DES API'MOXEMÀTIOHS ABSOLUES

En nommant e l'erreur commise en prenant une des quantités extrêmes pour la valeur de y'Â , on aura donc

Multiplions et divisons à la fois le second membre par la quantité

Le numérateur se réduira à la différence des cubes des radicaux yfâ+h et \fâ , c'est-à-dire à S ; et l'on aura

et a fortiori — -

c'est-à-dire que l'erreur commise sur la racine cubique est moindre que la limite de l'erreur commise sur la quantité donnée A divisée par le triple carré delà racine cubique de cette quantité, approchée par défaut.

Si , par exemple , on a A = i ,26 à moins de 0;01 , on aura 0,01 ou e< JM>t 3^(1,26)*- 3^1,5876 ou en remplaçant le radical du dénominateur par s'a valeur approchée en moins , ce qui est permis , puisque cela a pour effet d'augmenter le second membre,.

^ 0,01 e< 3lOÏ ° U e< 33Ôô; 11. On peut demander avec quel degré d'approximation on doit prendre A pour que sa racine cubique soit approchée à moins d'une quantité donnée i .• On vient de voir que l'erreur commise sur la racine cubique est

moindre que ~t= ; posons donc '3v«*

nous satisferons a fortiori à la condition indiquée.

Ontiredelà r<i,3^? '.Mi'"

c'est-à-dire que la limite de l'erreur commise sur A doit être moindre que la limite de l'erreur que l'on veut commettre sur sa racine, multipliée par le triple carré delà racine cubique de la valeur approchée de A, par défaut. . ' . -*

Celte valeur approchée n'étant pas' connue, puisqu'elle dépend de l'approximation cherchée , on pourra la remplacer par une quantité plus petite.

= Si , par exemple, on a A= 3,1272727.... , et qu'on veuille obtenir sa racine cubique à moins de 0,01 , on pourra remplacer a par 3 , cl l'on posera

S<0,01 X3y5 , ou en prenant y» à une imité près, par défaut, ; ô<O,01X3X2 ou S<0,OÉ .

En prenant A avec doux décimales on remplirait a fortiori la condition.

111. REMARQUE. Lorsqu'il//!' i/u-mlili- ni plus iji-i.mde que 1 , il suffit, pour obtenir sa racine cubique avec n chiffres décimaux exacts r de connaître celle quantité elle-même avec n chiffres décimaux exacts.

Car on a alors £ = j^ et A>1 ! on pi*ut donc remplacer à

par.. 1 et écrire

Si donc la quantité A est donnée avec n chiffres décimaux exacts, c'est-à-dire si. S' est moindre qu'une unité décimale de l'ordre ji , la condition. sera remplie a fortiori.

Plus généralement, si « est l'imposant ' positif ou négatif] de la plus haute puissance de 1000 contenue dans A , on aura «> 1000* . On posera

lit en satisfaisant à cette inégalité on s;Uîsfï;i'A <t fortiori à la condition [4], 'car on aura '

10"- to — 10" < 10" < Kl" ' c'est-à-dire qu'iï suffira de prendre A avec un nombre de décimaies marqué par le nombre n de décimales qu'on veut obtenir à la racine, diminué du double 2j de l'exposant de la plus li a n w puissance de 1000 contenue dans A .

Si, par exemple, A = 3479,102.... , on aura a = l et il suffira de prendre, n — 2 décimales .Si A = 0,00347.... , on aura. b= — I , et il faudra en prendre n'-f 2 , et ainsi de suite.