Mais on arrive à ce résultat d'une manière plus
38 GHAPtTHE Itl.
Fie. 7. simple et plus élégante, en imaginant le triangle M'MT formé par la droite donnée M T, la perpendiculaire M'M abaissée du point en question M', et la ligne qui joint IS/V avec la trace T de la droite sur le plan XY, trace qui a pour coordonnées ^ = 0, xr=tp^ y-irzq^ En eflfet, ce triangle rectangle donne
MM'= VTM''--fM':
or on a évidemment
et
TM=TM'c©s(MTM')
=rTM'(cOSa COSa' -h COSê COSê' H- COS7COS7'),
en appelant a, 6, y les angles de TM avec les axes, et a', 6', y' ceux de TM' (n« 34). D'ailleurs on sait (n^ 29) que
c«5« =-^i^» cos^' = '^-;î^' cos7' =
TM' ' TM' ' ' "TM'''
donc il vient
TM = [x' — p) cosa 4- (/ ' — q) cos€ -t- 2' COS7;
et en substituant dans la valeur de MM', on obtiendra la distance demandée sous la forme
MM'=v^(x'— rt'-*-(^'— ^)"^-«'*~[(J^'— ;»)co8aH-(r'— f)oo66-H«'eo»73*,
laquelle ccnncidera avec l'expression trouvée pour J", si l'on veut bien y mettre les valeurs connues
CQSûez= COSo=r
v/û'-+-^^-+-i ' si a ' 4-.^ '-f-
DES PLANS ET DE LEUR.' GOXBIffAISON ENTRE EUX, CtC. 3q
53. Trouver V angle d'une droite etdun plan, représentés par les équations
(D) X=:az-hp, yzz=:bz-{-q^
(P) Aa?-|-Br-f-Gz4-D = o.
Cette inclinaison serait une quantité indéterminée, si l'on ne convenait pas d'entendre par là F angle compris entre la droite (D) et sa projection orthogonale sur le plan P ^ et ce choix est fondé sur ce que cet ^ngle est le plus petit de tous ceux que forme la droite (D) avec les diverses lignes tracées par son pied dans le plan , ainsi qu'on le démontre aisément par la Géométrie. Il résulte de cette définition que, si d'un point de la droite (D) on abaisse sur le plan une normale (N), l'axtgle de ces deux dernières droites sera le complément de celui que l'on cherche. Or, quel que spit le point d'où l'on mène la normale , ses équations auront la forme
(N) xz=:a'z-hp' 9 X^b'^-^qy
avec les relations a'== -, 6' =- : çt comme, d'après le
n^ 32 , on a , pour déterminer l'angle des deux droites (D) t et(N),
aa^ -\-bb' -h i
on en conclura, par la substitution des valeurs précédentes de a' et fe', le sinus de l'angle du plan avec la droite, savoir :
/n p^ Aa + B^ + C
sm (D, P) = ■ . . ' .^^ . — ^ , , .
V AM-BM-CVû^» -+- ^' -h I 54. Maintenant comparons les plans enti^ eux , et
4o GHAPITKS va.
cherchons d'abord les conditions qui expriment que deuxplans sont parallèles . Soient
(P) Ax +B/ -f-Cz 4-D =o,
(P') A'j?-4-B>-hC'z-f-D'=i:o,
les équations de ces plans. Il faudra et il suffira que leurs tiaces sur chacun des plans coordonnés se trouvent res«pectivement parallèles ; si donc on pose dans les équations (P) et (P') , successivement a: = o , j^ = o , >^ == o , on trour vera les conditions
lesquelles se réduisent à ces deux-ci,
c'est-à-dire que les coefficients des termes variables seuls doiuent être respectii^ement proportionnels àans les deux équations; et même on pourra toujours rendre ces trois coefficients respectivement égaux j en divisant le terme constant D' par Je facteur commun qui distinguera A', B', C',deA,B,C.
FiG. 8. 55. Trouver Vangle de deux plans donnés par les équations ci-dessus (P) et (P'}. Si Ton conçoit la figure 8 exécutée sur un plan de projection perpendiculaire aux deux plans proposés, ceux-ci y seront représentés par leurs traces A P, AP'; et Tangle PAP' mesurera évidemment Finclinaison de ces plans. Mais si on leur mène deux normales par le point A, on reconnaîtra aisément que l'angle NAN'== PAP'; d'ailleurs, comme ces droites prolongées indéfiniment forment , aussi bien que les plans , quatre angles supplémentaires deux adieux , on peut dire
SES PLANS ET DE LEOH COMBINAISON ENTRE EUX, etC. ^l
généralement que ces deux normales comprennent entre elles les mêmes angles que les plans en question ^ et cela sera vrai encore de deux autres droites parallèles à AN , AN\ et tracées par tel point de l'espace que l'on voudra» Cela posé, en menant par l'origine deux perpendiculaires aux plans (P) et (P'), elles auront pour équations
(N) xrmazy y ■=. bzxvec les conditions a =;;; , ^ = t;^
et les angles de ces deux normales seront déterminés (n^ 32) par la formule
cosfN, NM= , , , ;
donc, en substituant ici les valeurs de a, a', i, b\ on aura pour les angles des deux plans
AA'-4-BB'-j-CC'
cos(P, P') =
± n/a^ -f- B^ -h c Va'm- B '^ -h e^» *
formule où le double signe qui affecte le second membre répond aux angles aigus et obtus que comprennent les deux plans indéfinis.
56. Pour calculer les angles que fait un plan (P) as^ec les plans coordonnés^ il suflSt d'exprimer, dans la formule précédente, que le ,second plan (P'), qui était quelconque, vient à coïncider avec im de ceux-ci. Or, pour que le plan (P' ) devienne le plan XY, il faut évidemment poser dans son équation A = o, B = oetD = o; donc alors on a pour l'angle du plan (P) avec le plan XY,
cosfP, xy)= ; ■ nrcos(N. 2) :
4^ CHAPITRE Ul.
OU trouverait d'ujae manière semhiable
CQs(P, aw)= =i=:cQs(N, r),
cos (P, yz) = ■ — = cos(N , x).
Ces trois angles du plan (P) avec les pians coordonnés , sont évidemment les mêmes que ceux de la normale (N) avec les trois axes ; aussi , en faisant la somme de leurs carrés, on trouve, comme au n° 31, la relation
cos» ( p, ^r) -h cos' ( p, arz) -h cos' ( P, /z) = I .
57. Les angles d'un plan (P) avec les plans coordonnés laissent toujours une ambiguité qui ne peut disparaître qu'en substituant au plan, supposé d'abord transporté parallèlement à lui-même jusqu'à l'origine des axes , une normale menée par ce point et prolongée vers une seule des faces du plan. Les angles de cette normale avec les axes positifs sont alors complètement déterminés , puisque, dans les formules du n** 56, il faudra prendre le radical de même signe que le coefficient C , lorsque la normale en question formera un angle aigu avec OZ , et de signe contraire j quand elle fera cet angle obtus. Quant à ■ la manière de définir la face du plan sur laquelle on veut élever cette normale , c'est dans cbaque problème ^n particulier qu'il en faut chercher les moyens : par exemple , dans les questions de Mécanique , où il existe des forces qui tendent à faire tourner leur rayon vecteur autour de l'origine , on peut convenir que la normale sera élevée de telle sorte que le spectateur placé sur cette droite , et les pieds sur le plan, voie le mouvement de rotation s'effectuer toujours de sa gauche vers sa droite. On pour-
DBS PLANS BT DE LBUR GOHBlMAISON ENTRE EUX, etC. 4^
rait adopter l'hypothèse contraire 5 mais la première oftre l'avantage que , quand la normale ainsi définie formera des angles aigus avec les demi-axes positifs disposés suivant l'usage habituel, la projection du rayon vecteur sur les plans coordonnés 3e mouvra dans l'ordre alphabétique des lettres, savoir : de OX vers OY, de OY vers OZ, et de OZ vers OX.
De même, pour mesurer sans anibiguité l'angle de deux plans (P) et (P'), il faudra prendre l'angle compris entre deux normales dirigées par rapport à chacun de ces plans, comme nous venons de l'iudiquer pour un seul.
58. L'équation du plan prend une forme remarquable , et utile à employer quelquefois, lorsqu'on y introduit la perpendiculaire â abaissée de l'origine sur ce plan , et les angles i, /x, v, que fait cette normale finie aisec les demiaxes positifs OX, OY, OZ. Pour abr^er la discussion, admettons que, dans l'équation
(P) Aj: -h Bx -h C2 -h D = o,
on ait eu soin, avant tout, de rendre négatif dans le premier membre le terme D 5 alors la perpendiculaire abaissée de l'origine (n° 50) devra être écrite ainsi
— V^A» -4- B^ -H C^ ' et les angles A, fi^ y seront donnés (n^ 56) par les formules
-h v^A^ + B'-hC» H- VA* -h B» -h C
ces V = ;
car, d'après la préparation effectuée sur le terme D, je dis qu'on doit prendre ici tous les radicaux ^o^ihVement. En effet, le plan proposé coupe les axes coordonnés à des distances
lesquelles auront évidemment les mêmes signes que A, B, C : or, quand la distance x' sera positive, il est facile d'apercevoir que l'angle X de la normale finie â se trouvera aigu, et qu'ainsi cos X devra être positif; mais puisque alors A > o, il faut donc dans l'expression de ce cosinus prendre le radical avec le signe +. Si au contraire la distance x' était négative , l'angle X serait nécessairement obtus 5 et comme dans ce cas , on aurait A <o , il faudrait encore prendre le radical positivement. La même discussion s'appHquant aux autres angles, il en résulte que les cosinus doivent être écrits comme nous l'avons fait ci-dessus •, et alors on en conclut
A=:--r— COSX, B=: — 5^C0S|X, C := ^ COSv,
d'où, en substituant dans l'équation (P), il vient pour l'équation du plan ,
X cos X -h / cos p -h Z COSv =:r -h <î.
Sous cette forme, le second membre â sera toujours une quantité essentiellement positive, et les cosinus seuls pourront avoir des signes divers , suivant la position du plan , ou plutôt de la normale â relativement aux demiaxes des coordonnées positives.
59, Condition pour que deux plans soient perpendiculaires entre eux. Dans ce cas, il faut et il suffit que la
UfeS PLANS KT DE LKUR COMBINAISON ENTRE EUX, CtC. /^5
valeur trouvée n** 55, pour le cosinus de Fangle des deux plans , devienne htdle : donc on aUrsi la relation
AA'^-hBB'-f-CC' = o.
60. Déterminer V intersection de deux plans représen»tés par les équations
(P) Ax -h Bj H- Cz -f- D = o,
On pourrait, d'après les réflexions faites au n® 13, àe contenter de dire que la droite demandée est suffisamment déterminée par le système des équations (P) et (P') prises simultanément, c'est-à-dire en y regardant x^ y^ ^, comme recevant à la fois les mêmes valeurs. En effet, sous ce point de vue , il ne reste plus qu'une de ces variables qui puisse être prise arbitrairement \ de sorte que si Ton pose tour à tour ^ = 1,2, 3. ..9. ..et que l'on calcule d'après les équations (P) et (P'), les valeurs correspondantes de x et dey, on déterminera autant de points que l'on voudra de l'intersection des deux plans. Mais si l'on désire de connaître les projections de cette droite, on se rappellera (n°*3et 17) que les variables a: et ^, par exemiple, représentent à la fois les coordonnées d'un point de l'intersection dans l'espace , et celles de la projection sur le planXZ : donc l'équation de cette projection s'obtiendra en éliminant y entre (P) et (P)- Le même raisonnement montre qu'il suffira d'éliminer a: pour avoir la projection sur YZ5 de sorte que, sans développer ici les calculs, on arrivera évidemment à deux équations de la forme
(l) J7 = az-h/?, (2) y=Lhz-\rq>
Si ces dernières sont plus commodes pour se repré-
4^6 GHAPItRB m.
senter la position de rintersection, c'est qu'elles appar* tiennent (n*^ 15) à deux plans passant par cette droite, et qui ont cela de particulier , qu'ils se trouvent perpendiculaires Fun à XZ, l'autre à YZ5 mais il n'en faut pas moins rester convaincu que les équations (P) et (P') sous leur forme actuelle, et prises simultanément, déterminent déjà la droite demandée aussi complètement que (i) et (2).
61. Par des raisons toutes semblables, on sentira que la courbe intersection de deux surfaces représentées par
F (ar, y, z) =r o, F' (:r, y, z) = o,
€st aussi complètement déterminée par le système de ces deux équations, prises simultanément s que par les équations de ses projections
déduites des précédentes, en éliminant tour à tour j^ et x^ et d'ailleurs ces dernières représentent aussi deux surfaces j, savoir : des cylindres parallèles à OY et à OX (n** 8)*
Nous terminerons ce chapitre par un proUème qui nous fournira l'occasion d'appliquer plusieurs des formules obtenues jusqu'ici.
62. Trou\fer la grandeur et la position de la plus courte distance de deux droites , que l'on suppose n'être pas dans un même plan, et avoir pour équations
(L) x=zaz +77, y = bz H- ^,
(L') j?=:a'zH-/?', y = b'z-^q\
Pour résoudre la première partie de ce problème , con- Tîevons par la droite (L) un plan (P) paraUèle à (L'), ce <[ui est toujours possible, puisqu'il suffirait de faire passer <îe plan par la première ligne et par une droite menée
DfeS PLANS &T DE LKUm 'COMBINAlSOlf BlITRB BUX, etC. 4?
d^im point de celle^i parallèlement à la seconde (mais , pour exprimer analytîquement ces conditions , nous emploierons tout à rheure un moyen plus simple). Imaginons aussi par la droite (L') un plan (P') parallèle à (L) : ces deux plans seront nécessairement parallèles entre eux , et leur distance mesurera évidemment la grandeur de la plus courte distance des deux droites proposées. (F^<yyez la Géométrie descriptwe, vP 47.)
Or le plan (P) aura une équation (jui, pour simplifier les calculs , pourra s'écrire
(P) A:c-hB7--i-z + D = o;
mais , puisqu'il est parallèle à la droite (L') et qu'il contient la droite (L), on aura (n°" 44 et 45) les conditions
(1) Aû'-hB^'-h i=:o,
(2) ka -h Bô +1 = 0,
dont les deux premières donnent
A = -r^ rr, B =
et la troisième déterminera D en y substituant ces valeurs. De même , le plan (P') aura pour équation
avec les conditions
(5) A'fl'+B'^'-f-i =0,
(6) A>'-4-B'g'+iy=:o;
et sans résoudre les équations (4) et (5), on doit voir, en
48 CHAPITRE m,
les comparant avec (a) et (i), qu'elles conduiroiit à A' = A, B' = B, comme on devait s'y attendre, puisque les plans (P) et (P') sont nécessairement parallèles : quant à la valeur de D', elle se tirera de (6).
Cela pose, abaissons de l'origine deux perpendiculaires â et â^ sur ces plans parallèles ; elles seront exprimées (n^ SO) par
et leur différence S' — â on d — â' mesurera l'intervalle des deux plans, ou bien la plus courte distance â" des droites proposées ; donc , en substituant ici les valeurs de D et D', tirées de (3) et (6), puis celles de A et B, il viendra
63. U est essentiel d'observer que , pour obtenir la véritable grandeur de d" dans tous les cas, il faut d'abord garder les numérateurs D et D' avec les signes qui les affecteront, puis prendre toujours leur différence analytique. En effet, comme les deux plans (P) et (P') coupent l'axe OZ à des distances ^= — D, z' ■=. — D', si les termes D etD' sont de même signe, ces plans parallèles se trouveront d'un même côté par rapport à l'origine des axes ; et , dans ce cas, leur distance est bien égale à la différence des grandeurs absolues des perpendiculaires d' et (î, c'est-à-dire qu'elle sera donnée par
VA' -f- B» H- 1 * Au contraire, lorsque D et D' sont de signes opposés ^
DES PLANS ET DE LEUR COMBINAISON ENTRE EUX, etC. ^q
Torigine des coordonnées est située entre les deux plans, et alors la véritable distance d" se trouve la somme des valeurs absolues des perpendiculaires dy â^] mais cette sonmie écpiivaut encore à la différence analytique
v/ÂT+FT'i
Donc, dans tous les cas, la règle énoncée ci-dessus est juste ^ et seulement, dans la valeur définitive de <î", il faudra rendre le résultat positif, en donnant au radical le même signe qu'aura le numérateur.
64. On peut, dans la formule (7), introduire Tangle que font entre elles les deux droites proposées , et les angles a^ë^y^a^ 6', y', qu'elles forment avec les axes. En effet, d'après la dernière formule du n** 32, la valeur de â" peut être écrite ainsi
sin . v/ânT^HM v^fl'» + ^ '' -f- 1
et si l'on y substitue les valeurs trouvées n** 30,
cosa , cos6 , cosa' ,. cosS'
fl = , 6 = , a' = ., 6'= -,
COS7 COS7 cosy' COS7'
on obtiendra
'ON •»// (P'^P') (<^®* ^ ^^^ y'— cos 6' co«y)-F(^— 9') (cos y cos «'— cos / cos a)
îp) Ù ; — — •
65. Quant à la seconde partie du problème, laquelle consiste à trouver la position de la ligne (L") sur laquelle se mesure la plus courte distance des droites proposées, il suflSt de remarquer que cette ligne (L"), devant être (G. D. n° 47) perpendiculaire en même temps à (L) cxk (L'), sera donnée par l'intersection de deux plans (F')
et (P**) menés l'un par (L), l'autre par (U), et tous les deux peï*peûdiculaires à (P). Or, ces liouveaux plans seront déterminés par les équations
A"'Ah- B'"B -h I :
A'y^- B'v +D^=ro.
Donc la droite cherchée (I/) se trouvera représentée aoalytiquement par le système des équations (P") et (P*), prises simultanément, lesquelles deviennent, après le calcul des coefficients ,
i^—p) [âs— a'-f-ô (flè'— a'b)] + {x—q) [b — b'-^a {a'b-^ab')]
(or— /?') la'-^a-^b'{a'b'-ah')]-^{y^q')[b'—b+a'[ab'~^a'b)-] == z [a' («'— û) + b' (^'—6)]. ^
66. Remarquons , en terminant , que si les deux droites (L) et (L') se coupaient, le numérateur de la formule (7) deviendrait nul, d'après la condition (5) du n° 25, et alors on trouverait (î" = o, ce à quoi l'on devait s'attendre ; mais si ces droites étaient parallèles , on aurait à" =^^ quoique leur distance soit partout constante. Ce dernier résultat tient à ce que les plans (P) et (P') deviennent alors indéterminés, comme on peut s'en convaincre en remontant aux conditions qui avaient servi à les définir, ou bien en remarquant que les équations (i) . et (2) du n® 62 se réduisent à une seule. Cependant, pour appliquer à ce cas la même marôhe, il suffirait d'exprimer que les plans (P) et (P') sont menés perpendiculaires au plan gui contiendrait tes deux lignes parallèles ^ mais il sera bien plus court de chercher la perpendiculaire abais-
DES PLANS ET DE LEUR COMBINAISON ENTRE EUX, etC. 5l
sée d'un point de (L') sur (L). Prenons, en effet, pour ce point la trace qui est donnée par ^ =o, x:=:p\ y =^', et la formule du n** 51 fournira, pour la distance des deux droites parallèles ,
ou bien
r» = (/?'~/?)^-4-(y''--9r)» — [(/?'— /?)cosa-h(^' — ^)cos6f;
résultat qui est facile à vérifier ou à obtenir directement, au moyen d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse serait la distance des traces des deux droites proposées.
Transformation des Coordonnées , et théorèmes sur les Projections deS droites et des surf aces planes ,
FiG. o ^'^' Lorsqu'une droite finie AB et une droite indéfinie OX se trouvent ou non dans un même plan, et que, des extrémités de la première , on abaisse sur l'autre des perpendiculaires AA' et BB' qui , en général , ne seront point parallèles, la partie interceptée A'B' se nomme la projection de AB, et ces deux droites ont entre elles une relation remarquable. En eflFet, si, par le point B, on conçoit un plan MBB' perpendiculaire à OX, et que l'on mène jusqu'à ce plan la ligne ÀC parallèle à OX, le triangle ACB sera rectangle en C, et l'angle BAC = a sera ce qu'on appelle l'angle de AB avec OX. Or, ce triangle donne AC = AB . cos a , ou bien A'B' == AB . cos a : ainsi la projection d'une droite sur une autre est égale à la droite primitive multipliée par le cosinus de V angle AIGU qu^ elles font entre elles ^
68. Le même théorème subsiste pour une surface plane projetée sur un plan quelconque \ mais commençons par Fie. lo. considérer un triangle ACB dont un des côtés BC est parallèle au plan sur lequel on veut projeter la figure : alors on pourra évidemment supposer que ce plan de projection passe par le côté BC lui-même, et représenter par A'BC la projection du triangle primitif. Cela posé, menons par la ligne AA' un plan sécant perpendiculaire à BC; il coupera les deux triangles suivant des droites AH et A'H
TBANSFORMATIOir DES COORDONNEES, etC. 53
qui en seront les hauteurs j et qui comprendront entre eUes un angle a égal à celui que forment les plans de ces triangles. Or, on a évidemment
ABC : A'BC :: ah : a'h :: i : cosa;
d'où Ton conclut
A'BC = ABC X cosa.
Si le triangle ABC n'a aucun de ses côtés parallèles au f,g. u plan de projection , concevez ce plan mené par Vangle inférieur B, et soit A'BC la projection de ABC. En prolongeant les lignes jusqu'à là rencontre du plan , vous formerez deux triangles ADB et CDB, pour lesquels le théorème est démontré \ ainsi vous aurez
A'PB =i ADB X cosa, C'DB = CDB X cosa;
donc, en soustrayant membre à membre, il viendra
encore
A'C'B = ACBX cosa.
69. Maintenant, soient P un polygone ^Za/i^ et P^ s£( projection sur un plan fixe. Si Ton décompose le premier en triangles Ti, T^, Ts, ... dont les projections soient T'i, T'j, T's, . . . , le polygone P sera la somme des uns , et P' la somme des autres^ mais on aura, pour chacun d^ ces triangles,
T; =:T|C08a, T; =:T,Cô8a. ..;
donc , en ajoutant membre à membre , il viendra
P' = Pcosa,
formule qui démontre que la projection d'une aire plune sur un, pleut quelconque est égale à Faire primitive mul" tipliée par le cosinus de Vangle aigu que forment entre eux les deux plans.
54 CHAPITaS IT.
70. Il est d'ailleurs facile d'étendre , par la méthode des làniieSy la môme propoaition au cas d'une aà^e plane S terminée par une ligne courbe ou mixte; car, en y in* scrivant un polygone P, et désignant par S' e( P' les projections de ces deux surfaces sur le plan fixe, on voit bien qu'à mesure qu'on multipliera les côtés du polygone, les deux quantités constantes S' et S. cos a seront les limites des deux quantités varia^Içs P' et P, cos 0t\0Vy ces dernières étant toujours égales entye elles d'api^ès U formule précédente , on en conclut que l^urs limites son^ aussi égales, ç'est-àHlire que S'^;3S, cos a.
Ainsi im cercle dqnj le rayon égale a, étant projeté sur un plai^,^ donpera m^ç ellipse dont l'aire sera E=7r a*, cos a 5 mais il est évident que les deux demiaxes de cette ellipse seront a et J=a cos a 5 donc l'aire devjen^r* E î?? ir a J : résultat coi^onne à ce que l'on sait d'ailleurs.
71. Si l'on projette la surface plane P sur trois plans rectangulaires , avec lesquels ejle forme des angles désignés par a, 6, y, on aura, pouy les trois projections P', P", P** de cette surface,
P'=:;:PçQça, P"=?Pcos^^ P/' = Pcosy;
puis, en faiatttt la somme des carnés:, et en se xappdant (n** 56) que cos * a -|- cos' 6 -J- cos* 7= i , il vîendoa cette relation trèsrrema»|uafale :
72. Occupons-nous maintenant de la transformation des coordonnées rectilîgnes, et supposons qu'il s'agisse
Fie. la. d^ passar d^un sysiibme d'^aoces wei^angulaims OX, OY, OZ, à èm^^tème d'axes obliques OX', OYv OZ', qui ont la même origine que les premiers». Si d'^m point quelconque M de l'espace, nous menons les droites MP,
TRÂNSFO&MATIOIK DES COORDONNÉES, CtC. 55
MP', respectivement parallèles à OZ, OZ', ct.termiuécB aux points P, P', où elles rencontrent Tune le plan X Y, l'autre le plan X' Y'^ puis, si de ces pieds nous tirons PQ^ P'Q', parallèles à OY, OY', nous aurons powr lea coordonnées de M dans les deux systèmes ,
* =s:OQ, y =PQ, « =MP,
et la question consistera à trouver les valeurs des unes en fonction des autres. Pour cela , projetons la ligne brisée x' -^-y -^^ z' sur Taxe OX, en abaissant de chacun de ses angles les perpendiculaires Q' G, P'H, MQ: cette dernière étant nécessairement dans le plan MPQ , aboutira précisément à l'extrémité de Tabscisse jt:=:OQ, et Ton aura ainsi
(i) j: = OQ = OG -4- GH -4- HQ;
mais par le théorème du n° 67 , on obtient OG=:ic'cos(ar',a?), Ga=r jr' cos(^', or), HQ = a' cos (z% x),
en désignant toujours par ces notations et autres semblables, les angles compris entre deux demi*axes positifs. Donc, en substituant, il viendra
(2) X =: x' C05 (o:', :c) -h :r ' cos ( JT '> -îp) -+- «' cos (z', x),
A la vérité, la construction paraît supposer qubç les axes OX', OY', OZ', forment toiis des angles aigis^ a^ec OX5 cependant, si l'un d'entre eux, par exemple OY', form^^t un angLe obtus, alors d^^ous U £igtire, qup Toi^conr struira aisément, le point H tomberait àgaucbe ide G., et l'on aurait, au lieu de (i), cette écjuation
(3) .r=:OG — GH + HQ, avec laquelle s'accorde encore l'équation générale (2), puis-
56 CHAPITRK IV.
que, d'après l'hypothèse Y'OX > 90°, le tenne ycos(jr\x) sera aussi négatif, et toujours égal numériquement à la projection GHde l'ordonnée P'Q'=^'.
D'un autre coté, si, en laissant l'angle Y'OX aigu, il arrivait que le point M eut son oi^onnéej^' négative, le point H tomberait aussi à gauche de G , et l'équation (3) remplacerait encore l'équation (i)^ ce qui prouve que„ pour rendre la formule (2) applicable à tous les cas, il faut tenir compte des signes des coordonnées et des signes des cosinus j en rapportant toujours ces cosinus aux angles compris e/ifre Zej demi-axes positifs. D'aiUeurs, en projetant la même ligne brisée x'+y+ z ' sur OY et sur OZ , on aurait nécessairement des résultats semblables : donc ou peut dire que chaque coordonnée rectangulaire est égale à la somme algébrique des projections, des trois nouv^elles coordonnées sur chacun des anciens axes , et poser les trois formules générales qui suivent :
ix = x' C08 (x', x^-^y' ços {^y ', x) -H *' cos («', x) = <ix' -^rhy' -¥- cs\ y=^x' cos (x',^) -^y ' cos {y ', y)-^z' cos ^M\y) = a'x' -h l'y' -H cV, « = x' co^ (x'j g) H-jr ' co» (jr ', t) -h s' cos («', f) = «•:?' H- Air ' -♦- <?"«' .
Toutefois il faut bien remarquer que les neuf constantes qui entrent dans ces formules ne peuvent pas toutes recevoir des valeurs arbitraires. En effet, a, a, a", par exemple, désignant les cosinus des angles que forme une même droite OX' avec trois axes rectangulaires OX, O Y, OZ , doivent être soumis à la condition citée n® 31 : il en arrive autant poiu* i, b\ b"^, et pour c, c', c'\ par conséquent il faudra toujours joindre aux formules (4) les trois relations suivantes :'
ce qui ne laissera que six constantes dont ou puisse disposer arbitrairement.
TRANSFORMATION DES COORDONNEES, CtC. 57
73. Passer d^un système d^ axes rectangulaires à un autre système d^axes aussi rectangulaires? Il suffira d^employer les formules précédentes (4) et (5)^ en y joignant de nouvelles conditions propres à eiqprimer que les axes OX', OY', OZ' sont aussi perpendiculaires entre eux. Or, d'après la formule (12) du n^ 34, on a dans tous le^ cas,
cos(x', x') =cos(x',a:)cos(jr',j:)-j-cos(j:', j)cos(j', jr)
-^r 005(0?', z) co&{y'j z)
cos(x', z') =iac'\-a*d -+-û'V", cos(^' z') =hc-Arb'c' -\-h"c\
Donc, pour exprimer que les angles des nouveaux axes sont droits, il est nécessaire et suffisant de poser les condi-^ tions
ah-^a'h' ^a"h'' ^Q,
(6) \ ac -ha'c' -î-fl"c" = o,
bc ^b'c' -hy'c'' =0;
de sorte que la solution du problème actuel est fournie par les formules (4) 9 (5) et (6) ^ mais, comme cela établit six relations entre les neuf constantes, il rCen restera plus que TROIS dont on puisse disposer arbitrairement pour modifier Téquation d'une surface donnée, tant que les axes resteront perpendiculaires entre eux.
74. Dans le cas de deux systèmes rectangulaires, on a quelquefois besoin de résoudre les formules (4) par rapport à x\y\ z'\ il suffit pour cela de les ajouter, i® après avoir multiplié la première par a , la deuxième par a\ et la troisième par a!'\ 2^ après les avoir multipliées respectivement par i, b\ h"\ 'i^ par c, c\ c"x car ces trois opérations
6o XHAPITEE IV.
77. Observons ici que le rayon vecteur OM est la diagonale d'un paralléUpipède oblique j qui aurait pour arêtes contiguës x\ y\ z'\ par conséquent, la formule (lo) fait connaître la longueur de la diagonale d'un tel solide , en fonction des arêtes et des angles compris entre ces dernières»
78, A présent, soient M' et M" deux points dont les. coordonnées obliques seraient x\ y\ z\ et a:*, y\ z^. Si, par les deux points donnés, on menait six plans respectivement parallèles aux plans coordonnés obliques , on formerait évidemment un parallélipipède dont la droite ])f ' M" serait la diagonale , et dont les trois arêtes contiguës égaleraient x'-^x"^ y' — y'\ z — ^". Par conséquent, d'après la remarque du n** 77 et la formule (lo) , on aura pour la distance demandée ,
-f.2(^' — j:")(z^ — «'')cos(x', z')
^^{r'-y'W -*'')cos(j',20.
FiG. i6. 79. Les formules propres à passer d^un système oblique à un autre système aussi oblique j sont très-rarement employées , à cause de leur complication \ cependant, pour compléter cette théorie , nous allons donner un moyei^ d'y parvenir , en n'employant que des projections orthogonales. Soit M (Jig' i6) un point de l'espace qui , rapporté tour à tour à deux systèmes d'axes obliques OX,^ OY, OZj et OX', OY', OZ', ait pour coordonnées
z = MP, X = PQj « = OQ , z' = MP', ^' = P'Q', x'=:OQ'.
Par l'origine commune O , élevons perpendiculairement
TRANSFORMATION DSS COORDONNEES, etC 6l
au plan XY une normale ON dirigée du même côté de ce plan gue le demi-^ixe positif 0Z« et projetons sur cette normale la ligne brisée x-^y+z : cette projection se réduira à celle de MP = >z, parce que les deux autres coordonnées sont dans le plan XY perpendiculaire à ON ; ainsi Ton aura (n° 67)
ON = zcos(N, z).
Maintenant, si nous projetons sur la même normale la ligne brisée x^-^y'+z' qui a les mêmes extrémités que la précédente , nous aurons encore
