De là il résulte que cet hyperboloïde est omn

ia4 cHAPiTRS vn.

posé de deux nappes non contiguës, indéfinies chacune dans un sens , mais séparées Tune de Tautre par un intervalle où il n'existe aucun point de la surface. Un plan sécant quelconque pourrait aussi donner, conune au n^ 130, des sections tour à tour elliptiques, paraboliques, ou hyperboliques, suivant son inclinaison sur les axes.

135. L'hyperboloïde à deux nappes se trouve de réi^olution, quand les deux axes imaginaires sont égaux, c'est-à-dire quand J == c ou P' = P"; car les sections obtenues au n** 133 pour des plans x = h perpendiculaires à l'axe réel OX , deviennent évidemment des cercles dont les centres sont sur cet axe. Alors la surface pourrait être engendrée par la révolution de l'hyperbole (AE, A' F) autour de son axe réel A'OA.

136. Voilà les trois genres principaux de surfaces douées d'un centre ; mais il reste à examiner quelques variétés , et d'abord le cas où H = o.

Cette hypothèse introduite dans l'ellipsoïde réduit l'équation (i) à

Pai'-f-Py-f.P'V=o,

laquelle ne peut être vérifiée par d'autres valeurs réeUe^ que a:=o, j^r5=oetz=:05 doue dans ce cas la surface se réduit à un point unique qui est l'origine des coordonnées.

137. Dans l'hyperboloïde à une nappe, la supposition H == o réduit l'équation (3) à .

(7) Vx^ -h Py — P'V =: O,

Fie. 19. laquelle représente une surface conique VOV dont le sommet est à l'origine. Pour s'en assurer, il suffit de voir si tout plan mené par ce point donnera àes, sections rec-

DISCUSSION DES SURFAGKS .oaUKKS D*UN CENTRE. Io5

tilignes. Or, en combinant z.=zmx + ny avec Téqûation (7) , on obtient

équation homogène qui conduira nécessairement à des valeurs de la forme ..

et ce résultat appartient effectivement à deu$ aroites passant par r origine des coordonnées, ou au point unique (x = o, j =?: o), quand le radical deviendra imaginaire pour certaines positions du plan sécant. D'ailleurs Thypothèse z = h introduite dans l'équation (7) , montre que ce cône a pour base parallèle au plan XY, une ellipse dont le centre est sur OZ : mais il faut généralement le regarder comme un cône du second degré dont la base peut être une des trois courbes de cet ordre.

Cette surface conique VOT est asymptote de l'byperboloïde à une nappe -, car, en comparant les ordonnées z et z' qui, dans les équations (3) et (7), répondent aux mêmes x et j, et sur la même nappe , on trouve

ou bien, en multipliant et divisant par la somme des radicaux,

Donc la difiérence z' — z décroît indéfiniment jusqu^à zéro, à mesure que x et j augmentent 5 et comme cependant z sera toujours moindre que z\ le cône est en4edans de Thyperboloïde.

ïo6 citkmMM VII.

138. Si Ton veut eomparer Téquation (7) du cône asymptote avec celle de Thyperboloïde sons la forme

il faut observer que, dans cette dernière surface, les longueurs absolues des axes étaient

Of, lorsqu'on fait décroître H sans çkatigér P, P, P", les axes a, i, c décroissent ensemble, Uiaiâ en demeurant toujours proportiontiel^ aux quantités

Vp' VF' Vf'

donc , <juand ces axes sont devenus ainsi nuls par l'hypothèse H = o , et que l'hyperboloïde s'est changé en un cône , les trœs quantités précédentes sont encore proportionnelles aux longueurs des axes primitifs, et l'on peut poser

\/|r = ««» VP = ^^' y^f — '^y

d'où il résulte

valeurs qui, substituées dans (7)vramèBerout cette équation à la forme

-T -hyi 7 = 0.

DISCUSSION DES SUft^ACBS DOUÉES d'uN CENTRE. lt>^

139. L'hypothèse H = o, introduite dans l'équation (5) de l'hjrperbôloïde à deux îiappes, donne

(B) Px^ — py — P'Vr=o;

et l'on prouvera, comme au n*' 137, que cette équation Fœ. ao. représente une surface conique VOV dont la base parallèle à TZ est une ellipse. Ce cône est encore asymptote, de l'hyperboloïde à deux nappes; c^r^ ^i cotnparani les. deux ordonnées x elx' qui, dans (5) et (8), répondent aux mêmes x^ ^^ o» obtient i

/P . (a? — a:/) = sjvy -4- P V -h H — y^P 'j^ 4- P "z%

ou bien, en multipliant et divisant par la somme des i^dicaux,

V^.(ar — x') =

v/py-hPV+.H-l- v'Py-f-ÎP^î^"

d(mc, la différence J? -^ ^' déoroit indéfiniment' jusqu'à zéro , à mesure que y eiz approchent d'être infinis* Mdiè comme on aui^ to^ujours x >> x\ le oôue etiveloppe la sàrface extérieurement.

L'équation (8) de ce cône asymptote pourrait aussi, comme au n® 138, être ramenée à la forme

140. Les surfaces coniques ^ bâfse du second degté ne sont pas les seules variétés que renferment les équations générales (i), (3) et (5). En y supposant nuls ùri ou plusieurs des coeftciénts P, P', P'', H, elles fourniront encore des cjlittdres à basé elliptùfue ou hyperbolique ^

I08 GHAPXTEE VU.

comme

P:c*-!-Py = H, ou P:c» — py = Hî

et aussi le système de deux plans qui se coupent , ou qui sont paraUèles, comme

Pj?^ — Py = o, ou Pa:*=:H;

mais, ces divers cas n'exigeant aucune discussion , il nous suffira bien de les avoir indiqués»

i41. Des GÉNÉRATRICES RECTiLiGNES. Examiuons si, parmi les surfaces douées d'un centre , et autres que les surfaces coniques ou cylindriques, il y en a quelqu'une sur laquelle une droite puisse être appliquée dans toute sa longueur indéfinie ; et effectuons cette recherche spécialement pour rhyperboloïde à une nappe , parce qu'il est aisé da prévoir que la forme des deux autres surfaces ne permet pas qu'elles jouissent de cette propriété \ d'ailleurs, il suffira de changer le signe du carré d'un axe, pour appliquer à ces dernières les résultats analytiques obtenus pour l'autre.

L'hyperboloïde à une nappe (n^ 128) a pour équation

S'il existe une droite qui puisse s'appliquer tout entière sur cette surface , une de ses projections sera de la forme

où a, 6 sont des constantes indéterminées^ et comme cette équation représente en même temps le plan projetant de la droite, il faudra qu'en coupant la surface par

DISCUSSION DCS SUAFACBS DOVÉBS D*UN CEMTRC. IO9

ce plan, rintersection, qui sera une ligne dtt second degré , ait une équation qui puisse se décomposer en deux facteurs dont un soit linéaire y et par suite Tautre le sera pareillement. Or, la combinaison des équations (9) et (10) donne , pour la projection de la section sur le plan XZ ,

Mais , le premier membre étant un carré parfait , il faudra, pour la décomposition annoncée, que le second membre soit aussi un carré , donc il faudra établir, entre les indéterminées a et ê , la relation

d'où Ton déduit

valeur toujours réelle , qui , substituée dans les équations (10) et (i i), donne pour les projections de la droite cherchée,

(12) ^ = ai -h V** •+■ «'«%

Le radical qui entre ici renferme implicitement le double signe de la valeur de 6 , mais il faudra le prendre toujours avec le même signe dans les deux équations à la fois. D'ailleurs, puisque nous n'avons eu à satisfaire qu'à une relation unique entre 6 et a , la dernière de ces constantes reste tout à fait arbitraire dans les équations (12) et (i3)} et par conséquent il existe une infinité de droites situées tout entières sur Fhyperboloïde à une nappe.

IIO CBAnVM, vil.

i49t. Ob^rvons ici quç, pour sipplicpier ces résultats à Tellipsoïdeou à Thyperboloïde à deux nappes , il suffirait daus Téquation (9), de changer c en c v — i , on b

en b v--T^ et comme chacune de ces miodificalions rendrait imaginaire l'équation (i3), on doit en conclure que ces deux surfaces n'admettent aucune génératrice rectiligne.

143. Revenons à l'hypeAoloïde à une nappe ^ et, pour examiner la position qu'y occupent les diverses droites , FiG. ai. représentons cette surface projetée d'une part sur un plan horizontal, parallèle aux deux axes réels a et ft qui sont dans le plan coordonné xy^ et de l'autre sur un plan vertical parallèle aux deiix axes a et c, situés dans le planxz. Pour exécuter ces projections, il suffit de marquer sur le plan horizontal les deux axes Oa =^ a, Ob :== b^ et de tracer l'ellipse de gorge abg',^ ensuite, sur le plan vertical, et à une hauteur quelconque, on portera les deux axes Oa' = a , O'C = c , et l'on tracera l'hyperbole principale D"a'D' qui se trouve dans le plan vertical OD. Si d'ailleurs , pour fixer les idées , on suppose l'hyperboloïde terminé aux deux plans horizontaux D'H', D"H'', également éloignés du centre , ces deux plans couperont la surface suivant des ellipses égales, projetées l'une et l'autre sur DEH, et semblables à l'ellipse de gorge abg.

444. Cela posé, les équations (12) et (i3), A^'o^ I* seconde renfe^Hie un double signe , donnent pour chaque valeur attribuée à ol . deux droite qui ont une projection horizontale commune AB , et sput par conséquent situées :dans un même plan vertical : ^i^is leur,s projections sur XZéuut deux droites distinctes, A'A" et B'3", oupe^t ranger toutes les ligues qui correspondent ftuar diverses valeurs a, a', «", . . . en deux systèmes (A) et (B), dis-

DISCUSSION DES SURFACES DOUÉES d'uN CENTRE. III

lingues par le signe qui] affecte leuri prcgeetions sur le plan XZ, savoir :

(^ c <fi V c ah '

(A.) (BJ

Or il est facile de reconnaître que toutes les projections Fie. ai, horizontales de ces diverses droites sont des tangentes à r ellipse de gorge abg^ telles que AB, AiB],. . . En effet, si l'on combine Téquation

(l2) X:=OLX-^^b^'h fl'a%

avec celle de cette eUipse

qui se déduit de (9) en y posant ^ = o, on trouve pour les abscisses des points de section ,

Mais cette équation , étant un carré parfait, a ses deux racines égales^ par conséquent la droite (12) est une sécante dont les deux points de section sont conf^ndjus : ainsi elle est bien tangente à Tellipse abgj quelle que sQÎtt la valeur attribuée k a.

On vérifiera de même que , pour toutes les valeurs de a , les projections

C ab

sont deux droites A'A" et B'B", tangentes à Vhjperbole principale D"a'D' qui a pour équation à'z^ — c^a^ = «'c' ; et quand on pose a = o, ce qui arrive pour le plan yertical AsBt, ces projections deviennent les asymptotes de

cette hyperbole , puisqu^il reste z = ih - ^.

145. Si Ton mène par Forigine des coordonnées, qui est le centre de Thyperboloïde , des parallèles aux diverses droites du système (A) ou à celles du système (B), on formera une surface conique dont une quelconque des arêtes sera représentée par

y = ^ et ±-= -^ ;

puis, si Ton élimine a qui varie en passant d'une arête à une autre , on aura , pour Téquation de ce cône ,

Z» a:' jr^

laquelle coïncide avec Téquation du cône asymptote trouvée au n** 1 38. D'où l'on conclut que toutes les droites situées sur rhyperboloîde sont respectivement parallèles aux arêtes du cône asymptote de cette surface.

146. Il suit de là que trois droites quelconques de l'hyperboloïde ne sont jamais parallèles à un même plan. En effet, s'il en était autrement, il y aurait trois arêtes du cône asymptote qui seraient situées dans un plan miique , et ce plan devrait alors couper la base elliptique (p? 1 37) du cône dans trois points placés en ligne droite; résultat incompatible avec la forme des courbes du second degré. Cette remarque nous sera utile plus tard , pour distinguer la surface actuelle d'avec le paraboloïde hyperbolique. Fie. 31. 147. Deux droites quelconques du système (A) telles

nncoasioN dbs svmrAC» douises d'un cbhtae. i i 3 fjiie(AM, A'M') et (AiMi, A'iM'i), ne sont jamais dans Fio. qi. un même plan. Eji efibt , le point R où se coupent leurs projections horizontales se trouve pour la première au delà de M par rapport au pied A de cette droite ; et par conséquent il est, dans l'espace ^ aunlessus de TeHipse de goi^e ; tandis que le point R de la seconde droite Ai Mi est ^ évidemment au<-des^u8 de cette ellipse : donc ces deux droites d'un même système ne se coupent pas. En outre, elles ne sont point parallèles, car leurs projections hori*soatales se coupent en général ; et quand même on comparerait les deux tangentes aux extrémités d'un diamètre de Fellipse de goi^, ces deux droites se trouveraient, dans l'espace, inversement situées par rapport au plan vertical mené par ce diamètre, de sorte qu'elles seraient bien loin d'être parallèles.

L'analyse conduit à la même conséquence. Car, si l'on combine les quatre équations (A) et (Ai) du n^ 144 , en les soustrayant deux à deux, on arrive, après l'élimina^ tion des variables, à la condition ((X-^a')* = o, qui ne saurait être satisfaite tant que les droites sont distinctes l'une de l'autre. H est vrai que pour celles qui passeraient par les extrémités d'un même diamètre de l'ellipse de gorge, on aurait a = a'; mais alors il faudrait évidemment adopter pour le radical des signes contraires dans les équations (A) et (Ai) , et, sous cette nouvelle forme , leur

cond>inaison condui raît i^4*+a*a*=:o, condition également impossible.

La même relation subsiste évidemment entre les droites du système (B) , qui ne sont jamais situées deux à deux dans un même plan.

\4S, Au contraire, une droite quelconque du système (A) coupe toutes les lignes (B), (Bi), (Bj),. . . de r autre système. Cela est évident pour (AM, A' M') lît

1 l4 GXtf IVKB VU. .

(BM , B'M') qui sont dans le même plan vertical , et ge coupent en (M , M') sur Tellipse de gorge : comparons donc la première de ces droites avec (BiMi, B\M'i). Les p<!»nts projetés en R sont, snr Fane et l'autre de ces dtx)ices, situés au-^dessus de FeUipse de gorge, puisque R est au ' delà des points de contact M et Mi \ et coanne la verdcale élevée en R ne peut rencontrer la nappe supérieure de la surface qu'en un seul point K\ ee point est nécessairement commun aux deux lignes {A) et(Bi). Deux droites de systèmes différents sont donc toujours dans un même plan s et seulement elles deviennent parallèles quand elles passent par les extrémités d'an diamètre de l'ellipse de gorge* L'analyse conduit à la même conséquence; car la oomlmudson des quatre équations (A) et (Bi) du n^ 144, mène à deux valeurs de x qui s'accordent entre elles.

140. On donne le nom de surface gauche à toute surface engendrée par une droite qui se meut de telle sorte que deux positions consécutik^s ne sont pas dans un même plan^ et c'est ce qui arrive (outre les cas généraux dont nous parlerons dans le chapitre XV ) quand on assujettit U droite mobile A à s'appuyer constamment FiG. ai sur trois droites fixes B, B', B", ifui, deux é deux, ne sont pas dans un même plan. D'abord, je <dis que celte condition suffit pour régler le mouvement de la g&wra^ trice A ; car si , pour chaque point M pris sur B , vous imaginez deux plans , dont l'un passe par M et la droite h\ l'autre par M et la droite B'^, l'intersection de ces plans fournira une droite unique MNP qui s'appuiera bien sur les trois directrices. Ensuite, la surface sera gauche > puisque deux positions A et A' de la génératrice ne sauraient être dans un même plan , sans que les droites B, B^ B", qui ont chacune deux points communs avec A et A',

DISCUSSION DES SURFACES DOUÉES d'uN CENTRE. ï l5

ne se trouvent elles-mêmes dans ce plan 5 ce qui est contraire aux données de la question .

150. Or , l'hyperboloïde à une nappe , considéré comme le lieu de toutes les droites (A), (Ai), (Aj) , . . . ou (B), (Bi), (Bs) , . . . du n** 144, est du genre des surfaces gau* ches dont nous venons de parler. En eflfet, dans chaque système , les droites ne se rencontrent pas (n** 147)5 ^* d'ailleurs puisque (A), par exemple, coupe (n** 148) toutes lès droites de l'autre système , il n'y a qu'à choisir à volonté trois de celles-ci^ (B), (Bi), (B,), puis faire glisser sur elles la droite mobile (A) : alors cette dernière ne pourra prendre (n® 149) que les positions successives (Al), (Aj), . . . , qui remplissent déjà la condition de s'appuyer sur les trois directrices : donc la droite mobile (A) engendrera ainsi l'hyperboloïde en question. Cette surface admet aussi évidemment un second mode de génération, dans lequel la droite (B) glisserait sur trois droites quelconques (A), (Ai), (Aj) du premier système.

151. Réciproquement, lors qu une droite quelconque G s'appuie constamment sur trois droites fixes B, B', B", qui, prises deux à deux, ne sont pas dans un même plan, la surface ainsi décrite est toujours un hyperbo^ loïde à une nappe; pourvu cependant que les trois directrices ne soient point ensemble parallèles à un mém^ plan; car, sans cette dernière restriction qui est vérifiée (n^ 146) par les droites de l'hyperboloïde , la surface dégénérerait en van des paraboloîdes dont nous parlerons plus tard (n** 176).

/ Sous les conditions admises, il sera toujours posisible de mener, par un point quelconque de l'espace , trois axe» coordonnés obliques , respectivement parallèles aux trois directrices; nîais, afin de manifester clairement la

I l6 CVAPIT&E VU.

position d*un point remarquable de la surface , nous pla^ cerons cette origine au centre du parallélipipède conf'io- i4* struit de la manière suivante. Par la droite 6 concevons un plan 6CD parallèle à 6", et par B' un plan B'EF aussi parallèle à B"^ ces deux plans, nécessairement distincts d'après les conditions admises ci-dessus, se couperont suivant une droite A" évidemment parallèle à B^. De même, par B et B" concevons deux plans BGF et B"HK parallèles à B', lesquels se couperont suivant une drpite A' parallèle à B'^ et enfin , par B' et B'' imaginons deux plans B'EI et B"HF parallèles à B, dcmt Tintersection sera une droite A parallèle à B. Alors , ces six plans formeront bien un parallélipipède, au centre duquel nous allons placer Torigine des coordonnées, en menant Taxe OX parallèle à B, FaxeOY parallèle à B', et OZ parallèle àB".

152. Gela posé , en désignant par 2 a, a 6, a y, les longueurs de trois arêtes contiguës du parallélipipède précédent, les équations des trois directrices seront évidemment

La génératrice mobile sera représentée par

mais il faudra y joindre les conditions qui expriment que cette ligne a toujours un point de commun avec (B'%

DISCUSSION DBS SUBFACRS DOUÉfeS d'uN CENTRE. II7

avec(B' ), et aussi avec(B)) ce qui donnera (n** 25),

Les €[iiatre constantes m, n^p^q^ se trouvant ainsi liées par trois relations , il en reste une seule d'arbitraire , hi , par exemple; si donc on lui attribuait successivement diverses valeurs , m = i , a , 5 ,...., et que Ton calculât les valeurs correspondantes de /2 , /^ , ^ , pour les substi- • tuer dans (G), on obtiendrait les équations d'autant de positions particulières de la génératrice \ mais si , au contraire, on élimine m, n^p^ q entre les cinq équations précédentes, le résultat fournira entre x^y^ z, une relation qui conviendra en même temps à toutes les poisitions de la génératrice, et qui sera Téquation du lieu géométrique engendré par cette droite mobile. Or les équations (16), (17) et (G) donnent, en les combinant deux à deux,

et ces valeurs substituées dans (i5), conduiront à

(18) cnyz -h ^zx -f- '^xy -h a67 = o.

La surface représentée par cette équation est du second degré •, elle admet un centre qui est l'origine O des coordonnées actuelles, puisque (n^ 93) la somme des exposants des variables est paire dans chaque terme, comme le degré de l'équation. Ensuite, parmi les surfaces douées d'un centre , il n'y a que Vkyperboloïde à une nappe qui admette des génératrices rectilignes (n^ ^^2); donc l'équation (18) représente bien un tel hyperboloïde , elles

Il8 GHil^ITllE VII.

axes coordonnas actuels sont évidenunent (n^ Itô) trois arêtes du cône asymptote de cette surface (*).

153. D'ailleurs, la forme symétrique de Tëquation (i8) manifeste clairement l'existence du second mode de génération que nous avons reconnu dans Thyperboloïde (n^ 150). En effet, si l'on prend ppur directrices de la droite mobile G du n*' 151 , les trois droites A, A', A", qui sont les arêtes opposées à B, B', B", ^ans le parallélipipède de Ib. fig. 14? les équations de ces nouvelles directrices seront

=rH-

et alors la génératrice G va décrire la même surface, puisqu'il suffira évidemment, sans nouveaux calculs , de changer dans Téquation (i8) a, 6, yen — a, — 6, — y, ce qui n'altère pas cette équation. D'ailleurs les iroî»' droites A, A', A" ne sont autres jque des positions particulières de la génératrice G, lorsqu'elle glissais sur B, B', B", dans le premier mode; car la ligne A, par exemple , coupe B' et B", et se trouve parallèle à B 5 de sorte qu'elle doit être regardée comme s'appuyant sur ces trois dernières droites. Dpnc, lorsqu'on a fait mout^ir une droite sur trois directrices rectilignes ^ on peut prendre^

(*) Oest M. J. Binet qui a fait connaître Texistence du parallélipipèdo remarquable que nous venons d^employer, ainsi que celle de beaucoup d^autres qui sont ausM coneentriques avec Thyperboloïde. {Yoyee lexvt*oa> hier du Journal de l'Ecole Polytechnique.)

DISCUSSION DBS SUmVAG^S DOUÉES D^UN GBNT&E. 1 1^*

à leut- tx>ur trois quelconques des positions de la génératrice pour nouvelles directrices , et en faisant glisser sur celles-ci V une des premières directrices^ on retroui^era le même hypôrholoï^e que dans le premier mode.

154. Si Ton admettait que deux des directrices ^' et B' sont dans un même plan, la surface se réduirait, comme on doit le prévoir aisément , au système de deux plans , dont Tun serait celui des deux directrices en question , et dont l'autre passerait par le point commun à ces deux droites et par la troisième directrice. Effectivement, dans l'hypothèse a = o, l'équation (i8) se décwnpose dans les deux suivantes :

Mais il ne faut pas chercher à déduire de l'équartion (i8) le cas particulier où les trois directrices i^eraienlparallèlçsàun même plan; car alors il eût été impossible de prendre , comme nous l'avons fait , les trois axes coordonnés prallèles à ces droites. Nous traiterons jjus tard (n** 179) ce cas, qui est aussi fort intéressant.

I20 GHAPITEH VUI.

afc

Discussion des surfaces dépourvues de centre.

155. Les surfaces du second degré qui sont dépourvues de centre sont toutes comprises dans l'équation (20) du n® 117, où les diverses combinaisons de signes des coefficients se réduiront toujours aux^ deux suivantes :

-hP'j*±:PV = -hQj?.

En effet, on pourra d'abord rendre positif le premier coefficient P', s'il ne Tétait pas, en changeant les signes de toua les termes de Téquation donnée. Ensuite, quand Q sera négatif, il suffira de remplacer x par — x' pour ramener Féquation à la forme précédente ] or , comme ce changement équivaut à compter les x positifs dans le sens opposé à celui qu'on avait adopté d'abord , on voit que le signe de Q ne peut avoir d'influence que sur la position de la surface, et non sur sa forme; c'est pourquoi nous nous arrêterons au cas où il est positif, et ainsi cette classe de surfaces ne présentera que deux genres vraiment distincts, appelés le paraboloïde elliptique et le paraboloïde hyperbolique, à cause de la nature des sections qu'ils admettent.

156. Paraboloïde elliptique., L'équation avec les signes explicites , est alors de la forme

(i) py + pv = Qar.

DISGUSAION I>XS SUftFAGW DÉPOO&VUIS DB GSNT&E. 121

Cette surface ne coupe évidemmejat les axes qvHk Torigiue des coordonnées, et la droile.OX, intersection des plans XY et XZ qui sont ici le»émkprinc^aux (n^ 1 17}, est l^axe unique et indéfini du paraboloïde. Ces mêmes plans donnent pour sections principales deux paraboles AOA', BOB', ayant pour équations Fie. 2a.

a = o et x^ii=px=zpx,

iOt

et si Ton introduit leurs paramètres ;e7 , p\ dans Féquation (i), à la place des coefficients P', P", elle prendra cette foraie plus symétrique