COS

s/a^-^b^-hi

28. Observons ici , i**. que ces cosinus renferment un radical qui est susceptible de recevoir le double signe ±1 ; mais on devra toujours l'affecter du même signe dans les trois cosinus à la fois, et cela ne fotu'nira que deux systèmes de valeurs qui répondront aux deux angles sup~ plémentaires formés par la portion OD , et par son pro-

l8 CHAPITRE It.

longemcnt OE, ai^ec les demi-'axes positifs^ car c*est de cette manière que Ton doit toujours mesurer les angles d'unie droite aVec les axes coordonnés.

a°' Que ce radical pris positivement se rapportera toujours aux trois angles que forme avec les axes la portion OD qui se trouve au-dessus du plan XY , ou qui fait un angle aigu avec OZ , puisque alors , dans les formules (7), cos y ayant une valeur positive^ il sera certain que Tangle y est aigu. Toutefois cela n'empêchera pas les deux autres angles a et 6 d'être obtus ou aigus, suivant les signes qu'auront les numérateurs a elb dans ces formules (7).

FiG. 6. 29. Le parallélipipède employé ci-dessus montre que les coordonnées x' = OQ , /' = OS, ^' = OT, d'un point quelconque M' , sont les projections sur les axes , du rayon "vecteur OM'=r; et les équations (6) donnent les valeurs de ces coordonnées sous la forme

j:'=rrcosa, j'rzrcos^, «'=:rcos7.

FiG. a. De même , si une droite finie M'M" a pour coordonnées de ses extrémités :c',j"', z' et x'\y"^ z'\ et qu'on mène par ces deux points six plans parallèles aux plans coordonnés , on formera un parallélipipède rectangle dont les arêtes seront évidemment a:' — '3c"^y — y'\ z' — z"-^ de sorte que les angles a, 6, y ^formés par la diagonale M']VF = D, avec ces arêtes ou avec les axes , seront déterminés par les relations suivantes qui sont fréquemment employées ,

co9a= — jj — , cos6= — j^, cos7= — - — , dans lesquelles d'ailleurs on sait (n^6) que

PROBLÈMES SUR LES LIONES DROITES.^ lO

30. Lorsque l'on connaît à priori les angles a , 6 , y , que forme une droite quelconque avec les axes, il est facile d'en conclure les coefficients a et i qui entreraient dans les équations de ses projections 5 car , des formules (7)

du n^ 24, on déduit par la division, =û, =bi

de sorte que quand une droite devra passer par un point donné (x'\y\ z")^ et faire avec les axes des angles oi , &, y , ses équations pourront s'écrire sous la forme très-symétrique

CCS a cosê C0S7

31. En ajoutant les formules (7) du n^ 24, après les avoir élevées au carré, on obtient cette relation fort remarquable :

(8) cos'a-f-cos^6-4-cos^7= I,

qui prouve que les trois angles formés par une même droite avec les axes ne peuvent jamais être pris tous arbitrairement. Quand on s'est donné a et 6, par exemple , le

troisième est déterminé par cos y = dz V i — cos* a — cos* S, et n'est plus susceptible que de deux 'valeurs supplémentaires l'une de l'autre ; eiicore faut-il que les deux premiers angles satisfassent à la relation cos*a+cos*6<; i, laquelle comprend les deux conditions

a-|-6]>>9o^ et a — 6<^90®.

On peut se rendre raison de ces diverses circonstances, au moyen de deux cônes, droits qui auraient pour axes OX et OY, et dont les génératrices formeraient avec ces axes des angles égaux kotex 6 ; car la droite en question devrait être à la fois sur ces deux surfaces coniques, les-

quelles ne peuvent se couper que suivant deux génératrices placées symétriquement , l'une au-dessus et l'autre au-dessous du plan XY.

32. Trouver F angle que forment entre elles deux droites représentées par

' x=zaz -\-p et y z=zhz -^ q^

Xz=za'z-\-p' el J =: Ô'z-f- gr';

mais comme ces ligntîs peuvent ne pas se rencontrer, il faut entendre par là V angle compris entre deux droites menées par un même point j et parallèlement aux lignes primitii^es. Soient donc OD et OD' ces deux parallèles^ FiG. 6.. leurs équations seront (n^ 24)

(D) x=zaz, y = bz,

/- (D') x = a^Zy y=:b'z;

alors, si l'on prend sur ces droites deux points M', M", à une distance queflconque de l'origine , par exemple , telle que 0M'= I, OM"= I, et que l'on joigne ces deux points, le triangle obliquangle OM'M" donnera, paV un théorème connu ,

M'M" = OM' -h OM" — 20M' . OM" . ces (M'OM").

Mais si l'on désigne par x\ y\ z et x'\ y'\ z" les coordonnées des deux points M' et M'', cette équation deviendra

{ic'—x"y+{x'—x"y+{z'—z"y=i +i— 2co8(d,d'),

et, en développant les carrés, elle se réduira à

(9). coi{D,D')-x'a:" + yy" + z'z",