Observons encore ici , i® que si le plan proposé

3o CHAPITRE III.

devait être parallèle à un des axes, OX par exemple, il faudrait que la valeur trouvée ci-dessus pour la distance OP devint infinie , ce qui entraînerait la condition A = o 5 par conséquent Téquation (7) se réduirait, pour un tel plan, à

Br-+-'C3-t-D=:o.

2°. Que si le plan était parallèle à la fois aux deux axes OX et OY, ou bien parallèle au plan XY, les valeurs précédentes de OP et OQ devraient être toutes deux infinies, d'où A = o et B = o : donc l'équation (7) se réduirait, pour un tel plan, à

G5-4-D = o ou z-ziih.

Ces deux résultats avaient déjà été obtenus dans les n*'* 7 et 10; mais comme il importe beaucoup de familiariser le lecteur avec ces formes particulières de l'équation d'un plan, nous avons voulu les retrouver ici, afin qu'on se rappelât bien que , quand un plan est parallèle à vis ou DEUX des axes coordonnés ^ son équation ne renferme plus LA VARIABLE OU LES VARIABLES qui Se rapportent à <:es axes,

42. Lorsqu'au lieu de donner immédiatement l'équation d'un plan, on assigne certaines conditions auxquelles cette surface doit satisfaire , il faut alors calculer les coefficients qui entrent dans l'équation générale , par quelqu'un des moyens que nous allons exposer en parcourant les diverses conditions que peut remplir un plan.

D'abord , si l'on veut que le plan passe par trois points dont les coordonnées sont connues , et désignées par x\ j-', z', x'\ y\ z\ :r", . . . , l'équation générale

(i) Ar-4-Br-4-C8-H-D=?o

t>ES PIANS ET DE LEUR COMBINAISON ENTRE feUX, CtC. 3l

devra être vérifiée en substituant aux variables les coordonnées de chaque point , ce qui donnera les relations

(2) Âux' -HBj' 4-Cz' -4-D=:o,

(3) Ax"-hBr" +Gs"+Pr=o,

(4) Ax''-+'Bx"''hCz"'-\-B = o,

dans lesquelles il n'y a réellement que trois inconnues, qui sont les rapports fr ? *f: ? 7: ? on pourra donc les calculer aisément, et les substituer dans (i), qui ne renferme que ces mêmes rapports. Voici le résultat, en prenant l'arbitraire D pour le dénominateur commun ,

D = j?' j V— a/z'y '"-f- z^x'y '"— 7 VV+^ V'o: "— z> "x'^, B= — orV-i^ jrV — z'x" -{- x''z"' — z''x" -hz'x'%

c =— ^'j"+ xy'" — x'y ■+- r'^" — j'^" 4-r'v.

43. Remarquons que si Ton assignait seulement un point par lequel dût passer le plan, on n'aurait alors que la condition (2), qui pourrait du moins servir à éliminer de (i) la constante D; et l'équation du plan prendrait la forme suivante, très-fréquemment employée,

A(a: — a/)+B(jr — 7') + G(z — z')=:o,

dans laquelle il ne resterait véritablement que deux inconnues.

44. Conditions pour quune droite soit située dans un plan. Représentons les équations de ces lieux géométriques par

(i) Aj:4-Bj -|-C3-hD = o,

(2) xz=az--\-p et y ':=zhz'^q, (3)

Si la droite est tout entière dans le plan , il faut que, pour

un ifuelconque de ses points, et par conséquent en lais-^ sant z indéterminé, les valeurs de a: et ^ tirées de (2) et (3) satisfassent à Téquation du plan ; or, en substituant dans (1)5 il vient 1

(Afl 4- B^ 4- C) z H- A/? 4- By -h D = o ;

et puisque cette équation doit se vérifier pour toute valeur de -2 j il faut que l'on ait à la fois

(4) Aû-hB^+C=:o, (5) A/?-+-B^ + D = o:

telles sont les conditions demandées. Par suite, il serait facile d'obtenir V équation d^un plan assujetti à passer par la droite (2)et (3), et par un point donné (x\ y •>^)h car on aurait à joindre aux conditions (4) et (5) la relation

kx' -h Bj' + Cz' -H D = o,

ce qui suffirait pour calculer les valeurs de trois des coefficients A, B, C, D, en fonction du quatrième, qui disparaîtrait ensuite, comme se trouvant facteur commun.

45'. Relation entre un plan et une droite qui sont parallèles entre eux. Conservons les notations précédentes , et exprimons que le point de rencontre du plan avec la droite est à une distance infinie. Pour ce point commiin , les variables doivent avoir les mêmes valeurs dans les équations (i), (2), (3) 5 substituons donc comme ci-dessus,

et il viendra

— A jg -h Bgr 4- D

^ ~ "~ Afl 4- Bô 4- B ^

par conséquent la relation demandée est (6) A« 4- B^ 4- C = o,

qui coïncide avec la première des conditions trouvées au

DBS PLANS ET DE LEUH COMBINAISON ENTRE EUX, etC. 33

ïmméro ^i^cédent. D'après cela, on pourrd^ mener par une droite donnée un plan parallèle à une autre droite^ car on devra joindre aux relations (4) et (5) la condition (6) dans laquelle on remplacera aet b par les constantes a' et 6' de la seconde droite.

46. Relations entre un plan et une droite qui sont perpendiculaires entre eux. Sous le point de vue géométrique, ces relations consistent en ce que les traces PQ, Fig. 7. PR , QR , du plan donné , sont respectivement perpendiculaires aux projections <îorrespondantes CC, BB', AA', de la droite en question, pourvu toutefois qu'il s'agisse de projections orthogonales ^ car le théorème n'est pas vrai quand les axes sont obliques. En effet, le pkn qui projette la droite suivant CC est, par sa définition, perpendiculaire à XY; il l'est aussi au plan PQR, puisqu'il passe par la droite dans l'espace : donc ce plan projetant est perpendiculaire sur l'intersection PQ des deux autres 5 d'où il suit que cette trace PQ coupe à angle droit la ligne ce qui est dans le plan projetant. On en dirait autant des traces et des projections sur les autres plans coordonnés^ mais j'ajoute que la réciproque a lieu : si deux des projections j BB' et A A', par exemple, sont perpen^ diculaires aux traces PR et QR , la droite dans V espace est perpendiculaire au plan. Remarquons en effet que les plans projetants qui passent par BB' et AA', sont nécessairement perpendiculaires l'un à PR, l'autre à QR, et par suite ils le sont au plan PQR qui contient ces lignes; donc l'intersection de ces deux plans projetants, qui n'est autre cliose que la droite dans l'espace , se trouvera aussi perpendiculaire au plan PQR.

Toutefois, pour que cette réciproque soit certaine, quand on se borne à exiger la perpendicularité entre deux seules projections et les traces correspondantes, il

faut que les deux plans projetants que Ton emploie soient distincts l'un de l'autre, sans quoi lès deux projections dont on se sert laisseraient la droite indéterminée. Ainsi, par exemple , quand les deux traces PR et QR sei'ont parallèles à OZ, les projections BB' et A A' pourront être perpendiculaires sur OZ , sans que la droite dans l'espace se trouve perpendiculaire au plan donné, parce qu'alors les deux plans projetants sont évidemment confondus et ne suffisent plus pour définir la droite; mais, dans ce cas , il n'y aura qu'à vérifier si la troisième projection CC est aussi perpendiculaire sur la trace PQ.

47. Exprimons maintenant ces conditions par l'analyse, en conservant les notations déjà employées au n^ 44. La trace du plan donné sur XZ est représentée par

y = o et Aar-|-C3 + D = o, ou x = — -z — -;

elle doit être perpendiculaire à la projection correspondante , x = az +p : donc on doit avoir la relation

La trace sur YZ est donnée par

r. r. ^ CD

je = o et B/ + Cz -H D = o, ou ^ = — - a — ~ ;

et pour qu'elle soit perpendiculaire à la projection yz=:bz + {/^ il faut que l'on ait

Ainsi les conditions (y) et (8) sont nécessaires et siiffisantés pour exprimer que la droite est perpendiculaire au plan.

DES PLANS ET DE LEUR COMBINAISON ENTRE EUX, CtC. 35

48. Toutefois la dernière conséquence^ soufire une exception dans le cas particulier cité au n*^ 46, pour lequel on a C = o^ car les formules 7 et 8, donneraient alors a = €o et è =: 00 , ce qui réduirait Jes équations (2) et (3) de la droite à une seule z = h^ laquelle est insuffisante pour définir cette ligne. Dans ce cas, il faudra employer la troisième projection, qui sera de la forme

y = mx -^1i , etjposer /w = -,

afin d'exprimer que cette projection est aussi perpendiculaire à la trace du plan proposé sur XY. Ainsi les conditions complètes de la perpendicularité entre la droite et le plan seraient

mais , à moins qu'on n'ait à opérer directement sur un exemple numérique pour lequel C = o , il suffira , dans les calculs généraux , d'employer les relations (7) et (8), parce qu'elles comprendront implicitement la relation (9),

attendu, que d'après le n^ il , on a. m = -.

49. Trouver la distance d'un point donné (x\ y\ z^ à un plan représenté par

(i) Ajr + Br-f-C2-+-D=:0.

Si du point donné nous menons une droite indéfinie perpendiculaire au plan, elle aura (n*^ 47) pour équations

et les coordonnées du pied de la droite sur le plan s'ob-

36 CfiAPITRE III.

tiendront en regardant les variables x^ y^ z comtne ayant les mêmes valeurs dans les équations (i), (2), (3). Mais , quand on en aura tiré les valeurs de ces coordonnées, il faudra les substituer dans la formule qui donne la distance de deux points ,

5=V^(x— x')=4-(/--r')'-^-(2-^')'• pa^ conséquent, il est plus avantageux de préparer les équations ci-dessus de manière qu'elles renferment les binômes x — x\ y — y\ z — z. C'est pourquoi nous écrirons l'équation (i) sous la forme

en posant, pour abréger, D'=Aj:'-h-Bj<''-t-Cz'-|-D5 et alors , en substituant dans (4) les valeurs de x — x' ^y — y , déduites de (2) et (3) , on trouvera ..

et par suite , la distance demandée sera

, Aj7'-+-B/'-f-Cz'4-D VA^-+-B=»-|-C^

Le radical qui entre dans cette expression comporte deux signes, dont il ne faudra jamais garder que celui qui rendra la fraction totale positive j attendu que toutes les fois qu'il s'agit de distances qui ne sont pas comptées parallèlement à une ligne fixe , il ne peut être question que de leurs valeurs absolues.

50. Lorsque le point donné est à l'origine des axes, il faut poser dans le résultat précédent x'=. o ,/'= 05 ^ '= o ^ et l'on trouve ainsi , pour la distance (fun plan à Vori-

DIS PLANS ET DE LEUR COMBINAISON ENTRE EUX, etC. S7

gine des coordonnées^

formule où il faudra encore affecter le radical du même signe que D.

SI . Calculer la plus courte distance d^un point

(jc', j^' , z')à une droite représentée par

(i) x=zaz-^py (2) ^=:^z-h9.

Pour y parvenir, on pourrait mener par le point donné un plan perpendiculaire à la droite, et dont Féquation serait , d'après les relations trouvées n**^ 43 et 47 ,

(3) fl(a? — jr')-hè(j-—r ')■+■« — «' = o;

puis, en combinant les équations (i), (a), (3), on en tirerait les valeurs des coordonnées x, j^, z , du point où le plan coupe la droite. Or , la ligne qui joindra ce dernier point avec celui qui a pour coordonnées a:',j^', z\ mesure évidemment la distance demandée^ donc, en substituant dans la formule générale

on obtiendra cette distance , qui , après diverses réductions , pourra s'écrire ainsi :

où Ton a posé, pour abréger,