CHAPITRE XIV

389. On est souvent obligé d'introduire dans le calcul des quantités qui ne peuvent être obtenues qu'avec un certain degré d'approximation; tels sont les quotients décimaux périodiques, telles sont les racines des nombres qui ne sont pus des puissances parfaites , tel est encore le rapport tt de la circonférence au diamètre qui figure dans une foule d'applications géométriques , etc. Les données du calcul n'étant alors qu'approchées, le résultat final de ce calcul ne peut lui-même être obtenu exactement. On peut , en conséquence , se proposer deux questions : 1" Connaissant la limite de l'erreur commise sur les données, déterminer le degré d'approximation avec lequel le résultat pourra être obtenu ; 2" réciproquement, déterminer le de^ré d'approximation avec lequel les données du calcul devront être prises pour que l'erreur commise sur le résultat soit moindre qu'une quantité assignée Ji l'avance.

Quoique ces deux questions semblent être du ressort de l'Arithmétique , leur solution ne peut être donnée d'une manière satisfaisante sans le secours de l'Algèbre; c'est pourquoi nous avons cru devoir en faire l'objet de ce chapitre.

L'erreur commise sur une quantité peut être appréciée de deux manières, ou en elle-même et d'une manière absolue, comme lorsqu'on dit qu'une quantité est approchée à moins d'un 10* d'unité , d'un 30 r d'unite , d'un 100 e d'unité , etc.; ou, par rapport à la valeur exacte de la quantité dont il s'agit, comme lorsqu'on dit qu'une quantité est approchée a moins d'un 10" de sa valeur, d'un 30 e de sa valeur, d'un 100° de sa valeur.

Dans le premier cas l'erreur est absolue, et a cette espèce d'erreur correspond un certain degré d'approximation absolue. Dans le second cas l'erreur est relative, et à cette seconde espèce d'erreur répond aussi un certain degré A' approximation relative. Nous consacrerons un paragraphe à chacune de ces deux espèces d'approximation.

S I. Des approximations absolues.

560. Nous supposerons d'abord qu'une seule des données soit approchée. Nous la désignerons par A ; nous la supposerons comprise entre a et a-\- 3 ; en sorte que l'une quelconque de ces deux quantités sera une valeur de A approchée à moins de 3 .

Addition. Soit à ajouter à A une quantité exacte B . On a o<A<a + S , donc « + B<A.+ B<o+S+B .

Or, les quantités extrêmes diffèrent entre elles de 3 ; l'erreur commise en prenant l'une d'elles pour la valeur de A + B , est donc moindre que S , c'est-à-dire que le degré d'approximation de la somme est ie même que celui de A .

Soustraction. 1. Soit à soustraire B de A , on aura a — B<A — B<a + B — B .

Les quantités extrêmes différent encore de 3 ; donc l'erreur commise en prenant l'une d'elles pour la valeur de A — B , est moindre que 3 , c'est-à-dire que ie degré d'approximation de la différence est le même que celui de \ , et a le même sens.

H. Soit à soustraire A de B , on aura

Les quantités extrêmes diffèrent toujours de B ; ainsi l'erreur commise en prenant l'une d'elles pour la valeur de B— A , est moindre que o ; mais si l'on prend A par défaut , l'erreur sera par excès ; et si l'on prend A par excès , l'erreur sera par défaut. Donc le degré d'approximation de la différence est encore le même que celui de A ; mais l'approximation est de sens contraire.

301. MuLTiPLiciTiON. I. Soit a multiplier A par B , on aura ûB<AB<(û-|-3)B ou oB + ÎB .

Les quantités extrêmes différent de SB ; l'erreur commise en prenant l'une d'elles pour la valeur de AB est donc moindre que SB, c'est-à-dire que l'erreur commise sur le produit est moindre que la limite de l'erreur commise sur le facteur approché A , multipliée par le facteur exact B .

Si , par exemple , A est approché à moins de ~ , et que B soit égal h 5 , l'erreur commise sera moindre que ^ ou i .