n §

la progression n 7 : 6 : etc. , dont la raison est % , a pour limite, ; .

Comme application de la formule [3] , on peut convertir en frai tion ordinaire une fraction décimale périodique simple. Soit-la fraction périodique simple O.PPP... , dans laquelle

l'HOGHESSIONS PAS OUOTIENT. 32î

représente u» nombre de p chiffres. On pourra écrire celle fraction sous la l'orme

On voit que celle snilo tonne la somme des ternies d'une pro-

gression géométrique décroissante, dont le premier terme est

et dont la raison est ~ . A mesure qu'on prendra un plus grand nombre de périodes on approchera donc de plus en plus d'une limite finie , qui est ce qu'on appelle en arithmétique la valeur de la fraction périodique. Celte limite, d'après ce qu'on vient de voir, est

Or 10"— 1 est un nombre composé du chillre 9 répété p fois; par conséquent la limite de la progression ou la valeur de la fraction périodique est égale à une fraction ordinaire gui a pour numérateur la période, et pour dénominateur un nombre composé d'autant de 9 qu'il y a de chifim dana ht période.

C'est !a régie donnée en arithmétique.

339. I. Les logarithmes sont considérés en arithmétique comme les termes d'une progression pur différence, dont le premier terme e6t 0 correspondants aux termes d'une progression par quotient, dont le premier terme est 1 . Cette manière d'envisager les logarithmes revient au fond à celle que nous avons adoptée au chap, x, et qui consiste à les regarder comme exposants.

Soient, en effet, les deux progressions :

. =î 1 : q : g 1 : ?' : 5* . . . . : q* : etc. -:-0.d.2d.3d.id.... .m*. etc..

Les termes de la seconde seront les logarithmes des termes correspondants de la première, d'après la définition donnée en arithmétique; mais, en même temps, il est facile de voir que les termes de la première s'obtiennent en élevant la quantité constante q à des puissances marquées pur les tenues correspondants de la seconde; ce qui s'accorde avec la définition donnée au chapitre x (279).

II. Si plusieurs nombres sont en progression géométrique, leurs logarithmes sont en progression arithmétique, et réciproquement.

324 TROISIÈME PAHTIBi — CRAP1THE III.

En effet, si l'on a Haibicid: etc.

d'flii // = ii</ ; e=bq ;. d = cq ; etc. ;

on en déduit

log 6=loga-f-log q ; logc=Iogù-j-log(/ ; logrf— logc+log? ; etc. ; d'où l'on voit que chaque logarithme surpasse le précédent de la . quantité constante }ogq ; et que, par conséquent, on a la progression arithmétique

vlogœ. log 6 . loge . logd . etc.

dont la raison est logj .

On démontrerait de même la réciproque.

§ IV. Applications aux questions d'Intérêt composé.

5-40. On sait que l'on nomme intérêt d'une somme d'argent ce que cette somme rapporte au bout d'un certain temps ; le taux de l'intérêt est l'intérêt de lOOfr. par an; la somme placée prend le nom de capital.

Si -a est le capital, f le taux, n le nombre d'années qui composent la durée du placement, et t l'intérêt; 100 fr. rapportant f par an, rapporteront nt au bout de n années; on aura donc

.»:»«::.:< d'où l-fg [.].

C'est la formule des intérêts simples ; elle donne lieu à quatre problèmes , suivant que l'inconnue est i , a , n ou ( . On en trouvera des exemples dans tous les traités d'arithmétique.

Un capital est dit plact; *i intérêt» composé* lorsque, chaque année, ce capital s'augmente des intérêts produits pendant l'année précédente.

Soit b la valeur de ce capital après un certain nombre d'années, et cherchons ce qu'il deviendra au bout de l'année suivante. Anbout de cette année, il sera augmenté de l'intérêt produit pendant cette année ;' or, d'après la formule des intérêts simples , l'intérêt de b au boat d'un an est ; le capital 6 aéra donc

devenu 6 + j^g ou *( I +Ï^ë) ' c ' est - à - (U,re 1"'» a "ra été multiplié par la quantité J^l + qui ne dépend pas du nom-

bre d'années déjà écoulées.