Lorsque les équations d'une droite

(i) xz=az-k-p^ (2) y=:zbz-i-q,

sont données, c'est-à-dire que les constantes a^h^p, ç sont connues, il est facile d'obtenir les traces de cette ligne. Si l'on veut, en eflTet, trouver la trace R sur le plan XY, on se rappellera (n° 7) que l'équation ^ = o ^ ,^ ^ caractérise tous les points de ce plan; par conséquent, cette condition introduite dans les équations (i) et (2) fournira x = p et y= q, pour les coordonnées de R. On obtiendrait les deux autres traces en posant successivement j^ == o et a: = o.

23. On peut, au contraire, se proposer de déterminer les constantes générales a, i, ^, q, par certaines conditions auxquelles on assujettira la droite. Exigeons, par exemple , que cette ligne passe par deux points connus M! et M" (fig' 2) , dont les coordonnées seront désignées par x\ y\ z* et x", y'\ z". Alors il faudra que les équations générales (i) et (2) soient vérifiées par la substitution de ces deux systèmes de coordonnées à la place de x^ jTy Zj ce qui fournira les conditions

(3) x'=:az'-^p, (4) x'=bz'-hq, (5) :r" = «z"+/., (6) j'^=^*"-hv,

l4 CHAPITRE II.

d'où Ton pourrait tîrer les valeurs des quatre constantes , pour les substituer ensuite dans (i) et (2) : mais on arrive d'une manière plus élégante à un résultat équivalent, en éliminant par des soustractions , comme dans la Géométrie plane, les inconnues a et p entre les équations (i), (3), (5), et les inconnues b et q entre (2), (4), (6). De cette manière on obtient pour les équations de la droite M' M",

jpf ^'' y' Y^^

24. Si la droite chercbée devait passer seulement par le point (a:' y' z'), on n'aurait à joindre aux équations générales (i) et (2) que les conditions (3) et (4), ce qui, en éliminant p et ^, donnerait pour les équations d^iuie droite assujettie à passer par un points

dans lesquelles les constantes a et h resteraient indéterminées 1, comme on devait s'y attendre. Mais si, de plus, on veut que la ligne cherchée soit parallèle à une droite connue représentée par

il faudra évidemment que les plans projetants de ces deux droites, et par suite leurs projections, soient respectivement parallèles \ ce qui fournira les nouvelles conditions a = a', J = i'* et la droite demandée sera enfin représentée par

Si l'origine O est le point donné par lequel on veut conduire une parallèle à la droite (D'), les équations (D)

PBOBLKMES SUR LES LIGNES DROITES. l5

se réduiront évidemment à la forme très-simple

25. Trousser le point de rencontre de deux droites connues, déterminées par les équations

(i) x = az -\-py (2) jr=zbz -\-q pour la première ,

(3) x-=za 'z -f-/? ', (4) y =:b'z-{-q^ pour la seconde.

Observons d'abord que les variables a: et ^ prennent en général des valeurs très-différentes dans les systèmes (i) et (2), (3) et (4), pour une même hypothèse z ■= z' : cependant, si les deux droites se coupent, les coordonnées du point commun devront vérifier à la fois les deux systèmes , et par conséquent elles s'obtiendront en regardant a', j^ z , non plus comme des variables, mais comme des inconnues qui ont les mêmes valeurs dans ces quatre équations. Il ne s'agit donc que de les résoudre sous ce point de vue; toutefois, puisque leur nombre surpasse celui des inconnues, il devra y avoir une équation de condition sans laquelle le problème sera impossible, parce qu'en effet deux droites dans l'espace ne se rencontrent pas toujours. Cette équation s'obtient, comme on sait, en éliminant les trois inconnues : or, en soustrayant (i) de (3) et (a) de (4), on a

puis , en éliminant z entre ces dernières , ou bien en exprimant que les deux valeurs qu'elles fournissent pour z s'accordent entre elles , on arrive à la condition

Si donc cette équation n'est pas vérifiée identique-

l6 èHAPIT&E II.

ment par les constantes des équations proposées , Jes deux droites en question ne se couperont pas-, et lorsqu'elle sera satisfaite , les coordonnées du point de section s'obtiendront en substituant la valeur commune

dans (i) et (2), ou dans (3) et (4), indifféremment.

â6. Quand on a a = a' et 5 = i', la condition (5) se trouve satisfaite, et cependant les droites ne se rencontrent pas , puisqu'elles sont parallèles ^ mais on doit évidemment sous-entendre , avec la relation (5 ) , que la valeur précédente de z n'est pas infinie^ ou bien il faut dire que la condition (5), prise isolément, exprime que les deux droites sont dans un même plan et peuvent se couper, sans décider à quelle distance aura lieu leur rencontre.

N. B. Observons ici que toutes les questions dont il est parlé dans les n^^ 22, 23, 24, 25, se traitent de la même manière et conduisent aux mêmes formules, quand les axes sont obliques^ seulement, la signitication géométrique des coefficients a, b, a'j b' est altérée, comme nous l'avons dit n*^ 16.

FiG. 6. 27. Trouv^er les angles que forme as^ec les axes rectangulaires OX, OY, OZ, une droite donnée

x = az-{-py j = ftz -H gr;

et comme cette ligne peut ûe pas rencontrer les axes , il faut entendre par là les angles que foi'ment ceux-ci avec une droite OD menée par l'origine, parallèlement à la droite primitive.

Les équations de OD seront (n° 2 i) x = az , j" = Jz :

t>ROBLÈMES SUR LES LIGNES DROITES. I7

si l'on prend sur cette droite une longueur arbitraire OJVr = r, et que l'on désigne par a:', y\ z' les coordonnées de son extrémité M', on aura , pour déterminer leurs valeurs , les^trois équations

dont les deux premières expriment que le point M' est sur la droite OD, et la dernière est la formule trouvée n® 6, On en déduit aisément

^ r , br , ar

Cela posé , en achevant le parallélipipède déterminé par les trois coordonnées du point M', et en posant les angles chércliés M' OX = a , M'OY = 6, M'OZ = y, on trouvera , par les triangles rectangles M'QO, M'SO, M'TO, les relations

rax OQ :p' ^ os r' ai z'

(O) COSa=— ~ = — , C0S5=-— — , =-—^ cOS7 = :rr77 = —;

^ ^ OM' r * OM' r ' OM' r *

et en y substituant les valeurs cfes coordonnées trouvées ci-dessus, il viendra

(7) cnsfler^ — j C0s6=: