Jusqu'ici nous avons supposé qu'une seule des données

OLUES. 361

était inexacte; cherchons maintenant ce qui arrive lorsque plusieurs d'entre elles ne sont qu'approchées. L'erreur commise varie alors suivant le sens de l'approximation de chacun des éléments du calcul; mais, afin de ne pas multiplier les règli-s. nous n'examinerons, dans chaque cas particulier, que l'hypothèse la plus défavorable.

Addition. Le cas le plus défavorable est celui où les erreurs sont de même sens : soient A et B deux quantités à ajouter; soient 'f et b leurs valeurs approchées, l'une à moins de a , l'autre à moins de p ; soit enfin e l'erreur commise sur le résultat. On aura

«<A<a+« , A<B<6+p , rl'où, on ajoutant, ce qui est permis («6),

« + 6<A-f-B<«.+ é + « + fi .

Les quantités extrêmes ditlërent de a-f- p ; on a donc " + ? ,

c'est-à-dire que l'erreur commise sur la somme, est moindre que la somme lies limites des erreurs commises sur chacune des quantités ajoutées.

Si , par evemple, l'une des quantités est approchée à moins de et l'autre à moins de , la somme sera approchée à moins do

La règle serait !a même, dans le cas le plus défavorable, pour un nombre quelconque de quantités.

Si , par exemple , on fait la somme de 10 logarithmes , approchés chacun à moins d'une demi-unité du septième ordre décimal , l'erreur commise sur la somme sera moindre que 5 unités de cet ordre, dans le cas le plus delïivoraltlu.

Rkmaho.UK. Si plusieurs quantités sont approchées au même degré d'approximation, leur moyenne, 'dans le cas le plus défavorable, est approchée au même degré.

Soit, en effet, l la limite de l'erreur commise sur chaque quantité; si elles sont en nombre n la limite de l'ei

leur somme sera «S , dans le cas le plus défavorable ; en divisant donc par » pour prendre la moyenne, on aura S pour la limite de l'erreur commise (562, I).

Si, par exemple, on prend la moyenne entre un certain nombre de températures estimées chacune à moins d'un dixième de degré,

cette moyenne sera approchée elle-même, à moins d'un dixième de degré.

Si un certain nombre d'observations donnent la valeur d'un angle, chacune à moins d'un quart de minute, la moyenne de ces observations sera rapprochée à moins d'un quart de minute.

El ainsi de suite.

568. Soustraction. Le cas le plus défavorable est celui où les erreurs sont de sens contraire. Supposons qu'on ait, en conservant les mêmes notations ,

«<A<« + « , 6>B>6— fs , on pourra retrancher membre à membre (86), ce qui donne o— 6<A — B<n + a — 6 + p .

Les quantités extrême* diHheut de a -\- \; ; on a donc

c'est-à-dire que l'erreur commise svr ta différence est moindre que la somme des limites des erreurs commises sur chaque quantité.

Si, par exemple, la quantité à soustraire est approchée par défaut à moins de ^ , et que la quantité dont on soustrait soit approchée par excès à moins de ~ , la limite de l'erreur commise par excès sur la différence, sera j^ + j^ m ^ ■

369. Multiplication. Le cas le plus défavorable est celui où les erreurs sont de même sens. Si l'on a

a<k<a+* , &<B<6-H , on peut multiplier membre à membre, ce qui donne -,

ab < AB < ab + + 6« + c$ , et, par conséquent, e < a$ -f- 6a + »B .

Le plus ordinairement, le terme sp sera négligeable vis-à-vis des précédents, et l'on pourra prendre pour la limite de l'erreur commise sur le produit

c'est-à-dire que la limile de l'erreur commise sur le produit, est ta

Si, par exemple, la valeur approchée de À à moins de — est |g , et que la valeur approchée de B à moins de ^ soit ^ , la limite de l'erreur commise sur le produit sera

lô + «' ° U 60 ' ou 12 umtéset 60 ■ Si la valeur approchée de A à moins de 0,01 est 3,14, et

que la valeur approchée de B à moins de 0,001 soit 0,221 ';

l'erreur commise sur le produit sera moindre que

3,14X0,001+0,221X0,01 , c'est-à-dire 6,00535 , moindre a fortiori que 0,006 .

Rkmàbque. Si l'on demandait avec quel degré d'approximation il faut prendre les données-pour que le produit soit approché à moins d'une quantité assignée - s , le problème serait indéterminé. On pourrait poser, en effet,

mais on voit que l'on peut donner à v , par exemple , une valeur arbitraire (qui rende le terme h* , et même Ba , moindre que t ) et qu'on pourra déterminer ensuite p de manière à satisfaire encore à l'inégalité.

370. Division, Le-cas le plus défavorable est celui où les erreurs sont de sens contraire. Supposons qu'on ait a< K<a+* , ^ . . i>B>d— p ,

on pourra diviser membre à membre , et l'on aura

Écrivons que l'erreur commise c est moindre que la diltërence des quantités extrêmes, nous aurons

œ + a a -'l>*+aB

c'est-à-dire que l'erreur commise sur te quotient sera moindre que la somme des produits obtenus en multipliant chyque terme de la division par la limite de l'erreur commise sur l'antre, divisée par le carre de lu auteur i;ppi ori,rc itiris-.'iii- /-ur définit .

Si, par exemple, lu valeur approchée de. A par défaut, à moins de 0,01 est 11,24 , et que la valeur approchée de B par excès, à moins de 0,1 soit 28,7 ; la limite de l'erreur commise sur le quotient sera

OU, a fortiori,

Remarque. Si l'on demandait avec, quel degré d'approximation on doit prendre le dividende et le diviseur pour que le quotient soit approché à moins d'une quantité donnée t , le problème serait encore indéterminé. Un poserait

afT+Sa aï j ba •

On 'pourrait donner à fi une valeur arbitraire ( qui rendit lu premier terme moindre que s ), et déterminer ensuite, a de manière ii satisfaire encore à l'inégalité.

371. Applications. I. Calculer à moins d'un centimètre carrela surface d'un cercle qui a 0™',37 de rayon.

En appelant S l'aire du cercle, et n le rapport de la circonférence au diamètre", on a **

S = EX(0"',37)' = 7rXO m - c ,1369 .

11 s'agit de déterminer le nombre de décimales qu'on devra prendre'au facteur ti , pour que le produit soit approché à moins de 0,0001 . Appliquons la rè^le du n° 301 (II), nous trouverons , 0,0001 . 1

0< Ô,136!) °" ^1369 ' il l'audni donc prendre r. avec ( dénumles , nu - = 3,l4l5... , ou mieux ir = 3,l4l6 , attendu que le cinquième chiffre tlécrmal est un 9 . On aura donc

S = 0 m - C ,13t>9 X 3,1416 = O B - t ,4300!tà#it ou S='O"- c ,4300 en ne consérvaiil nue lis décimales ivriaines.