DES INTÉRÊTS COMPOSÉS. S

Il en résulte que les valeurs d'un capital a au bout de 1 année, 2 années, 3 années, etc., forment les termes d'une progression par quotient, dont le premier terme est a et la raison

V "^~Ï55/ " ^ S va ' eur de ce ca P ila ' au 00,11 ^ e w «"nées sera le terme de cette progression; on aura donc, en le dé-

signant par A (353) :

i =»('+râ)" ' m.

c'est la formule des intérêts composés. Le capital a se nomme le capital primitif, et A se nomme le capital définitif. En appliquant les logarithmes à cette formule , on en tire

logA= loga + nflogOÛO + () — 2] [3].

Cette égalité permet de résoudre quatre problèmes, suivant que l'inconnue est A , a , n ou t . Nous allons en donner des exemples. ;

541. Application I. Quel est te capital définitif 'produit au bout de 21 ans, à A^pow 100 , et à intérêts composés, par un capital ■primitif de 600 fr. ?

. Onaici a = 600 , ft = 2l , * = 4,5;donc

log A = log600-r- 21 [log 104,5 — 2] = 3, 1795635 , d'où A=1512',15 .

Application II. Quelle somme faul-il placer pendant 10 ans , à 5poarl00 , etàintéréts composés, pour produire un capital définitif de 4800/r. ?

Ici, c'est a qui est inconnu; on a A — 4BQ0 , n = 10 , ( = 5 .

L'équation [3] donne

logo = IogA~»[log(100+()-2] , donc lbga = Iog4800 — 10[logl05— 2];= 3,4693482 , d'où a=2946',78 .

Application 111. Au bout de combien d'années un capital placé à 5 pour 100 , et à intérêts composés, ext-it doublé? Ici, c'est n qui est inconnu ; on à A = 2a et (=5. L'équation [3] donne

logA— loga . . . log2 0,3010300 " — log(100+0— 2 ' n logl05 — 2 — 0,0211893

836 TR01SIÈMB PABTIB. — CHAPITRE XII.

ou »=14 , et une fraction. Il faut donc prendre »=15 .attendu que les intérêts se composent par années, mais non par fractions d'années. - * ■-. --'

hfmojio^V/.Aquel taux faut-il placer une somme de 3O0O/V. , pendant 11 ans et à intérêts composés, pour produire, un capital définitif de 5406 f ,28 t

Ici, c'est ( qui est inconnu; on a «=3000 , »=rll , A. = 5406,28 .

La formule [3] donne

log<lûO+.0 = 2+ logA + i:ff

lo K (100 + 0 = 2 + 10gM06 - 2 1 8 1 +£3000 = 2,0232525 , d'où 100+ (= 105,5 , et i = 5,5 ou 5£ . .

M2. On peut traiter d'une manière analogue les problèmes suivants , quoiqu'il ne s'agisse point d'intérêts.

I. - La population d'un État est de 20000000 d' habitants; et elle s'accroil chaque année de de sa valeur; oti demande quelle sera lapopulation de cet État dans 50 ans.

Si P est la population au bout d'un certain nombre d'années, elle sera P+^jj l'année suivante, c'est-à-dire P^+ggjj) » les valeurs successives de ia population sont donc les termes d'une progression par quotient, dont le premier terme est 20000000 ,

et dont la raison est 1 -f — . On demande le 51- terme de cette

progression ; en le désignant par x , on aura donc

^ = 2O0000O0(l + ^) W =2O0O0OOo(|l)" ,

d'où

Iog# = log200000d0+ 50 [log251 -f 1 250] = 7,3877150 ; et par conséquent ce — 24418270 , à 10 habitants près.