PROBLKMES SUR LES LIGNES DROITES
x'=:OM'.cosa =icosa, y* =:cos6, z' =COS7, j:" = OM".cosa'= cosa', ^''z=cos6', z'' = cos7',
les(pielles substituées dans Téquation précédente, fourniront pour Fexpression demandée ,
(il) cos(D, ly) = cosacosa' -h cos6 cos6' -f- C0S7 C0S7';
ou bien , en employant la notation suivante , qui rappelle aux yeux la situation de chaque angle ,
(12) cos (D, D' ) = cos (D, X) cos (D', x) + cos (D, y) ces (D', j^)
-hcos (D, z) cos (D', z).
35. H est aisé de déduire de ce qui précède , la condirtion pour que les droites soient perpendiculaires Tune' à l'autre; il faut alors et il suffit que cos(D, D') = o*, ce qui, d'après les formules (10) et (11), entraîne l'une ou l'autre des relations suivantes :
(i3) aa' + i^'-f- I =0,
(i4) cos a cos a ' -h cos 6 cos 6 ' -h cos 7 cos 7 ' =r o ,
lesquelles conviennent aux droites primitivement données n** 32, auîssî bien qu'aux droites OD et OD' qui se coupent. Quant à ces dernières, on doit remarquer que la condition (i3) laisse encore la seconde droite en partie indéterminée, lors même que la première est complètement fixée par les valeurs de a et de & , puisqu'on n'a ici qu'une équation entre les deux coefficients a\ b' : et i^Bi devait être ainsi, parce que, dans l'espace, il existetine infinité de droites menées par le même point O perpendiculairement sur la droite OD.
Si l'on voulait exprimer aussi par la formule (10) que
^4 CHAPITEE II.
les droites sont parallèles , il faudrait poser cos (D, 1^)= i ? ce qui conduirait à l'équation
(a — a'Y -hib — bj -+■ (ab' — a'b)' = a,
laquelle ne peut être satisfaite qu'en posant a = a' et b =3 i'^ de sorte que l'on serait ramené aux conditions trouvées n^ 24».
DES PLANS ET DE LEUR COMBINAISON ENTRE EUX, CtC. 25
Des Plans ^ et de leur combinaison entre eux ou ai^ec
les droites.
36. Pour parvenir à l'équation du plan , nous regarderons cette surface comme le lieu des dii^erses positions que prend une droite mobile assujettie à glisser sur une droite fixe j en restant parallèle à une direction donnée^ et cette méthode aura l'avantage de nous tracer d'avance la marche à suivre pour exprimer analytiquement la génération des surfaces courbes.
Soient donc
, (i) x = az~irp, (2) 7 = ^2 4-^,
les équations de la droite fixe que Ton nomme la directrice^ représentons la ligne à laquelle la génératrice mobile doit rester constamment parallèle, par x=^az^ yz=ib'z'^ alors les équations de cette génératrice auront la forme
(3)' x=:a'z-^p', (4) y=zb'z-^q'',
et ici a\ b' seront des constantes données et invariables, tandis que p' qX q' varieront avec chaque position de la génératrice , mais non pas d'une manière tout à fait arbitraire ; car il faut encore exprimer que la droite mobile a , dans toutes ses positions, un point de commun a^^ec la directrice fixe j c'est-à-dire que les équations (i), (2),
a6 GHAPITHE III.
(3), (4) doivent être vérifiées par un même système de valeurs de x, y^ z. Or, puisque le nombre de ces équations surpasse d'une* unité celui des inconnues , cela ne pourra arriver qu'autant qu'il existera entre les coefficients une certaine relation qui s'obtient en éliminant les trois inconnues x, y^ £^ comme nous l'avons vu n^25, et qui est
(5) Pl=P = ^
C'est donc là une condition qu'il faut essentiellement joindre aux équations (3) et (4) pour que celles-ci représentent complètement la génératrice. Cela posé, en attribuant successivement à p' diverses valeurs arbitraires, /9'=i,2,7,...,et tirant de la relation (5) les valeurs correspondantes de q\ pour substituer les unes et les autres dans (3) et (4) , on obtiendrait successwement les équations déterminées de telle ou telle position particulière de la génératrice \ mais si , au lieu de fixer ainsi les valeurs àep' elq\ on élimine ces deux constantes entre les équations (3), (4), (5), V équation finale en (x, y^ z) contiendra alors à toutes les positions de la génératrice ^ puisqu'elle ne renfermera plus de traces des quantités p' elq^ dont les valeurs particulières pouvaient seules distinguer une génératrice d'une autre : par conséquent , le résultat de cette élimination sera l'équation de la surface plane, lieu de toutes ces génératrices. Or, en substituant dans (5) les valeurs de ;?' eiq' tirées de (3) et (4), on trouve
ou bien
(6) x(ô — ft') + j(a'--a)H-«(a6'--fta')-f-;i(*' — A)-h^(a~a') = o,
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résultat qui prouve que V équation éCun plan est toujours du premier degrés et renferme généralement les troîs variables , c'est-à-dire qu'elle est de la forme
Aj:4-Bj4-C«-hD = o.
37. Réciproquement, toute équation du premier degré j telle que
(7) Ajr-hBj4-Cz4-D = o,
appartient à .une surface plane. Pour le démontrer, cherchons d'abord la trace de la surface (7) quelle qu'elle soit, sur un des plans coordonnés, XZ par exemple*, et comme jrz=o exprime (n*' 7) la propriété caractéristique de ce plan, en combinant cette relation avec l'équation (7), nous voyons que cette trace est une droite PR représentée par ^'^' 7-
(8) x = o et Aar-+-C3-hD = o. (9)
Cela posé, imitons la marche suivie au n° H, et coupons la surface inconnue (7) par divers plans parallèles à XY, tels que z = a,jZ = a', ...: les*sections seront représentées par les équations simultanées
(10) a = a et Aa?-hBr-h(Ca -f-D) = o, (11) z = a' et A;F-hBj-f-(Ca'4-D) = o,
résultats dont la forme prouve (n®* 15, 17) que ces diverses sections sont des droites j toutes parallèles entre elles (n^24). Mais, en outre, il arrive ici que chacune a un point de commun a\fec la trace PR; car si, d'après la règle donnée au n° 2S, on combine ensemble les équations (8), (9), (10) et (11) pour en éliminer d'abord y
et ^ , on .parvient aux deux équations
Aj7-f-Ca-|-D = o, Ax + (Ca-hD) = o,
lesquelles s'accordent bien à donner pour x la même valeur. Or, comme il en serait évidemment de même en remplaçantes par a\ a",..., j'en conclus que la surface (7) est le lieu d'une infinité de droites parallèles , qui s^ appuient toutes sur une autre droite fixe PR ;. d'où il suit que cette surface est un plan (n^ 36).
Remarquons ici que ce mode de démonstration resterait applicable à l'équation (7), quand bien même un ou deux des coefficients A, B, C, seraient nuls , pourvu qu'alors on choisit conyenablement la trace qui sert de directrice fixe, et la direction des plans sécants^ mais d'ailleurs, nous savons déjà (n°* 10 et 7) qu'une équation du premier degré , de la forme particulière
Bj-t-Cz-|-D = o ou C«-hD = o,
représente un plan qui se trouve parallèle à un ou à deux des axes coordonnés : ainsi la réciproque annoncée est vraie dans tous les cas.
38. Il est très-important d'observer aussi que les calculs et les raisonnements employés n°* 36 et 37 restent les mêmes , et sans aucune modification , dans le cas des axes obliques^ par conséquent l'équation du plan rapporté à de tels axes est toujours du premier degré, et la réciproque a également lieu. Il suit dé là que toutes les formules et les conséquences auxquelles nous parviendrons dans les n°« 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, S4 et 60, seront également vraies pour des axes coordonnés obliques.
39. Lorsque l'équation d'un plan (7) Ax-|-B^-|-Cz 4- D = o est donnée, on obtient ses traces en combinant-
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son équation tour à tour avec une des suivantes, a: = o, jr = o, z = Oy qui caractérisent (n^ 7) chacun des trois plans coordonnés ; ainsi la trace PQ sur le plan XY sera donnée par les devix équations simultanées
z = o, Aj:4-Bj-f-D = o;
la trace PR sur le plan XZ , par
j^ = o , Ax 4- Cz -h- D = o ;
et enfin celle qui se trouve sur YZ, savoir QR, par
ar=o, ByH-C8-4-D=:o.
40. Pour avoir le point où le plan coupe l'axe OX , on Fie. 7. posera à la fois les conditions j^ = o et z = o , qui caractérisent évidemment cet axe -, et en substituant dans (7),
on obtiendra , pour les coordonnées de ce point P,
jr = o, z = o, j:=:-- — = 0P; on trouverait de même pour les points Q et R,
xz=o, r = o, z== — — = 0R. ^
Si l'on pose ces trois distances OP = p^ OQ = q^ OR = r, et qu'on les introduise dans l'équation (7) à la place de A , B, C 5 l'équation du plan prendra cette forme très-symétrique :
