GHAPITEE

séqiient le lieu géométrique d'une équation à trois variables F (x, y^ ^) = o , est une surface dont la nature dépendra de la forme de la fonction F. D'ailleurs , on ne saurait prétendre que ce lieu est un solide, puisqu'alors chaque plan sécant devrait donner pour section une aire, tandis qu'il ne produit, en coupant la surface cylindrique F(j:, y^ c)=o, qu'ttwe courbe à une ou plusieurs branches, identique avec la base df.ce cylindre.

12. De cette discussion il résulte que toute équation isolée, soit quelle renferme une, deux ou trois variables, représente une surface, laquelle devient néanmoins totalement imaginaire quand aucun système de valeurs réelles ne satisfait à l'équation proposée; ou bien, si l'on ne peut y satisfaire qu'en partageant cette équation en deux ou trois autres , la surface se réduit à un nombre limité de lignes réelles, ou de points réels, parce qu'alors on tombe sur le système de plusieurs équations simultanées. Il n'y a pas lieu de considérer ici des équations qui renfermeraient plus de trois variables proprement dites, puisque chaque point de l'espace est suffisamment déterminé par ses trois coordonnées : cependant, si l'on regardait les variables au delà de trois, non plus comme des coordonnées, mais comme des paramètres qui influeraient sur la forme et la position de chaque surface individuelle , on. tomberait sur des solides et sur la théorie des surfaces enveloppes, dont nous parlerons plus loin (n°» 277 et 337).

13. Maintenant, si l'on fait concourir deux équations simultanées F (x, j, js)= o et F' (x, y^ z) = o, c'està-dire dans lesquelles les variables seront censées recevoir h la fois les mêmes valeurs, ce qui n'en laisse plus qu'une seule d'arbitraire , z par exemple, ce système représentQra une ligne droite ou courbe , puisqu'il ne pourra con-

VOTIONS BKiLlMIKAIRBS. 9

venir qu'aux points situés en même temps sur les deux surfaces, c'est-à-dire à leur commune section. Réciproquement, le seul moyen que nous ayons pour définir une courbe dans Pespace, étant d'assigner deux surfaces connues dont elle soit l'intersection , nous ne pourrons représenter analytiquement cette ligne que par deux équations simultanées. C'est à cela que revient en effet la méthode des projections ^ que nous allons faire connaître , et dont l'avantage consiste en ce que , parmi le nombre indéfini de surfaces différentes qui peuvent passer par une courbe donnée, cette méthode emploie de préférence deux cylindres dont chacun est parallèle à Fun , des axes coordonnés, et dont les équations se trouvent conséquenunent plus simples , puisque , d'après le n^ 8 , elles ne renfermeront chacune que deux variables.

i i. Commençons par les lignes droites , et , pour mieux fixer les idées , supposons les axes rectangulaires , et regardons OZ comme vertical. Alors, imaginons que de tous les points de la droite MM" dans l'espace, on mène Fie. 4. des perpendiculaires au plan XY (si les axes étaient obliques , il faudrait dire : des parallèles à OZ) ; elles rencontreront ce plan en des points C, C, C", . • • dont l'ensemble formera ce qu'on appeUe la projection de MM'' sur ce plan; et cette projection sera toujours rectiligne, puisque les perpendiculaires seront évidemment situées toutes dans un même plan parallèle à OZ, lequel se nomme le plan projetant de MM". Si l'on projette de ' même cette droite sur les deux autres plans fixes par des perpendiculaires (ou en. général par des lignes parallèles à l'axe qui est hors du plan que l'on considère) , on obtiendra les trois projections A A", BB", CC", dont deux suffisent pour déterminer h. droite MM". En effet , sup* posons que Ton nous donne A A" et BB"; en concevant

lO CHAPITRE I.

par la première un plan parallèle à Taxe OX, et par la seconde, un plan parallèle à OY, ces deux plans , dont la situation n'a plus rien d'arbitraire, devront évidemment renfermer chacun la droite MM^, et ils en fixeront la position dans l'espace par leur intersection. Fie. 4. 15. Cela posé, la projection BB'' sera déterminée sur le plan XZ dès que l'on donnera son équation, qui se trouvera, sur ce plan, de la forme

(i) ar = «a+/?,

dans laquelle on sait que p désigne l'ordonnée OG du point de rencontre avec OX , et que a = tang GIZ. L'autre projection AA" sera définie sur le plan YZ par une équation telle que

OÙ ^ = OH et J = tangHKZ. Par conséquent , Tensem-^ ble des équations (i) et (2) déterminera complètement la droite MM'' dans l'espace; et quoiqu'elles soient ici considérées comme appartenant aux projections seules de^ cette ligne, on doit, d'après ce cpii a été dit n®40, les regarder plus généralement comme les équations des deux plans projetants MBGR, MAHR, perpendiculaires l'un à XZ , l'autre à YZ , et qui , par leur intersection , fixent la position de MM" dans l'eépace. Ceci confirma et éclaircit ce que nous avons annoncé n*' 13.

16. Il est important d'observer que, quand même les axes seraient obliques, les projections BB'' et AA", pourvu qu'elles soient faites parallèlement aux axes, ainsi que nous l'avons prescrit (n° 14), auraient toujours des équations de la forme (i) et (2) ; seulement les constantes a et b changeraient de signification, et représenteraient alors des rapports de sinus , comme on l'a vu dans la Géométrie plane.

NOTIONS PRillKINAIRES. II

17. Remarquons d'ailleurs que, dans les équations simultanées (i) et (2), les variables x^ /, z se rapportent aux points correspondants des projections BB'' et AA", c'est-à-dire qu'en posant, par exemple, z =:OF, on doit trouver x = FB et y= FA. D'où Ton voit : 1° que «es variables représentent aussi les coordonnées MC, MA, MB de chaque point M situé sur la droite dans l'espace : ainsi ces équations peuvent être dites celles de la ligne MM" elle-même 5 2** que les valeurs a: = FB , jrsa FA , sont encore égales aux coordonnées CE, CD, du point C de la projection CC"; et par conséquent Véquation de cette troisième projection se déduira toujours des deux premières, en éliminante entre (1) et (2), ce qui donnera

(3) f=-P==Z^ ou ^=**+^^^=^, ^ a b ^ a a

pour l'équation de la ligne CC" ou du plan projetant vertical MCR.

18. On voit aussi par là qu'il serait aisé de déduire graphiquement la troisième projection des deux autres ; car, si l'on prend sur AA" et BB" deux systèmes de points correspondants à un même e, tels que A et B, A' et B', il suffira de tracer sur les plans fixes, des parallèles aux divers axes , pour en conclure la position des points C et C, qui détermineront la droite CC.

Cette construction devient plus simple quand on l'applique à deux des traces R et S de la droite MM", traces qu'il est aisé de retrouver sur les projections A A" et BB", par les premiers principes de la Géométrie descriptive.

19. Lorsqu'il s'agit d'une courbe MM' M". . . , on ima- Fie. 5. gine aussi par tous les points de cette ligne des perpendiculaires au plan XY (ou, si les axes sont obliques, des pa-

la GHAPITEIÏ I^

rallèles à 0Z)5 ces droites, dont Tense^uble formera w^c surface cylindrique, rencontreront le plan XY suivant une ligne CCC'..., qui, en général, sera courbe, et que l'on nomme la projection de MM'M'' ^^r ce plan. Si Ion conçoit de même, par la ligne MM' M", deux <yUn^ dres projetants, paralÛles l'un à OY, l'autre à OX, on obtiendra les autres projections BB'B", AA'A". . . v et la courbe dans l'espace sera évidemment déterminée, dès. que l'on donnera deux de ses trois projections, puisque alors elle devra se trouver à l'intersection de deux cy-. lindres connus.

20. Or, les deux projections BB'B" et A A' A", par^ exemple , seront définies par des. équations de la forme

lesquelles, dans leur signification complète, représentent; (n** 8) les deux cylindres projetants qui ont pour bases, les courbes BB" et AA" : donc la ligne MM" sers^ détermi-. née par le système des équations simultanées (4) et (5); et d'après les remarques du n°.17, l'équation de la troisième projection CCC se déduira de celles-là, en y éliminant la variable z.

21 . La construction graphique de cette troisième projection, qui en général ne sera pas rectiligne, exigerait que l'on répétât les constructions indiquées n** 18 pour une droite , sur divers points des courbes BB" et AA", assez nombreux et assez rapprochés pour pouvoir unir les résultats par un trait continu.

Ces principes une fois posés , nous allons résoudre di- . vers problèmes relatifs aux lignes droites , et qui d'ailleurs seront des moyens de solution pour d'autres ques-.. tions plus élevées.

'feii:

PROBLÈMES SUR LRS LIGinSS DROITES. l3

Problèmes sur les Ldgnes droites.