CHAPITRE XV

S !. Problèmes d'algèbre pure.

385. Trouver le maximum ou le minimum* des valeurs que peut prendre lé trinôme du seeond degré ax* + b\+c pour des valeurs réelles de x . v '

Si a estpositif, posons ax > -\-bx+c = y .

La condition pour que x soit réel est

& « 4t i( C -y)>0 (218), ,, . Uc~-V.

d'où y>—Ja~- ■

La plus petite valeur que pourra prendre y , c'est-à-dire le miiihnuni de i; , sera iluni;

Aac — b*.

valeur à laquelle correspond x = — ^

Cette valeur minimum de y sera positive, nulle ou négative, suivant que les racines de l'équation ax 1 -^ bx-\-c= 0 seront imaginaires, réelles et égaies, ou réelles et inégaies (818).

Si a est négatif et égal à — d , on pourra écrire

Li condition dit rénlits do .<■ scia

b'—Aa'e

b*—4à'[y — e)>0, d'où y<-

La pins grande valeur que pourra prendre y , c'est-à-dire le n de y , sera donc

• l'iu! mleur li'uni' i'\;irc— ion i-s.1 ilile uin.' j'jnN i;l IiirH^u'i'll,' surpasse à la fols i cil i-= ijiii lu i.-, i dcn t ni nui m l L . • I: iui[iii''ili;ili>iin;iii. 1^1 l-i sst dilr. uLiinmimi lorsqu'elle est surpassée par celles qui précèdent et qui suivent immédiatement.

Î74 TilOISJÉMË PARTIE. — CHAPITRE XV.

Celte valeur maximum de y sera positive, nulle ou négative, selon que les racines do 1' c< ] nation al a? — bx — c—0 seront réelles et inégales, réelles et égales, ou liien imaginaires.

Exemple. Soit l'expression 3a?—$x-\-6 ; on trouvera qu'elle a un minimum répondant à , et ce minimum est — ^ .

Soit l'expression 6 + 5* — 3œ".; on trouvera qu'elle a un .maximum répondant à ■' — g , et ce winarfmtAn est — ~ .