Les sections parallèles au plan YZ, ou perjïfendî

culaii'es à Taxe du paraboloïde , sont représentées par

(3) x = h "et t.j>^*L — h;

on voit que ce sont toujours àes ellipses, telles que ABA'B', semblablei èntte elles , puisque leurs axes*, qui s'obtiennent en posant tour à tour z==ô^ j^=o, dans l'équation (3)', conservent un rapport indépendant de h. Ces ellipses s^agrandissent indéfiniment avec fi , taiit que cette quantité est positive ; mais elles deviendraient ihia-^ ginaires, si h était négatif : d'où Ton conclut que le paraboloïde actuel ne s'étend nullement du côté des x négatifs.

158. Lorsqu'on Sip=p\ les ellipses précédentes (3) deviennent évidenunent des cercles , dont les centres sont situés sur QX» et dont les plans sont perpendiculaires à

qui sont les asymptotes communes à toutes les hyperboles précédentes projetées sur ce plan TZ.

i62. De là on doit conclure que le paraboloïde hyperbolique est une surface composée d'une seule nappe continue, qui s'étend indéfiniment vers les a? positifs et vers les X négatifs , mais dont la courbure présente une forme opposée dans ces deux régions. En outre, cette surface ne sera jamais de réifolution, quand bien même on aurait p=:p\ comme cela est arrivé (n** 458) pour le premier paraboloïde; et effectivement, nous allons démontrer que le paraboloïde hyperbolique ne peut admettre ^our section plane aucune courbe fermée.

163. Combinons l'équation (5) avec celle d'un plan quelconque

z =r mx -f- 71/ -H A ;

ir viendra, pour la projection de la section,

■ (7) {p' T P^^) y^ ~~ pm^^ — %pmnxy h- . . , . = o.

Ici la quantité B* — 4AC = -^pp'm}\ donc , toutes les sections planes faites dans la surface qui nous occupe sont des hyperboles ou des paraboles '^ et ce dernier cas arrive seulement quand tw = o , c'est-à-dire quand le plan sécant est parallèle à Vdxe OX. C'est la nature de ces sections qui a fait nommer cette surface paraboloïde hyperbolique : cependant, parmi les hyperboles, il faut comprendre le système de deux droites qui se coupent , et parmi les paraboles , le cas d'une seule ligne droite •, car ces variétés se retrouvent dans l'équation (7), lorsqu'il arrive que son premier membre peut se décomposer en deux facteurs rationnels, ou bien quand m = o avec p' — pn*=o.

Dans ce dernier cas, où la section est une droite uni-