FU ACTIONS CONTINUES

ment de changer dans la seconde b en * + -

On voit que le numérateur de cette troisième réduite peut s'obtenir en multipliant le numérateur ab-\-l de la réduite précédente par le quotient incomplet c qui répond à la réduite que l'on forme , et en ajoutant à ce produit le numérateur a de la réduite qui précède de deux rangs. De même le dénominateur de la troisième réduite peut s'obtenir en multipliant le dénominateur 6 de la réduite précédente par le quotient incomplet c qui répond h la réduite que l'on forme, et en ajoutant à ce produit le dénominateur 1 de la réduite qui précède de deux rangs.

Nous allons montrer que cette loi est générale. Pour cela, soient P ' Q . R' S P' ' Q' ' R ' S' ' quatre réduites consécutives , r le quotient incomplet qui répond à j^, , et s celui qui répond à -g-, . Admettons que la loi que

nous voulons démontrer soit vraie pour les trois réduites ;

et faisons voir qu'elle subsistera pour la réduite suivante g; . Si la loi est vraie pour les trois réduites , ^ , , R Qr+P

Pour former la réduite suivante, il suffit de remplacer r par r+i , ce qui donne

S Rï + Q

Par conséquent, si la loi est vraie pour trois réduites consécutives , elle est encore vraie pour la réduite suivante. Or, nous l'avons vérifiée pour la troisième réduite, donc elle est vraie pour la qua-

334 TROISIÈME PARTIE. — CHAPfTRB XIII.

trième; étant vraie pour la quatrième, elle est vraie pour la cinquième, et ainsi de suite; donc die est générale. Ainsi, pour former une réduite qurtconqur il f util multiplier chaque terme delà réduite précédente par te quotient incomplet qui répond à la réduite qu'on veut former, et ajouter au produit le terme correspondant de ta réduite qui précède de deux rangs.

Si l'on a, par exemple, la fraction

etc.

r 1 + ete. , on trouvera pour les réduites successives

2 9 29 154 337 4M 1 ' 4 ' 13 * 69 ' 151/ 220 * Remarque I. D'après la loi de formation , les termes des réduites successives vont toujours en augmentant. . .

Remarqce II. Si le nombre (les fractions intégrantes est limité, la dernière réduite ne sera autre chose que la- valeur de la fraction continue.

548. La valeur de la fraction continue est comprise entre deux réduites consécutives quelconques.

Soient p , |p , , trois "réduites consécutives, et r le

quotient incomplet qui répond à g. ; nous aurons, en vertu de la

loi de formation ,

H Qr+P

Si dans cette expression on remplace / , quotient incomplet , par le quotient complet

~ ( + eto. ' ■ . < :

c'est-à-dire par r augmenté de tout ce qui le suit dans la fraction continue, on aura évidemment la valeur de cette fraction continue. En représentant donc ce quotient complet par y -, et en appelant x ia valeur de la fraction continue, on'aùra -.

■ mGTIONS CONTINUES. 335 E la différence entre cette valeur et chacune des deu* ré- 8. ....... .„„„ .'

duites consécutives p ct

P Qy + P P ? | QF-PQ'l

r-Q'j+P' F— piqï+T • . r Q Qt/ + P g P«'^UP'

Or, ces différences sont de signes contraires , puisque y est positif ainsi que les dénominateurs, et que les quantités QF — PQ' et PQ'~QP' sont égales et de signes contraires. Donc ce est P 0

comprisentrelesdeuxréduitesconsécutivesquelconques p et

349. Chaque réduite approche plus de ht valeur de la fraction continue que la réduite précédente.

Car, si l'on considère les deux ditférences ci-dessus en valeur absolue seulement, on voit qu'elles ont le facteur commun PQ'-QP'

multiplié par jp dans la valeur de x — p, , et par ^ , dans

lavaleurde x— ^< .Or, y est plus grand que 1 , puisqu'il

renferme le quotient incomplet r qui est au moins égal à 1 (348); et P' est moindre que Q'-, d'après la loi de formation (347). Par cette double raison p est plus grand que ~ ;

approche plus de g; que de p ;. ce qu'il fallait démontrer.

Rf.mauoi.k. Comme 0 est moindre que x , i+.t' seraplus

grand que j- ; la troisième réduitesera moindre que x ; la quatrième sera plus grande que x , et ainsi de suite. Ainsi , toutes les réduites de rang impair son! woindrns qvr In vir/>'i/r de la fraction continue; toutes les réduites rf>' rmig fuir sont plus grandes que cette même valeur.

D'ailleurs les réduites vont en s'approchant de la valeur de la fraction continue; donc, les réduites île rang impair vont en augmentant , et les réduites de rany pair en diminuant. .

donc x — p; est plus grand que x — , c'est-à-dire que

380. Le numérateur de la différence entre deux réduites consécutives est égal à l'unité (en valeur absolue). - Faisons voir d'abord que ce au nuira leur est constant. En effet, on a

Q P QP'— PQ' R Q Qr + P Q P(y— QP' Q' i"~ P'Q' ' . R' U'~0> + 1" Q'" 0/R' ' donc ce numérateur est le môme , en valeur absolue. Or, la différence entre les deux premières réduites a et a -j- j

est" I , et a pour numérateur 1 . Doue ce numérateur constant est égal à l'unité.

Remarque. Les deux l'-rmcs d'un'- réduite sont toujours premiers entre eux. Car, puisqu'on a PQ' — QP 1 = ± t , si P et P' , par exemple , avaient un diviseur commun , ce nombre , divisant le premier membre , devrait diviser le second , ce qui impossible.

BSi. L'erreur commise en prenant une réduite pour la valeur de la fraction continue es/ moindre que l'unité divisée par le produit du dénominateur de cette réduite et du dénominateur de la réduite suivante.

Si l'on prend, par exemple, j|, pour la valeur de la. fraction continue , comme cette valeur est comprise entre jj, et ~ , on commet une erreur moindre que la différence entre ces deux réduites. Or, cette différence est -q!^ ; donc l'erreur commise est

moindre que l'Unité divisée par le produit du dénominateur Q' de la réduite à laquelle on s'arrête et du dénominateur R' de la réduite suivante.

Corollaire. Il suit.de là qu'en prenant une réduite suffisamment éloignée, on peu! uppioc/irr d'aussi près i/u'rm le coudra delà valeur de la fraction continue. Car le produit QTl' peut devenir aussi grand qu'on le voudra, puisque, d'après la loi de formation des réduites , les déntimimit^iirs vont sans l'^sc en augmentant.

Celte propriété a fait donner aux réduites le nom de fractions convergentes.

Remarque I. Si le dénominateur R' de la réduite qui suit celle k laquelle on s'arriîtc n'est pas connu , on peut substituer une autre limite à celle que l'on vient d'indiquer. On a , en effet , R' = QV -f- P' . On ne connaît pas r ; mais sa plus petite valeur

FBACTIONS CONTINUES. 337

est 1 ; ainsi II' est au moins égal à O^-f-P' . On peut donc dire, a fortiori, que l'erreur commise en s'arrêtant à la réduite

est moindre que Q^Q : ~ j ' p'j > c'est-à-dire moindre que l'tmité divisée par le produit qu'on obtient en multipliant le dénominateur de la réduite à laquelle, on s'arrête, par la somme de ce dénominateur et de celui de la réduite précédente.

REMiHQUE 11. Si l'on ne voulait pas se servir du dénominateur dé la réduite précédente , on pourrait supprimer V au dénominateur de l'expression eî-dessus, ce qui la rendrait plus grande; on peut donc dire que l'erreur commise est, a fortiori, moindre que l'unité divisée par te carré du dénominateur de la réduite à laquelle on s'arrête.

Si , par exemple , on se reporte à la fraction continue

5+ 2+atc.

du n° 547, et qu'on s'arrête à la réduite , l'erreur commise

sera moindre que jg TTgjj ou 1 ue ■ En adoptant la régie indiquée dans la remarque I, on aurait simplement pour lim ' te 13(13 + 4) ou 2ÊÏ ' 6t ' Cn ado P tanl la rè 8 le india ' lée dans la remarque 11 on aurait seulement pour limite ou

3S2. Une réduite quelconque approche plus de la valeur de la fraction continue que toute autre fraction dont les termes seraient aussi simples , ou plus simples.

En d'autres termes : pour qu'une fraction g approche plus de

que B soit plus grand que Q' , et que A soit plus grand que Q .

En effet, si g approche plus de x que % , il en appro-

chera à plus forte raison plus que la réduite précédente p ; et, comme x est compris entre ces deux réduites, il faudra que ^

tombe elle-même entre ces deux réduites. Par conséquent on aura, en valeur absolue,

A P^Q P AP'-^BP ^ 1 B-F<^F ou — jp— < Fgl (580).

Or AF— BP est un nombre entier, et ne saurait se réduire à xéro;

car on aurait alors g = p , etlafraction ^ ne serait pas plus

approchée de x que ^ (349). Il faut donc que AP'~ BP soit au moins égal à 1 ; mais alors, pour que l'inégalité ci-dessus ait lieu, il faut que B soit plus grand que (y .

En considérant les fractions ^ , 5 et , qui sont aussi rangées par ordre de grandeur, qn démontrerait de même que A doit être plus grand que Q .

385. Toute fraction continue périodique (c'est-à-dire dans la quelle un certain nombre de quotients incomplets se reproduisent périodiquement dans |e même ordre) est une des rapines d'une équation du second degré à coefficients commensurablcs.

pour fixer les idées, considérons une fraction continue périodique mixte, c'est-à-dire dans laquelle un certain nombre de quotients incomplets, à partir du premier, ne se reproduisent pas. Par exemple :

4 + l+ elc.

Représentons par y l'ensemble du quotient incomplet 1 et de tout ce qui le suit ; nous pourrons écrire

i=2 + !—- et » = l + i— r

FE ACTION S CONTINUES. 33y

En appliquant la loi de formation des réduites, on trouvera

En éliminant y entre ces deux équations, on trouverait, pour déterminer x , une équation du second degré.

Mais il est plus simple d'opérer comme il suit: La seconde équation revient à

21y — 20y— 6 = 0 et n'a qu'une valeur positive qui est 10 "^V^^ ; en i a portant dans la valeur de x , on obtient

966 + 2t y'ââé 46 + ^226 — 567 — 27 " Généralement si, après une suite de quotients incomplets a , b , e , .... / , qui ne se reproduisent pas, il vient une série de quotients incomplels m , n , p , .... m qui se reproduisent périodiquement dans le même ordre, on pourra poser

= <H 7 et y = m-\

Appliquons la loi de formation des réduites; soient p et ^

les deux avant-dernières réduites de la valeur de x ; la dernière, qui ne sera autre que x (347, Remarque II), aura pour valeur :

Soient et |, les deux avant- demi ères réduites de la valeur de y ; la dernière, qui ne sera autre que y , aura pour valeur :

J V ¥ + Sf

En éliminant y entre ces deux équations on mirait pour déterminer x une équation du second degré.

SiO TROISIÈME PARTIE. — CRAPITllE XIII.

Mais on peut mettre d'abord la seconde équation sous la forme.

BY+CS'— Kit,— S=ft.

Cette équation , dont le dernier terme est négatif, n'aura qu'une •acinc positive (8i6) ; si on nomme p cette racine , on aura

Ce que nous venons de dire comprend le cas où. la fraction continue serait périodique simple, c'est-à-dire où tous les quotients incomplets, à partir du premier, se reproduiraient; car ce cas est précisément celui de la valeur de y écrite ci-dessus.

§ II. Applications.

384. Quand on a une fraction dont les termes sont considérables, on peut souvent lui substituer avec avantage une fraction approchée dont les termes soient plus simples, et n'aient, par exemple, pas plus de 1 ou 2 chiffres. Il faut alors, parmi les fractions de cette espèce, choisir celle qui approche le plus de la fraction proposée. Pour cela on réduit celle-ci en une fraction continue ; on choisit, parmi les réduites qui remplissent la condition demandée, celle qui est du rang le plus élevo ; et , en vertu des principes établis aux n M 349 et 352 on a la fraction demandée.

. H - -n se propose de remplacer par une fraction approchée qui n'ait pas plus de deux chiffres à son dénominateur. On commencera par réduire la fraction proposée en fraction continue.

Pour cela, on divisera le numérateur 4573 par le dénominateur 21% ; le quotient 2 sera le premier quotient incomplet; et l'on aura

2195 ~2195 ~ /219fl\

On divisera 2195 par le reste 183 de la division précédente; le quotient lt sera le second quotient incomplet; et l'on aura

FRACTIONS CONTINUES. î!>\

On divisera 183 pur 182 ; le quotient 1 sera le troisième quotient incomplet; et l'on aura

En rapprochant les égalités précédentes, on en déduit facilement

1 "'"ïââ '

On voit que , pour réduire une fraction ordinaire en fraction continue, il faut appliquer à ses deux termes le priiei-dè du plus grand commun diviseur ; les quotients successifs sont les quotients incomplets que l'on cherche.

Ce procédé est même l'origine de lu dénomination de quotients incomplets.

Si l'on forme les réduites successives , on obtient 2 23 25 4573 1 ' lt * 12 ' 2195 ' La fraction ~ est donc celle qui remplit les conditions demandées. Elle approche de la proposée à moins de ^^195 ou

3iiii. Une fraction décimale pouvant toujours être mise sous forme de fraction ordinaire, on peut lui appliquer le même procédé.

Si la fraction décimale n'était qu'approchée pur défunt, il faudrait augmenter d'une unité son dernier chillïe décimal, et développer comme il vient d'être dit, la fraction proposée et la fraction modifiée. La véritable valeur de celte fraction étant comprise entre les deux développements, les quotients incomplets communs appartiendraient au développement de cette véritable valeur.

Si , par exemple , on développe ainsi les fractions 3,1415926 et 3,1415927 qui sont des valeurs approchées du rapport i: de la circonférence au diamètre , on trouve que la série des quotients

3 , 7 , 15 et 1 est commune aux deux développements. On peut donc prendre ces quotients comme faisant partie du développement du nombre tt. .

ifl5 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE XIII.

On olntenl ainsi les quatre réduites

parmi lesquelles on reconnaît le rapport y donné par Architnède, et le rapport ^| attribué à Adrien Métius.

356. On peut développer sons forme do fractions continues les quantités irrationnelles, ce qui fournit un moyen d'approcher de leur véritable valeur.

Soit, par exemple, à développer ^ïi en fraction continue. Cette racine étant comprise entre 3 et i , on peut poser

en désignant par x une quantité plus grande que 1 . On tire de là

* = ^3 = ^ <"* Cette valeur est comprise entre | et | , par conséquent entre 3 et 4 ; on peut donc poser

en désignant par y une quantité plus grande que 1 . On tire delà

Cette valeur est comprise entre 6 et 7 ; on peut donc poser

S, = VÏÎ + 3 = 6+| ,

en désignant par z une quantité plus grande que 1 . On tire de cette équation

l/ÏT— 3 '

Par conséquent, s est égal à x ; ce qui indique qu'à partir de la seconde égalité les calculs se reproduiront indéfiniment daus lu même ordre, et que la valeur de v^ï est une fraction continue

PBACTIONS CONTINUES. 2/i3 périodique. En rapprochant les égalités qui précédent, or! tronve'

3+ iT+ltc:

On obtient ensuite les réduit

;s successives :

ta seconde est approchée à mo

insde -L^ ou

la troisième

ma ou

la quatrième

, etc.

557. Le développement en fraction continue peut servir à résoudre les équations exponentielles.

Soit, par exemple, à résoudre l'équation

Si l'on donne à x les valeurs î , 2 , 3 , on obtient pour 10* les valeurs 10 , 100 , 1000 . Le nombre 200 étant compris entre ces deux derniers nombres , il s'ensuit que l'exposant x est compris entre 2 et 3 ; et que par conséquent on peut poser

en désignant par y une quantité plus grande que l'unité. Mettant pour x cette valeur dans l'équation [l] , on obtient

1CT»=200 , ou 10\10»=200 , ou 10»= — = 2,

et , en élevant les deux membres a la puissance y ,

Donnons à y les valeurs I , 2 , 3 , 4 ; nous trouverons pour 2" les valeurs 2 , 4 , 8 , 16 . Le nombre 10 étant compris entre ces deux derniers nombres, il en résulte que, y est compris entre 3 et 4 , et que l'on peut poser en conséquence