PROBLEMES SUR LES LIGNES DROITES

puisqu'on a évidemment (n° 6) les relations

si 4'aillcurs ou y joint les suivantes

y'^hz', r"=h'z\

qui expriment que les points M', M" sont sur les droites (D), (D'), on pourra calculer aisément les coordonnées de ces points , et Ton trouvera

■ si à

de sorte qu'en substituant dans l'équation (9), on aura pour déterminer l'angle des deux droites , la formule suivante

/ X .. aa' -irbb' -\- i

10) cosfD, DM— ,__ ■

Si l'on voulait calculer le sinus de cet angle, on emploierait la relation générale sin = V i — cos*, qui conduirait ici à l'expression

sin (D, D') = ^Ï^^^E^^SS\

et par suite on en déduirait la tangente.

33. La formule que nous venons d'obtenir pour cos (D, 0), renferme deux radicaux susceptibles cbacun du signe dz, ce qui fournit, si l'on veut, quatre valeurs

égales deux à deux , et qui répondent aux quatre angles formés par les droites indéfinies DOE , IXOE': mais il im-

FiG. 6. porte de remarquer que toutes les fois qu'on aflTectera les deux radicaux du même signe, c'est-à-dire quand on prendra le dénoniinateur total positivement , la valeur du cosinus conviendra nécessairement ^ l'angle DOD' form,é par les deux portions qui font chacune un angle aigu ai^ec OZ, ou à son opposé par le sommet EOE'. En effet, pour ces deux angles, les points M' et M" qui servent à construire le triangle sur lequel repose le calcul , doivent avoir leurs ordonnées z' et z", toutes deux positii^es ou toutes deux négatives ^ donc, en remontant aux valeurs trouvées ci-dessus pour z' et -z", il est certain que les deux radicaux doivent alors être affectés du même signe. Observons néanmoins que cet angle DOiy pourra encore être aigu ou obtus, suivant le signe du numérateur aa^ + bb' + i.

Quant à la valeur de sin (D, D'), il faut toujours la prendre positivement , parce que , sous cette forme , elle convient aux quatre angles supplémentaires deux à deux 5 et que d'ailleurs il est impossible de distinguer des angles négatifs dans les trois dimensions de l'espace.

34. On peut aussi exprimer l'angle que font entre elles les deux droites OD et OB', en fonction des angles que forme chacune d'elles avec les axes coordonnés.

Fio. 6. Soient en effet DOX = a, DOY = 6, D0Z = 7, et a , 6', 7', les angles analogues pour la droite OD'; nous parviendrons , comme au n^ 32 , à la relation

cos(D, iy) = a:'x''-h^'^"-Hz'«'';

mais, d'après la remarque faite au n^ 29, et attendu qu'ici on a OM' = i = OM'', les valeurs des coordonnées

seront