III. Soit maintenant à diviser B par A ; on aura

Les quantités extrêmes diffèrent de

Ën appelant e l'erreur commise en prenant une de ces quantités extrêmes pour la valeur de ? , on aura donc

c'est-à-dire que l'erreur commise sur le quotient esf moindre que la limite de l'erreur commise sur le dividende A , multipliée par le quotient qu'on obtient en divisant le dividende B par le carré de la valeur de A approchéepar défaut.

Si, par exemple, la valeur appprochée de A à moins de ^ est , par défaut, et qu'on ait B=16,33 , on aura

ou à peu près et aforliori e<- .

Si la valeur approchée de A , à moins de 0,01 est 8,75 et qu'on ait B = 0,38 , on aura

e< 100" (fi,75)' 0a e< 765625 0U 6 < 232,00 "

Si lu valeur de A. approchée à moins de 0,001 est 1,462 et qu'on ait B = 0,045 , on aura

e< 1000 - (îl62)' 0U C< 2137444 ° U e< 4V9 '

ou , a fortiori , e < ^ .

IV. On peut demander avec quel degré d'approximation doit être pris le diviseur A , pour que le quotient soit approché à moins d'une quantité donnée e .

On vient de voir que l'erreur commise sur le quotient est moindre BS .

que — j j posons

et nous satisferons a fortiori à la condition proposée.

On tire de là 3 < E lî EQ>

c'est-à-dire que la limite dr l'erreur commise sur le diviseur A doit être moindre que la limite de l'erreur qu'on veut commettre sur le quotient, multipliée par le quotient qu'on obtient e.n divisant le carré de la valeur du diviseur A (approchée en moins) par le dh-identlc ' B .

Il faut remarquer que cette valeur approchée du diviseur dépend du degré d'approximation que l'on cherche, et n'est par conséquent pas connue; niais, comme la condition ci-dessus [1] sera remplie a fortiori si on y satisfait après avoir remplacé a par une quantité moindre, on pourra mettre pour a dans cette formule une valeur de A approchée par défaut à un degré d'approximation quelconque.

Si, par exemple, on a B = 21,55 ; A = 8,317317.... et qu'on veuille obtenir le quotient â moins de 0,0001 on pourra prendre 8 à la place de a , et écrire

^ïôk^sds' d ' où s< séjr.-

En prenant A à moins d'an ttiœ-mil/ième, c'est-à-dire 8,3173 , on remplirait a fortiori la condition proposée.

Si l'on a B — ûCO ; A= 1,6545454.... ; et qu'on veuille obtenir le quotient à moins de 0,001 ; on pourra prendre 1,6 à la place de « , et écrire

des approximations Ar.sor.UES.< 353 En prenant A. a moins de 0,000001 .c'est-à-dire -1,654545. , on remplirait a fortiori ta condition proposée.

Si l'on a B = 0,25 et A — y 5 , et qu'on veuille obtenir le quotient à moins de 0,01 , on pourra prendre 2 à la place de a , et écrire -

*<àô'ôi • ,1,où !< é ou s< és ■

En calculant \/à à moins d'un dLrième, on remplirait a fortiori la condition. ,

365. Carbé. 1. Soit à former te carre de A ; on imra tf<À*< (& + *)' pu à*+2o*- r -S' '.

La différence entre les quantités extrêmes est lai -j- à* ; ainsi . en appelant toujours s l'erreur commise quand on prend^'une de ces quantités extrêmes pour la valeur de A 1 , on aura'

• <ldt+ï ou e <2o(s-+Q .

Le plus ordinairement le terme ^ sera négligeable vis-à-vis de à , et l'on pourra prendre pour la limite de l'erreur commise

e = 2cS = 3.2o , c'est-à-dire que la limite île l'erreur commise sur le carré est égale à la limite de l'erreur commise, sur la première- puissance, multipliée par le double de la valeur de celte première puissance, approchée par défaut. . . '

Si, par exemple, la valeur de A , approchée h moins de ~

est ^ , l'erreur commise en l'élevant au carré sera moindre que

±X2 ^ on *L oa 'JL.

et, a fortiori, moindre que ~ .

Si la valeur de A , approchée à moins de 0,001 est 5,341 ; l'erreur commise en l'élevant :ai eanv si'ra moindre que 0,001X2X5,341 ou que 0,010682 , ou, a fortiori, moindre que 0,011 .

II. On peut demander avec quel degré d'approximation il faut prendre A , pour qu'en l'élevant au carré l'erreur commise soit moindre qu'une quantité donnée £ .

35o TROISIÈME PARTIE» — CHApmtE XIV.

On vient de voir t|ue l'erreur commise en formant le carré est généralement moindre que 2aô ; posons

' nous, satisferons a fortiori :à la condition proposée.

On tire de la 1 .«<^ [2],

c'est-à-dire que la limite de l'erreur commise sur A doit être moindre que la limite de l'erreur qu'on' veut commettre sur son narré, divisée par le double de la valeur approchée de A , par dé-

Ici encore la valeur approchée a dépend du degré d'approxima- ' tion que l'on cherche e( n'est, pnrcnnspqnerif, pas connue àl'avance; mais on peut mettre à l;i place île « une quantité plus petite; si l'on satisfait à l'inégalité dans ce cas, l'inégalité [2] sera satisfaite a fortiori. On peut donc remplacer a par une valeur la plus simple possible approchée par défaut.

Si, par exemple, A est égal à 7,3643G4364.... on pourra remplacer a par ■ 7 ; et si l'on veut que le carré Soit approché à moins de 0,001 , on écrira

0,001. .1 , - 14 ou 14000 ' En prenant A avec 5 décimales on remplira a fortiori cette condition.

Si A est égal à 329,7272.... , on pourra remplacer a par 329 ; et si l'on veut que le carré, soit' approché à moins de 0,0001 , on écrira :

û< 3293<2 ° U S< 6580ÔÔÔ ' En prenant A avec 8 décimales on remplira a fortiori cette condition.

3C4. Racine cirrée. I. Soit à eïlraire la racine carrée de A ; on aura

V«<v'A-<v / STs ■ -' - La différence entre les quantités extrêmes est \/a-\-S — \fâ ; en . appelant e l'erreur commise en prenant une de ces quantités extrêmes pour la valeur de \/A ; on aura donc

e<v/^H— <Jâ : •■' '

Multiplions et divisons à la fois le second membre par yn+Ô+v'" ; il viendra

ou e< -

et, afortiori, e<^~

c'est-à-dire que l'erreur commise sur la racine carrée sera moindre que la limite de. l'erreur commise sur h nombreproposé, diviséepar deux fois la racine carrée de lu valeur approchée de ce nombre.

Si , par exemple, In valeur approchée de A , & moins de " —

est — , on aura

ou, en mettant pour la racino qui entre au dénominateur sa valeur approchée par défaut, ce qui est permis puisque cette substitution tend à augmenter le second membre, '

Si la valeur approchée de A ,àmoinsde 0,001 , est 11,522 , on aura

ou, en mettant pour le radical du dénominateur sa valeur approchée par défaut 3,39... ,

II. On peut demander avec quel degré d'approximation il faut prendre A pour que la racine carrée soit approchée à moins d'une quantité donnée e .

On vient de voir que la limite de l'erreur commise sur la racine

nous satisferons à fortiori à la condition proposée.

On tire de là S<«.2V« [3],

c'est-à-dire que la limite de l'erreur commise sur A doit être moindre que fa limite de l'erreur qu'onveut commettre sur sa racine , multipliée par deux fois (a racine carrée de la valeur approchée de A , par défaut.

Ici encore, cette valeur approchée de A n'est pas connue, puisqu'elle dépend du degré d'approximation que l'on cherche; maison peut la remplacer par une quantité moindre; si l'on satisfait à l'inégalité dans ce cas , l'inégalité [3] sera satisfaite a fortiori.

Si; par exemple, on a À = 318,272727.. ; et qu'on veuille obtenir sa racine à moins de 0,001 , ou pourra remplacer a par 318 , et \/a par sa valeur approchée par défaut 17 . Oq devra donc avoir ... -

S<0,001 X34 ou S < 0,034 .

En prenant A avec deux décimales , on satisfera a fortiori à la condition.

Sil'ona A — 0,047127)2.... ; ét qu'on veuille obtenir la racine à moins do 0,01 ; ou pourra remplacer a par 0,04 ; et \ja par 0,2 ; on devra avoir alors

3<0,01X2X0,2 ou S < 0,004 .

III. Remarque. Lorsqu'une quantité est plus grande que 1 , il suffit , pour obtenir sa racine carrée avec n chiffrés décimaux exacts, de connaître cette quantité elle-même avec n chijfres décimaux exacts.

En effet, on a alors £ =JqT 1 et A> 1 I on peut donc remplacer a par 1 dans l'inégalité [3] , et écrire -

Si donc la quantité A est donnéo avec' n chiffres décimaux exacts , c'est-à-dire si S est moindre qu'une unité du n'" ordre décimal, la condition sera remplie a fortiori.

DES APPltOXlMATIONS ABSOLUES. 357

Plus généralement , si a est l'exposant (positif ou négatif) de la plus liau tu puissance de 100 contenue dans A, on aura n>100" ;

on posera S <I^- '

et, cd satisfaisant il cette iaeg.ilité , on satisfera a fortiori il la con-

C'est-à-dire qu'il suffira de prendre A avec im nombre de décimales marqué par le nombre n de décimales qu'on veut obtenir à la racine, diminué ik l'c.i posant a de ta plus haute puissance de 100 contenue dans A :

Si, par exemple, A=356,709 .... , on aura a — 1 ,,'etilfeudraprendre A avec »~1 décimales ;si A=51f>78,023.... , od aura h = 2 , et il faudra prendre n — S décimales ; si an contraire A = 0,0317.... , on aura o = — 1 , et il faudra prendre n -f- 1 décimales ; et aiusi de suite.

Lorsqu'un nombre entier a 2n + l chiffres, on peut, sans connaître les n premiers chiffres à droite, obtenir sa racine carrée à moins d'une unité.

En effet , on a alors ■ =1 et A > 10*" ; on peut donc remplacer a par 10** , et par conséquent \/a pur 10" ; et écrire

Or, si l'on retranche les n premiers chiffres à droite du nombre, ou, ce qui revient au môme, si, ne les connaissant pas, on les remplace par des zéros, on commet une erreur moindre que 10" ; donc on peut obtenir la racine ïi moins d'une unité. 305. Ci'iiE. 1. Soit à former. le cube de A ; on aura

a' < A' < (a + 3)' ou a" + 3 s»! + 30? + ?' - La différence entre les quantités oxirt:mis est 3 «*£ ,-f- 3aî' + S ; en nommant toujours e. l'erreur commise en prenant une de ces quantités extrêmes pour la valeur de A* , on aura donc.

•<8rfH-Saâ+* ou t<arf^H~+j£) .

Lh plus oi'diiiairi.'EiK'iit , l'ensemble îles deux derniers termes, écrits dans la parenthèse sera négligeable devant le premier; on pourra donc prendre pour limite de l'erreur commise

c'est-à-dire que la limite de l'erreur commise sur le cube est égale à la limite de l'erreur commise sur la première puissance , multipliée par le triple carre de la valeur de celle première puissance , approchée par défaut.

Si, par exemple, la valeur approchée do A a moins de 0,01 est 3,14 , l'erreur commise en l'élevant au cube sera moindre que

0,01X3X(3,14)' ou 0,295788, ou, a fortiori, moindre que 0,3 ,

Si la valeur approchée de A ,àmoinsde 0,001 est 0,612 , l'erreur commise en l'élevant au cube sera moindre que . 0,001 X.(u,fil2) s X3 ou 0,001123632, ou , afortiori, moindre que 0,002 .

II. On peut demander avec quel degré d'approximation la quantité A doit être prise pour qu'en l'élevant au cube, on commette une.erreur moindre qu'une quantité donnée t .

L'erreur commise sur le cube différant peu de £.3û* .posons

nous satisferons à la condition indiquée.

On tire de là 3 < ^-j ,

c'est-à-dire que la limite de terreur commise sur la première puissance doit être moindre que. tu titrtîti: de /''nrur </u'ij/i veut commettre sur le cube, divisée par le triple carré de la valeur approchée de la première puissance.

Cette valeur approchée o n'est pas connue, puisqu'elle dépend du degré d'approximation cherché; mais un peut la remplacer par une quantité moindre, puisqu'on ne fait ainsi qu'augmenter lé second membre ; on pourra donc mettre pour a une valeur la plus simple possible approchée par défaut*

Si, par exemple, on a A — 6,1275275.... , et qu'on -veuille obtenir son" carré à moins de 0,001 , on pourra remplacer a par fi /et écrire

â< 3XSB ° U 0< Ï06ÔOÔ- En prenant' A avec 6 décimales , on remplirait a fortiori la condition , et il est probable qu'on la remplirait encore avec 5 décimales ..." ,.

58*1. Racine cubique. I. Soit enfin à extraire la racine cubique de A , on aura. . •