B"* ^ AA', B'« — AA", B» — A'A

qui sont analogues kb*-^ ^ dwf le» courbes du seooqd de^^é , H qui serriraient à indiquer le genre des sections faites dans la surfoce (i) par les plans coordonnés js = o, ^ = o, or = o, ou par des plans parallèles à ceux-ci.

D^ajiUour» nous verrons p^ust loin (n^ tl7) que T^uation (16) a tour jours ses trois racines réelles; mais M. Caucï^ a donné de cette proposition une démonstration directe et ingénieuse. Pour cela, il écrit Péqua^ tion (i5) sons la forme

( 1 5; (i- A) [(5- A' ) (i- A")-B*] - CB'« (*- A' )-^W\s-A'' )+2BB'B" ] = o,

puis il remarque que, dans le cas particulier où Ton aurait B' = o et B'' = o, les trois racines seraient

dzW(A'-AT^4B«= j^î

alors^ revenant au cas général, il fait, dans (i5), les hypothèses suivantes :

5 = 00 qui donne ■+-,

Ainsi , puisque ces résultats sont alternativement positifs et négatifs > les

88 CHAPIT&K VI.

jours une racine réelle , à laquelle correspondront dans (i3) et (i4) des valeurs réelles ,pour met n\ par conséquent , dans toute suif ace du second degrés il existe au moins un plan principal^ et il peut y avoir au plus trois plans de ce genre, à moins qu'il n'y en ait une infinité , ce qui arriverait si la forme particulière de la surface rendait quelqu'une des [équations (lo), (11)9 (12) identique avec les autres; mais nous reviendrons plus tard (n^ 118) sur cette discussion.

110. Toutefois, il importe d'observer que la racine réelle de l'équation (16) prouve bien Vexistence d^un système de cordes principales ^ c'est-à-dire qui sont coupées à angle droit par leur plan diamétral ; mais elle n'apprend rien sur la position absolue de ce plan , <{ui pourrait se trouver à une distance infinie (n? 106) , et dans ce cas ne saurait être employé comme plan coordonné. C'est pourquoi nous allons appuyer les transformations suivantes , non sur le plan principal lui-même , mais sur le système de cordes principales dont la réalité est certaine.

111. Concevons que la surface générale 4> du n® 105 est rapportée à trois axes rectangulaires dont l'un, OZ,soit ^ns parallèle à ces cordes principales^ il faudra qu'alors les équations (10) , (i i), (12) se trouvent vérifiées par les

trois racines de Péquation sont toutes réelles, et généralement inégales. Pour manifester clairement le signe dn résultat de la substitution ^ = a , il faut remar<iuer que les quantités a — à! y a — A'', sont essentieUement positiyes, e^ peuvent êtse représentées par V et &'; d'^ailleurs, on a évidemment B' = (tf — A') (a — A") = &'**; de sorte que l'équation (i5) se réduit pour s=zay à la forn^e d'uç carré négatif

- ( B'*A* -+- B"* A* ± a B'B" hk).

Au contraire, quand ou pose i =: ft, les quantités b — A', b — A'', son^ de la forme — h*, — A', et Ton a encore B* = h* k* ; donc Féquatiou (iS) donne alors un résultat nécessairement positif. '

PLA?fS DIAMÉTRAUX. 89

hypothèses a = 90*^, 6 = 90**, et y = o, ou bien par les valeurs

ces a CCS €

COS7 CCS 7

Or, cela entraine évidemment les conditions B'=a etB= o •, d'où il résulte que, pour de tels axes, l'écjuation de la surface du second degré sera toujours débarrassée de deux des trois rectangles^ et prendra la forme

Par conséquent, tous les genres de surfaces du second ordre sont renfermés sans exception dans cette équation; mais elle peut encore être réduite. En effet, si , sans déplacer Taxe OZ , on fait tourner dans leur plan les axes OX et OY> en les laissant rectangulaires, par les formules connues

of = a:' cos» — y' sin»,

j = or' sin 0» -i- j' cos »,

on pourra faire disparidtre le rectangle xy^ puisqu'on arrive, comme dans Téquation à deux variables, à la condition

asino» cos« (A' -^ A) -j- 2B" (cos' w — sin^w) = o, d'où

Cette valeur, qui est réelle et toujours admissible, même quand A = A', prouve que l'équation (17) peut toujours être ramenée à la forme

(18) P*' Ht- py 4- P'V — Qx -^ Q> — q'z -h E = o,

laquelle renferme encore toutes les surfaces du second degré , et où P, P', P", Q , . . . peuvent avoir des signes et

^ CBÀFIVKE VI.

di^ valeurs numériques quelconques ; mais ici va o&mmeur cer la séparation des diverses classes.

112. Si les trois coefficients P, P', P" sont tous différents de zéro , il sera toujours possible de faire évanouir les premières puissances des variables^ car, en transportant les axes actuels parallèlement k eux-mêmes , par les formules a: = â:'-f-a, j^==^'-|-i j ^ = ^'-f-c, on trouve les conditions

2aP — Q = o, 2^>P' — Q' = o, 2cP" — Q" = o,

auxquelles on peut satisfaire par des valeurs^/ïie^ de a, 1 5 c , tant qu'aucun des coefficients P, P', P'' ne se trouve nul. Ainsi, dans ce cas, Téquation (i8) se ramènera à la forme

(19) P4?»-hPy-+.PV=:H,

qui comprend une première classe de surfaces du second degré.

113. Si un seul des trois coefficients des carrés se trouve nul, par exemple, Pâ=:o, et le coefficient corresfaa-

dant Q^ o , on ne pourra plus faire disparaître le terme

Qx^ puisque la valeur précédente de a serait infinie ; mais, en place, on pourra faire évanouir le terme constant, et réduire l'équation (18) i cette forme,

(20) Py-hPV=:Qa:,

qui présente une deuxième classe de surfaces du second ordre.

114. Lorsque , dans l'équation (18), on a à la fois P = o et Q=:o, sans qu'il manque aucun des deux autres carrée, alors cette équation se réduit d'elle-même à

Py -h P'V ^ Q'^ — Q'z -f- E = o j

PLANS DIAMÉTRAUX. 9I

et comme elle ne renferme que deux variables, elle appartient nécessairement (n*^ S)kun cyUndre perpendiculaire au plan des j-z, et dont la base sera évidemment une ellipse ou une hyperbole. Or, il sera toujours possible de rapporter cette courbe à &on centre, ou de ramener Téquation précédente à la forme

py (-P'V=:H-,

et puisque cette dernière se déduirait de Téquation (19) en y posant P = o, nous pourrons regaiiier les cylindres elliptiques ou hyperboliques, comme un genre particulier qui sera compris dans la première classe générale représentée par Féquation (19), en sous-entendant que, dans celle-ci , quelqu'un des coefficients peut être nul.

115. Enfin , si dans Téquation (i 8) on a en même temps P = et P'= o , il restera

p V — Qx — Q> — Q"3 H- E = o.

Or , cette surface étant coupée par des pla^s parallèles à XY, tels que z = A, z=A ',.••? donnera toujours des droites parallèles entre elles : donc c'est un cylindre parallèle au plan X Y , e% à hase paraboliqite ^ puisqu'en posan.t jr= o, on obtient une parabole. A la vérité , les arêtes de ce cylindre sont obliques sur cette base : mais , en coupant la surface par un plan ZOX^ perpendiculaire à ses génératrices , on aurait encore évidemment une parabole ; çX l'équation de ce cylindre rapportée au plan de cette section droite y se réduirait (n° 8) à celle de sa nouvelle base , que l'on sait pouvoir être ramenée à

Donc , puisque cette équation peut être déduite de (ao)

en y posant P'= o , ce genre particulier de surfaces rentre dans la seconde classe.

H6. Nous n'examinerons pas l'hypothèse où P, P' et P" seraient nuls à la fois ; car il est impossible (n** 82) que l'équation (17) s'abaisse au premier degré par des transformations de coordonnées.

117. D résulte de cette discussion, que toutes les surfaces du second ordre , avec leurs variétés , sont comprises dans les deux classes représentées par les équations à cooi^ données rectangulaire$

(19) Po?» H- py -^ p 'V = H ,

(20) py-i-pv = Q^. .

Les surfaces de la première classe ont évidemment un centre qui est l'origine des coordonnées actuelles (n^ 93), puisque la somme des exposants des variables est paire dans chaque terme , comme le degré de l'équation. Elles admettent aussi trois plans principaux- conjugués entré eux (n?^ 102 et 103), qui sont les plans coordonnés rectangulaire» auxquels elles se trouvent rapportées maintenant \ car chaque variable n'entre qu'à des puissances paires dans l'équation (19). D'où l'on doit conclure que , pour ces surfaces, l'équation (16) a ses trois racines réelles.

Quant aux surfaces de la seconde classe , elles n admettent point de centre j puisqu'en transportant l'origine (n** 94) on ne pourrait jamais faire disparaître lé terme Qor, dont le degré n'est pas de même parité que celui de l'équation (20). Parmi les plans coordonnés actuels, ceux des (x, y) et des (x, z) seulement sont diamétraux et principaux, attendu que les variables z et^ n'entrent chaciuie qu'à des puissances paires^; d'où L'on conclut qu'il existe ici au moins deux systèmes de cordes principales, qui sont parallèles à l'axe des z et à l'axe des j' ^ et par

PLANS UIAMÉTRAUX. ^3

suite , le troisièma système , déterminé avec les autres par réquation (i6), doit être aussi réel: mais le plan principal correspondant se trouve à une distance infinie, comme nous allons le voir.

D'ailleurs, par cette discussion, il est prouvé que, dans tous les cas, V équation (i6) du n® 109 a ses trois racines réelles.

118. Il suffirait suas doute, poar étudier les surfiMxa do second ordre, de le^ avoir renfermées toutes, avec leurs variétés^ dans les équations (t^) et (20); mais, si l'on veut compléter Ja discussion des cordes et des plans piindpaux, il n'y & qu'à re* prendre la méthode générale du n® 109, en l'ajpplûfuaht.à'l'é^ quation plus ûmple

(18) Pdr' + Py-l-P'V — Qar — Q'/ — Q''z+'E = o,

laquelle comprend sans exception toutes les surfaces du second ordre (n° lit). En cherchant d'abord le plan diamétral conjugué avec les cordes parallèles à la droite quelconque * ^^

, . cosa cos€

(21) x = mz = ,z; Y=znz = ,z.

CO87 COSy

on trouvera, par la formule générale '(5),'

(22) (2?* — Q)c0S«-+-(2P'r-~Q')C086-F(2P''*— Q")cOSy = 0.

Ensuite, poër que -ce plan ^ ta corde (sij^soieiit perpendiculaires entre eux, il' fatfdra (n® 411) sktisfidre' an' trois condir tions(*) i ...

P> C08d;COS7 =:: P'-tosa.côS7, '.

(23) ^ P'co«6.coS7 =rP*'cos6.cos'7,

P cosa.cosê =r P' cos€.cosa.

(*) Ordin«irom«Dt on exprime seulement que deux des projections de la droite sont perpendiculaires aux traces du plan^mais il faut alors, suivant la remarque faite au up 46 , éviter de prendre àfiu,x plans pro-

le$^elles ne peuvent êtiré vérifiées à la fois, quand P, P', P" sont inégaux , que par Tun des systèmes de valeurs qui sni^ vent : .

icos a = o avec cos 6 rz: o , OOSoe r=.0 . CPSY = Q| cos 6 =: O tO%i = Q-

Or ces valeurs prouvent, i® qu'il existe trois systèmes de cofdBS» prÔMipales, toujours réels ^ e\ perpçmdkuiHire* entre eux, puisqu'ils sa&t parallèles aux trois axes rectangulaires 0$.., .QY, OK^ qui ont ramené. Téqualion du second ordre 4 la fofme{iS)'f etqo*i\]n^jajamais pl^de trais. systèmes <i^,û€genlv^ ^l^ti^P Fy P/, iP/^ sont inégaux ;

2^. Que les plans principaux conjugué» ^y^ çe$ Iroi^ ^y^ tèmes de cordes , ,et déduits de l'équation (22), sont :

• (26)';'' ^ •aP'j*— Q' = o, ' ■ '

(27) . . 2Pa7 i — Q =0;

mais le dernier sera situé à une distance infinie x = -^, si

P = o, ce qui arrive dans les surfaces de la forme (20). Cela vient évidemment de ce que les cordçs par^èlç? à OX i;ie, rencontrent plus la surface qu'en un seul point, et se prolongent indéfiniment dans l'autre sens.

. 119.. Si Ton >avaî^ à la fois .P f?: p, m Q^,=? ff, çe.plan .prindr pal (27)^.perpeadioala1r^ii OX, se tr&ityemit.à.UQe dist^ce iii^ déterminée. En effet, la surface devient alors (n*» ti4) un .cylindre elliptiqup^<Hft hyp^rbôSque ;^ ^1 les <sordes parallèles à OX, ou bien à l'axe din: cylindre»: se pralongf»ai)t indéfiniment dans

jetants qui coïncident. Or, comme cette circonsuuce arrlTerait fréquemment ici , où les cordes c^erdbées vont se trouver '{Jarallèlès à un des axes cooi^ontiëfs , il est plus simple de' poser immédiatement \eA trois conditions, dont une sèri toujours comprise dans les deux autres.

PLA.NS DIANiTRAUX. (^.

les deux sensy leurs miiieiix peuvent être pris: à v^^lontè sur tout plan perpendiculaire à leur direction commune.

iftO. Maint^iant, supposons que deux des coefficients P, P', P'' soient égaux, par exemple, P 1= P'. Alors on satisfera aux conditions (^S) d'i^^. çianière plus générale que,^f les valeurs (24) ; on pourrai encore poser ...

cos a == o avec cos 6 = 0,

ce qui fait retrouver le système de cordes parallèles à OZ , avec le plan principal {^S); oU bieii il suffira de posef

enlaissaat m et ^ iadétei^inés,.oe qui ÊtionU^}(fiie tofUe^ief, cordes parallèles Uu plan !£Y appartiennent à 4^^ iy^tèmes pHi^ cipauxy dont le nombre est par cososéqueat infini. Xes^.pUns; principaux correspondants sont fournis par l'équation (22), en y substituant la valeur cos 7 = 0, ce qui donne

, o\ X» Q COS a + g' cos 6

(ao) ^ eOS « 4- /^ -POS Ç t— -^^ : ,^ ;i . — r =^0.

€é caiSf e^ celui où la surface '(^)^€^ é^^^^i^o/^a;?; car tèusiës plans a = II, z =: Af', . . . . eioupent alors cett^f •sutface' suivsilif des cercles dont les centres sont situés évideiAment 'suk* thie même droite parallèle à Taxe 02 y savoir : >

D'aiUeuTS, cetjbe droite se trouve l'interssectipn. Q<M9mi]Ae de tpus. les plans prixKçipaux* représentés par réq^a^on{2Q). : ^^

421. Si Ton supposât à la fois P = P' =: p/',. les. c^a^dir, tioBSi (23) ^ trouver^î^at. vérifiées d'elles-ii^émeS} x{ue}le$ yj|ue fussent les valeurs de ff, 6> 7 ^ 4'où il résoite q^'atpi» Mmt «yfrr tème de cordes parallèles serait un syi&leiBe priocfipal; ^ t^put

g6 CHAFITBE VI.

{dan de ia forme (32), c'esl-à-dire passanl par le point

serait un plan principal. Dans ce cas , la surface est une sphère; car réquadon (18) peut alors s'écrire sous la forme

laquelle exprime que la distance du point (â?i, j^i, Zi) à chaque point de la surface , est une quantité constante.

182. Lorsque deux des coefficients P et P' sont égaux et en même temps nuls, on sait (n? 115) que la surface est un cylindre parabolique. On retrouve alors, comme au n*^ IHO, un système de cordes principales parallèles à OZ» avec un plan principal correspondant , savoir :

puis un nombre infini de cordes principales , parallèles à XT^ et indéterminées dans leur direction ; mais les plans conjugués de ces systèmes, représentés par l'équation (28), semblent tons situés à rinfini. Cependant on en trouvera un situé à une dis-^ tance finie, ou plutôt arbitraire, si l'on choisit a et € de manière que Ton ait

Qcosa -f-Q'cos6 = 0;

ce qui suppose que l'on prend des cordes parallèles aux généra-^ trices du cylindre, et le plan principal (28} devient alors celui de la section droite. On se rendra aisément compte de ces diverses circonstances, par des considérations géométriques, et Ton interprétera d'une manière analogue le cas de deux plans parallèles , lequel arrive quand on suppose nuls P, P', Q et Q^ I!I5. U résulte des discussions précédentes, i® que, dans toutes les surfaces du second ordre, les systèmes de cordes principales sont au nombre de trois , distincts et rectangulaires

PLANS DIAM1&TBAUX. 97

entre eux ; ou bien leur nombre est infini ^ et l'un est alors perpendiculaire à tous les autres; excepté dans le cas de la sphère, où toutes les directions possibles donnent des cordes principales.

2^. Les plans principaux sont aussi au nombre de trois, ou bien il y en a une infinité; mais, dans tous les cas, deux an moins de ces plans sont à une distance finie.

9^ CHAPITEE VII.

Discussion des Surfaces douées d-un centre.

124. Les surfaces de cette classe sont (n^ 117) toutes renfermées dans Téquation

p«« -h py -+- P «* = -H H ,

qui donne lieu à plusieurs genres j suivant les signes dont les coefficients se trouvent affectés ] mais pour abréger la discussion , sans omettre aucun cas réellement distinct , nous supposerons que Ton ait toujours eu soin, préalablement, de rendre positif le second membre H de l'équation proposée ; et comme alors les trois carrés ne sauraient avoir des coefficients négatifs à la fois sans que la surface ne fût imaginaire, il nous restera à examiner les trois genres renfermés dans les cas suivants.

125. Ellipsoïde. Trois carrés positifs. L'équation avec Fie. i8. les signes explicites, conserve la forme

(i) Par^ -f- Py -h P V = H ;

pour obtenir les points où la surface rencontre les axes coordonnés, on égalera à zéro deux des variables x, y^ z^ et Ton trouvera six sommets réels A et A', B et B', C etC, situés aux distances

DISCUSSION DES SUKFAGBS DOUEES D*UN CENTRE. gg

Ces distances OA=a, QB=& , OC=:c, se nomment les demi-axes ou derrU-diamètres principaux {p? 104) de la surface^ car chacune de ces droites ^t l'interseedon de deux plans coordonnés q^ sont ici d^s plans principaux (n^ 117). Si d'ailleurs on introduit cei^ axes dans réquation (i), ep y substituant les yçJeuiw deP, P', P", tirées des relations précédentes, cette équation prendra la forme trèp-symétrique

4S6. Les sections faites par les plans coordonnés s'obtiennent en posant tour à tour ar = o,j^ = o, ^=o; et ce sont évidemment des ellipses faciles à construire. Quant aux sections parallèles au plan XY, elles seront données par les équations simultanées

et l'on voit que ce sont toujours des ellipses s^blableSj puisque leurs axes qui s'obtiennent en posant )tour à tour X := o , r = o , dans la dernière équation , conservent entre eux un rapport constant, quel que soit A. Ces ellipses deviennent imaginaires quand A*>c*; ainsi la surface ne s'étend pas au-dessus du point C ni au-dessous du point C'. On obtiendra des conséquences semblables pour les sections parallèles au plan XZ, ou au plan YZ^ et généralement , tout plan quelconque donne une section elUptique, puisque l'équation

z = mx -H «j H- /• , combinée avec ( i ) , conduit à

lOO CHAPITEE VU.

résultat où la condition B* — 4^C<I ^ ^ trouve manifestement remplie. L'ellipsoïde est donc une surface formée dans tous les sens.

iS7. Lorsque deux quelconques des coefficients sont égaux, par exemple P=P' ou a = b, Tellipsoïde est de révolution autour de Taxe des z ; car les sections trourëes (n^ 126) , pour des plans perpendiculaires à cet axe , tels que z=zhy deviennent alors des cercles dont les centres sont sur OZ. Ainsi , dans ce cas, la surface pourrait être engendrée par la révolution de Tellipse CAC autour de son axe CC^

128. Si Ton supposeP=F= P", oua = i = c, l'ellipsoïde se change en une sphère, puisque l'équation (2) devient

laquelle exprime que la distance de Torigine à un point quelconque de la surface est constamment égale à a.

A cette occasion, nous ferons observer qu'une sphère du rayon R , et dont le centre serait placé au point qui a pour coordonnées a , 6 , y , aurait pour équation

car le premier membre de cette équation exprime bien (n^ 6) le carré de la distance du point (a , 6 , y) à un point quelconque (x^y^z)de la surface.

128. Hyperboloïde a uiîe nappe. Un seul carré négatif» L'équation générale , avec les signes explicites , devient

(3) Par»-+-Py — PV=:H, •

et les points où la surface rencontre les axés coordonnés,

DISCUSSION DES SUftFACKS DQUSES d'uN GENTAB. ICI.

seront fournis par

d*où Ton conclut qu'il y a ici çuatre sommets réels A et, Fie. 19. A', B et 6', et deux sommets imaginaires. Les distances, OA=a, OB = i, OC = c, sont encore nommées, par les mêmes raisons qu'au n° 125, les demi-diamètres principaux ou dend-axesde la surface ^ mais les deux premiers sont dits les axes réels j et le troisième n'est que le coefficient de l'expression fournie par l'analyse pour l'axe imaginaire. En introduisants ces axes a, &, c, à la place de P, P', P'', dans l'équation (3), elle prendra k forme .

129. Les sections parallèles au plan XY sont données par les équations simultanées '^ ' ' ^ '

ainsi ces courbes sont des ellipses, toujours semblables , puisque les .deux axes qui sî^obtiendront en posant tour à tour j^=o, x=o, dans l'équation précédente, conservent entre ettx un rapport constant , quel que soit h. D'ailleurs leîs dimensions de ces ellipses augmentent indéfini"^ ment avec la grandeur nmnérique de h ; de sorte que la plus petite de ces sections horizontales, nonunée ellipse de gorge, s'obtiendra en posant z = o dans l'éqtiation (4)^ c'est la courbe ABA'B', qui a pour diamètres principaux les deux axes réels a et i de Thyperboloïde.

Quant au plan XZ, il coupe la surface suivant une hyperbole (EAF , E' AT') dont l'équation se déduit de (4)

en y posant y = o ; et des résultats semblables ont lieu pour le plan YZ^ ainsi que pour les plans parallèles à ceux-là.

130. On voit par là que cet hyperboloïde s'étend indéfiniment, mais qu'il est composé d'une seule nappe continue, slir laquelle on peut passer d'un point quelconque à uti autre., sans sortir de la surface. D'ailleurs là section faite par un plaii quelconque

z =r mx 4- ny H- ff ,

peut-être tour à tour une ellipse, une parabole bu une hyperbole, suivant l'inclinaison du plan sécant; car cette équation combinée avec (3), conduit à

résultat où le binôme caractéristique. 3' — 4AC pisut se trouver positif, nul ou négatif, suivant les valeurs de m et n.

131. Lorsque les deux axes réels sont égaux ,• c'est-àdire quand ^ = i, o.uP=P\ Thyperboloïd^ sç trouve. 4^, rév^olution autour de l'axe iinaginaire OZ ,: puisque les sections obtenues au n^ 129, pour, des plans ^==A perpendiculair^3 à cet axe , deviennent évidemment des cercles 4pntles centres sont sjur cette droite. Aloi^la sifrface p^ut.ètre engendrée par la révolution de l'hyperbole EAF autour de son axe imaginaire, ...

132. Hyperboloïde a deux wappes; Deux carrés né-gatifs. L'équation devient, en mettant les signes en évidence,

(S) p*^— py — pv = H.

DISCUSSION DES SURFACES DOUSCS D*UN CENTRE. Io3

La surface remontre les aices coordonnes aux distances

de sorte qail n'y a ici que deux sommets réels A et A', Fk. 20. et les quatre autres sont imaginaires^ mais les distances OA^=a, 0B=&, OC=c, sont toujours nommées (n** 104) les demi-diamètres principaux on les demi' axes de la surface , et le premier est dit Vaxe réel, parce que c'est le seul qui rencontre effectivement cette surface. En introduisant ces trois axes a, 6, c, à la place de P, P', P", dans Téquation (5), elle prendra la forme

133. La condition y ^^^ o introduite dans l'équation (6), montre que le plan XZ coupe l'hyperboloïde actuel suivant une hyperbole (EAE', FA' F'); et il en serait de même du plan XY, ainsi que des plans parallèles à ceux-là. Pour des plans sécants parallèles à YZ, ou perpendiculaires à l'axe réel OX , on obtient

0^ (T ar

ainsi ces sections sont des ellipses semblables entre elles, et qui croissent indéfiniment avec la grandeur absolue de A 5 mais elles' deviennent imaginaires quand h^<Ca'^ G^est-à-dire dans l'intervalle des <ieux sommets réeb A et A .