FRACTIONS CONTINUES. 3Ù

c'est-à-dire sous Tonne d'une fraction continue , que l'on pourra pousser aussi loin qu'on le voudra. Le seul obstacle sera la longueur des calculs, qui croit à mesure qu'on avance, et rend cette méthode impralicable lorsqu'on veut obtenir une grande approximation.

Les quatre premières réduites de la valeur que nous venons d'obtenir sont

1 ' 3 ' 10 ' B3 ' cette dernière est approchée a moins de

1 1 93[93 + 10} ° U 9579 ' îWî8. Enfin le rtôvolopfiemrnl en fraction continue peut servir à trouver un premier système de valeurs propres à satisfaire à une équation du premier degré à deux indéterminées. Soit l'équation à deux indéterminées ax + by = e .

On développe le rapport | en fraction continue (384). La dernière réduite sera | ; désignons par ! 'avant-dernière. En vertu du principe démontré au n° 31Î0, si ^ est de rang pair, on aura

a&'— 6R=1 , d'où, en multipliant par c ,

a&.'c — *Rc = e .

On voit donc qu'on satisfera , dans ce cas , à la proposée , en posant x=K'c et y=— Re .

Si | est de rang impair, on aura

aR'— 6R = — 1 .

Multipliant alors par — c , on obtiendra — aR'c+bRc — c ; et l'on voit qu'on satisfera dans ce cas à l'équation proposée en posant

x — — R'c et y = Rc .

Prenons pour exemple l'équation

3'if) TROISIÈME PAHÎIE. — CHAPITRE XIII.

déjà traitée au n 148. Développons en fraction continue le rapport ; nous trouverons pour les quotients incomplets successifs

0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ; en sorte que les réduites successives seront

0 1 1 2 3.5 Jî

Le numérateur de la différence entre les deux dernières est

Multipliant donc par — 159 , il vient

— 8,8.159 + 13,5.159=169 , d'où «=—8.159 = — 1272 ,

On obtiendrait, en effet, ces valeUrsen faisant f= — 99 dans les valeurs générales trouvées au numéro cilé.

Remarque. Cette méthode a l'inconvénient de donner pour x et y un système de valeurs qui ne sont pas, en général, assez simples.