DES INTÉRÊTS COMPOSÉS
En appelant x lo nombre d'années demandé , on trouvera facilement qu'on doit avoir l'équation
Un peut la mettre sous la forme
En appliquant les logarithmes, on obtient
x [lo ë p'+\o g (l+p)+lp+Ul+p')=\o S P+L P ,
d . o(i x I ogP'+ LP
log P '+ log( t +p) + î P + L (I +
Par exemple : pour P= 20000000 , P'= 30000000 , p=200 , p'=ZQQ , on trouvera: # = 244 ans , et une fraction.
343. Revenons aux intérêts composés. Dans les problèmes traités ci-dessus, nous n'avions à calculer que le dernier ternie d'une progression ; ii peut se faire qu'on ait à calculer la somme.
Si , par exemple , on place chaque année une somme a , au taux l et à intérêts composés, on peut désirer savoir quel sera le capital C dont on pourra disposer au bout de n années.
Pour résoudre cette question , remarquons que la sommo a , placée actuellement, produira dans n années a (^+lfôj ■
La somme a , placée au bout do la première année, produira au bout de la n " a(l + -^j ; puisque la durée du placement aura été moindre d'une année.
La somme a , placée au bout de la seconde année, produira de
même au bout de la n"~ a(l +
Enfin, lasomme a , placée au bout de la (h — lj~ année,
produira au bout de la »*- a (l+-~J
Le capital demandé C est la somme de tous ces capitaux définitifs qui forment, comme on voit, une progression par quotient
dont le premier terme est «^1 + , le dernier a(l
On aura donc {337)
Colle formule n'est point calculable par logarithmes , mais on pourra se servir des logarithmes au moyen d'une inconnue auxiliaire (300). On posera
et, en'appliquantleslogarimmes,
logy=n[log(100-f-f}— 2] ilogC^loga+IogdM+O+bgty-lJ+L/ .
Après avoir déterminé logy par la première équation, on passera auxnombres, c'est-à-dire que l'on cherchera y dans les tables; quand on l'aura trouvé, on en retranchera une unité, et l'on cherchera de nouveau dans les tables le logarithme de y — 1 , pour calculer logC ou logo .
Exemple I. On place chaque année une somme de 200 fr. , à A* â pour 100 et à intérêts composés; de quel capital pourra-t-on disposer au bout de 20 ans ?
On aura d'abord Iogy=20(loglO4,5— 2)=0,3823260 d'où y = 2,4H7I5 ; . et y— 1=1,411715 .
On aura ensuite
logC=!og2œ+.logl04,5+logM117I5-|-L'f,5 =3,8136808 , d'où C =6511 ',496.. ou 6511 [ ,50 .
Exemple II. Quelle somme faut-il placer annuellement, à 5 pour 100 , et à intérêts- composés, pour mettre à sa disposition un capital de 60000 fr. au bout de 10 mut-
d'où
On aura d'abord Iogjf=l0(logl05— 2)=0,2118930 d'on «=1.62889 : et «—1=0.62889 .
DES ANHUITËSi
On aura ensuite
d'où
et
log 60000:
logrt:
Uoga-f logl05+IogO,628S9+L5 , --logfiOOOO+L 105+L 0,62889 -}-tûg5 :3,6573572 .
344. Enfin, au nombre des questions qui se rattachent à l'objet de ce paragraphe, sont comprises les questions d'annuités et d'amortissement.
On nomme annuité la somme qu'il faut payer annuellement pour s'acquitter d'une dette au bout d'un nombre déterminé d'années.
Supposons qu'on emprunte une somme A ; au bout de n années cette somme vaudra, en ayant égard aux intérêts composés , et en appelant t le taux de l'intérêt ,
Telleest donc la somme qu'il faudrait rendre au bout de » années. On préfère s'acquitter par annuités. Soit a cette somme annuelle.
La somme a , qu'on payera au bout de la première année, vaudra, au bout de n— 1 années , pour le créancier qui jouira des intérêts, ■ , .
La somme a , qu'on payera au bout de la seconde année , vaudra de môme
et ainsi de suite. Enfin la somme a payée au bout de la n"~ année , vaudra simplement a . Ces capitaux définitifs forment une progression par quotient dont le premier terme est a , le dernier
valeur (337),
. Pour que la dette soit amortie par ces annuités, il faudra qu'on ait
! ^[(-+ffi)"-]= 1 ('+™)--
En posant comme ci-dessus
100a{v— 1) , on aura j- = Ay ;
et, en appliquant les logarithmes,
logy=»£log(100+f>-2] 2+loj;a+log(jr— l)+L( = log\+logy .
On tirera de lu première de ces égalités la v aleur da log y ; on cherchera y dans les tables ; on en retranchera l'unité; on cherchera de nouveau dans les tables le logarithme de y — 1 , et l'on aura tout ce qu'il faut pour calculer, à l'aide de la seconde égalité , soit logA , soit logo .
Exemple 1. Quelle somme fauHl prêter à 4$ pour 100 et à interdis composes pour métré remboursé au bout de 10 mis par des annuités de 500 fr. ?
On a a =500 , « = 10 , t—4,5 ; on cherche A . Ou aura d'abord ■ • '
Iogï, = 10(logl04,5 — 2)=0,1!)11630 , d'où y =1,55297 ; et y— 1 =0,55297 .
On aura ensuite Io S A = 2 + logSOO + logO.552974- 1-4,5 + L 1,55297 = 3,5972961 ; d'où A = 3956',36 .
Exemple II. line compagnie a emprunte une somme de 2000000 fr. pour des travaux; quelle annuité devra-l-elle payer pour s'acquitter m 15 am ; le taux de ïinlérét étant 5 pour 100 ? Ona A= 2000000 ; n=15; t—5 ; on cherche a.
On aura d'abord ' . .
logy = 15 (logl05 — 2) = 0,3178395 ; d'où y = 2,07893 ; et y— 1=1,07893 .
On aura ensuite log a = log 2000000 + log 2,07893 — 2 + L 1 ,07893 + log 5
= 5,2848461; d'où « = 192684 t ,20 .
34ii. Le lecteur pourra s'exercer sur les problèmes qui suivent : I. A quel taux faul-it placer 5OO0/r. à intérêts composés, pour produire, au bout de 17 • ans , un capital définitif de 9739 r ,50 ? (Réponse : à 4 pour 100 .)
PROBLtMES SUR LES INTÉRÊTS COMPOSÉS. 33i
II. Au bout de combien d'années un capital placé à 5 i pour 100 , et à intérêts riiuiposrx t est-il, doublé?
(Réponse : au tout de 13 ans.)
III. La population d'un Etat s'est accrue d'un quart dans l'espace d'un siècle; de r/uelle /faction de sa valeur augm<:nle-t-elle chaque année?
(Béponse : des 0,002334... , ou de ^ environ.
IV. Quelle somme faut-il placer annuellement, à dater de la naissance d'un enfant , pour lui constituer, à l'âge de 21 ans, un capital de 48000 fr. , le taux de l'intérêt étant 4 j ?
(Réponse: 1356 [ ,50 .)
V. Quelle annuité faut-il payer pour s'acquitter d'une dette de 6400 fr. en 7 ans, au taux de i pour 100 ?
(Réponse : 1066 f ,02 .)
