DISCUSSION DES SURFACES DEPOURVUES DE CENTRE

que, le plan sécant se trouve parallèle à run des deox plans directeurs dont nous parlerons au x^ 171.

164. Propriétés communes aux deux paraboloïdes . Chacune de ces surfaces peut être engendrée par une des deux paraboles principales, OB par exemple, qui se mouvrait parallèlement à elle-même (^), et de fnanière que son sommet glissât constamment sur l * autre para-^ bole principale OÂ.

Considérons d'abord le paraboloïde elliptique où ces Fig. aa. deux courbes ont pour équations , \

OA....Z=:0 et y^:=zpXy

OB , . . . j^ = o et z^ = /? 'a:.

Lorsque la génératrice mobile OB sera venue dans une position quelconque DE, son sommet D, dont je désigne les coordonnées par 00' = a, 0'D = 6, se projettera en (y sur le plan XZ \ et cette courbe étant dans un plan parallèle à ce dernier, elle conservera en projection le même paramètre p-^ d'où il suit que la parabole DE aura pour équations,

D'ailleurs, le sommet D devant toujours se trouver sur la directrice OA , il faudra que ses coordonnées :e: = a , j^ =; S , z = o , satisfassent aux équations de cette dernière courbe, ce qui fournira entre les constantes arbitraires

(*) On entend par là que deux tangentes ou deux cordes quelconques de cette courbe demeurent toujours parallèles à leurs directions primitives , ce qui entraîne évidemment le parallélisme du plan de la courbe; mais cela exprime en outre que cette courbe ne tourne pas dans son plan mobile.

a et S la rdation

(lo) 6* = pat..

Cela posé, si Ton attribuait à a diverses valeurs successives «= 5, a= 6, . . . . , on déduirait de (lo) les valeurs correspondantes de S , et en substituant ces valeurs simultanées dans (8) et (9) , on obtiendrait les équations de telle ou telle position déterminée de la parabole mobile DE ; mais si , au contraire , on élimine les constantes a, 6, entre les trois équatiom (8), (9) et (10), le résultat conviendra alors à toutes les position9.de la génératrice, et représentera le lieu géométrique parcouru par cette ligne mobile. Or, en tirant de (8) et (9) les valeurs de a et 6 , pour les substituer dans (10) , on trouve

ou p 'y^ -f- p^ = pp 'x,

résultat qui coïncide avec Téquation (a) du n^ 156, et prouve ainsi que la surface engendrée par le mode indiqué plus haut, est effectivement un parabolcûide elliptique.

Fie. a3. 168. Quant au paraboloïde hyperbolique dans lequel les deux paraboles principales ont pour équations

A . . . . z = o et y^ = px, OB. . . ./ = o et z* =3 — p'x^

on verra, par des considérations toutes semblables aux précédentes, que cette dernière courbe, parvenue dans une position quelconque DE , sera représentée par

Ensuite les constantes arbitraires 00'=a,0'D = 6, devant encore vérifier Téquation de la parabole OA , se

DISCUSSION DES SUEViXiBS oéM>V«VUES DE CINTRE. 19. 7

liouveront aussi liées par la relation

de sorte qu'en raisonnant comme ci-dessus , il faudra éliminer a et 6 entre les équatiom (n)? (12) et (i3), ce qui conduit à

résultat qui , par son identité avec Téquation (5) du n*' 460, prouve que le paraboloïde hyperbc^que peut aussi être engendré par la parabole OB qui we mouvrait parallèlement à elle-même, et de manière que sonsom'met glissât constamment sur r autre parabole principale OA.

166. Tous les plans diamétraux ^ dans les deuxparabokiides, sont parallèles à Vaxe OX de la surface. En effet, si ron recourt à la formule générale (5) du n^ 105 ,

dx dy dz

pour l'appliquer à Téquation des surfaces dépourvues de centre,

p'y^-^pz^=pp'^^

onp' pourra être supposé positif ou négatif, on trouve ( 1 4) np'nx-h ipz =pp 'm, ^

équation qui représente un plan évidenunent parallèle àOX.

Réciproquement, tout plan qui sera parallèle à OX» et représenté par une équation donnée

(i5) Rr->Tz = K,

128 CHAHTftE Vnl.

sera un plan diamétral du paraboloïde , puîsqu'en îdetitifiant l'équation (i4) avec (i5), on en déduira pour m et n des valeurs toujours admissibles

2K Rjp

167. l^ous les diamètres des paraboloïdes sont parallèles à Faxe de la surface^ car ces droites sont (n** 404) les intersections de deux plans diamétraux, et nous venons de voir que ceux-ci se trouvent toujours parallèles à OX.

Réciproquement, toute droite menée parallèlement à Taxe d'ufiL paraboloïde sera un diamètre de cette surface, puisque deux plans conduits par cette droite seront diamétraux (n® 166).

168. Des génératrices rectilignes. Il s'agit d'eo^aminer si une droite peut être appliquée dans toute sa longueur indéfinie sur un paraffoloïde j or, comme la forme limitée du paraboloïde elliptique fait assez prévoir qu'il ne saurait jouir de cette propriété , et que d'ailleurs il suffira d« changer le signe de p' pour appliquer les résultats à ce genre de surface, nous allons effectuer cette recherche spécialement sur le paraboloïde hyperbolique, dont l'équation avec les signes en évidence , est

(i6) py^-^pz*=pp'x.

S'il existe une droite située tout entière sur cette surface, &a projection horizontale sera de la forme

(17) jrz=flur4-€,

où a et 6 sont deux constantes indéterminées ; et le plan projetant représenté aussi par cette équation (17), devra

DISCUSSION DÏS SURFACES DÉPOUSVUSS DE GENTAE. 129

^onmer par sa combinaison avec la surface (i6), une intersection du second degré dont une branche soit recti-ligne j et par suite Fautre branche le sera pareillement. Or, «en éliminant x entre (i 6) et (i 7)5 parce que la projec* tien sur le plan YZ es,t la plus intéressante , on obtient

et pour que cette équation puisse se décomposer en deux facteurs du premier degré , il faut que le second membre soit un carré parfait, puisque le premier membre en est un , ce qui exige que Ton pose

or a 4*

Cette relation unique entre 6 et a laisse arbitraire une de ces quantités ; par conséquent il existera une infinité de droites situées sur la surface, et dont les projections, déduites des équations (17) et (18) où Ton aura substitué la valeur de 6 , seront

La troisième projection se déduirait de celles-ci par Télimination de y^ et aurait la forme

169. Avant d'aller plus loin, observons que ces résultats deviendraient imaginaires, si Ton changeait le

l3o GHAPITBE VIII.

signe du paramètre p'^ d'où il résulte cpie le parabolotde elliptique n admet aucune génératrice rectiligne.

170. Quant au paraboloïde hyperbolique, les diverses droites qu'il admet, pour des valeurs successives de l'indéterminée 4x , ont deux à deux une projection horizontale commune ; mais comme elles se distinguent sur les autres plans , on doit les partager en deux systèmes (A) et (B). savoir :

vf('-^> 1— V?M)^

Pour mieux apercevoir les positions respectives de très Fie. a4. lignes, séparons les trois plans coordonnés, en les transportant parallèlement à eux-mêmes jusqu'à une certaine distance \ et alors on reconnaîtra que les projections horizontales de toutes les génératrices des deux systèmes sont des' tangentes MT, MT, ... à la parabole principale y^ = px. En effet, si nous combinons cette dernière équation avec (19), pour avoir les points communs à ces lignes, il vient

résultat qui, étant un carré parfait, annonce que les abscisses des points de section de MT avec la parabole OA sont toutes deux égales , ainsi que les ordonnées qui se

DISCUSSION DES SURIACSS DEPOURVUES DE €£NTRE. l3l

déduiraient de (19) ^ par conséquent la droite MT est bien tangente à la parabole horizontale OÂ.

On s'assurerait d'une manière semblable , que les projections des génératrices sur le plan XZ^ lesquelles $ont représentées, pour chaque valeur de a, par la double équation (21), se trouvent des tangentes ES et RV, ... à la parabole principale -2" = — p'x.

171. Quant aux projections des génératrices sur le planYZ, les secondes équations des groupes (A) , (A') , (A"), . . . , où les coefficients des variables sont indépendants de a , a', . . . , montrent que ces projections sont des droites parallèles y NA , N'A', .... ; donc les plans projetants sont parallèles entre eux , et par suite , les génératrices dans l'espace se trouvent toutes parallèles à l'un de ces plans. Le paraboloïde hyperbolique offre donc cette propriété remarquable, que toutes les génératrices du système (A) sont parallèles à un même plan aO'X, qui a pour équation

ce plan, ou tout autre de même direction, se nomme le plan directeur des droites du système (A).

Une relation semblable a lieu pour les droites du système (B); car les secondes équations (B), (B'),. . . montrent que leurs projections sur YZ sont des lignes parallèles ^^^^^^\..r^àxm^ ces génératrices, danslespace, sont toutes parallèles au plan directeur iO'X, déterminé par l'équation

=-Vf

Observons que les deux plans directeurs se coupent

|32 CHAPITRE Vill. f

toujours suivant Taxe OX du paraboloïde , ou suivant une parallèle à cet axe; et ils se trouveraient perpendiculaires entre eux, si l'on SLyMp=p\

172. Deux droites quelconques (A) et (A') d^un même système ne se trouvent jamais dans un même plan. En effet, leurs projections sur le plan YZ sont parallèles: donc les génératrices en question ne se coupent pas; d'ailleurs elles ne sont point parallèles dans l'espace, puisque leurs projections sur XY se coupent nécessairement, comme tangentes à une même parabole : donc ces deux génératrices ne sont pas dans un même plan. Ainsi le paraboloïde hyperbolique, considéré comme le lieu des diverses droites {A), (A'), (A''), . . ., est une surface gaucJie(n** '1-49), mais qui offre cette circonstance particulière , que ses génératrices rectilignes sont toutes parallèles à un même plan aCXX.

Une conséquence analogue a lieu pour les droites du système 6, qui ne se trouvent jamais deux à deux dans un même plan.

FiG. a4. 173. Au contraire, une droite quelconque du système (A) coupe toutes celles de l'autre système. Cela est évident pour les génératrices (A) et (B), situées toutes deux dans le même plan vertical MT, et projetées suivant NA et NB; mais comparons (A) avec (B'). Leurs projections sur YZ se rencontrent en E ; et comme en menant de là Une parallèle à OX, elle n'ira percer le paraboloïde qu'en un seul point D ]}uisque l'équation de cette surface est du premier degré en :i: , il est certain que le point projeté en E etD, est commun aux deux génératrices. D'ailleurs l'analyse conduit à la même conséquence ; car, si Ton combine les quatre équations (A) et (B') du n® 170, on verra aisément qu'elles s'accordent à donner une même valeur pour fj après l'élimination des variables x et z.

1>ISCUSSION DES SUEFAGES IkEPOURVUES DE CENTRE. l33

On démontrerait d'une manière semblable , que chaque génératrice (B) coupe toutes celles du système (A).

174. Or , puisque le mouvement d'une droite est complètement déterminé par la condition de s'appuyer sur trois autres droites fixes (n^ 149) , il s'ensuit que si l'on fait glisser la génératrice (A) sur (B), (B') et (B")^ elle ne pourra prendre que les positions (A'), (A")^ . . . qui déjà rencontrent ces directrices, et ainsi elle décrira le paraboloïdç hyperbolique. Sous ce point de vue, cette surface, devient un cas particulier de l'hyperboloïde à une nappe (n° 150), puisque ici les trois directrices (B) , (B'), (B") satisfont (n** 171) à la condition de se, trouver toutes parallèles à un même plan iO'X.

D'ailleurs les mêmes raisonnements font voir que , si (B) glissait sur trois droites du système (A), elle parcourrait encore le même paraboloïde^ de sorte que ce mode de génération est double.

175, Observons enfin que le mouvement d'une droite est aussi complètement réglé, quand on n'assigne que. deux directrices, avec la condition que la droite mobile restera parallèle à un plan donné. En effet, si l'on coupe les deux lignes fixes par divers plans parallèles au plan directeur, et que l'on joigne par d^s droites les points de section de chaque plan, on obtiendra autant de positions, de la génératrice.

D'où il suit que le paraboloïde hyperbolique peut encore être engendré par la droite (A) assujettie à glisser seulement sur (B) et (B'), et de plus à rester parallèle au plan donné aO'X^ car elle ne pourra prendre ainsi que les positions (A'), (A"),... qui déjà satisfont à ces trois conditions.

D'ailleurs ce mode de génération , qui est le plus commode dans la pratique, est aussi double comme le pré^

l34 ' GHAPITEE VIII.

cèdent {n^ m)^ puisqu^on peut produire le même para-* boloïde en faisant mouvoir la droite (B) sur (A) et (A'), avec la condition qu^elle demeure parallèle an plan di-« recteur iO'X.

176. Réciproquement, lorsqu'une droite quelconque A glisse sur deux droites fixes B et B' non situés dan» le même plan, en demeurant parallèle à un plan donné j elle engendre toujours un paraholoïde hyperbolique.

Prenons le plan directeur donne pour le plan coordonné XY , et choisissons le plan XZ parallèle aux deux directrices B et B', en laissant arbitraires , du reste, Fori-: gine O et les deux axe* OY , OZ ^ alors les directrices rapportées à ces axes obliques , seront représentées éyi*. demment par

(B) fz=:h, xz=zaz -\-b^

(B') r = A'» x=:a'z-Jfb'.

La génératrice qui doit être constamment parallèle au plan XY, aura des équations de la forme

OÙ les quantités a , 6 , y sont des constantes indéterminées ; mais il faudra y joindre Içs relations qui expriment que cette droite mobile rencontre toujours chacune des deux directrices , relations que Ton obtient (n° 25) par Télimination des trois variables x^y^z^ entre les équations (A) et (B), puis entre (A) et (B'), et qui sont

(23) h' i=zoL{a''^-^b')-^t.

Le$ trois constantes a, 6, )/ se trouvant ainsi liées par deux équations, une d'entre elles, par exemple oe, reste

DISCUSSION DES SURFACES DEPOUAVUES DE CENTRE. l35

arbitraire; de sorte que si on lui attribuait diverses valeurs successives ce=i, a = 2,^..,on pourrait en déduire celles de è ety ; puis , eu substituant ces valeurs correspondantes dans les équations (Â), on obtiendrait succefisivement telle ou telle position déterminée de la droite mobile ; mais si au contraire on éHmine a , 6 , y entre les quatre équations (22) , (23) et (A) , le résultat conviendra alors à toutes les positions de cette génératrice , et sera par conséquent Téquation du lieu géométrique parcouru par cette droite. Or , par des soustractions évidentes, on élimine aisément S et y, et l'ou obtient

jr — h = a.(jc — az — b)y d'où Ton déduit , en éliminant a ,

(24) xz(a^a')-\-j{h-^h''\-^z{afh-'ah')-^x(h'—h)^hh''-h'h.

Cette surface est du second degré, et elle n admet point de centre^ car le ternie x{K — k) qui est de degré impair y ne pourra jamais disparaître (n*^ 94) en transposant les axes actuels parallèlement à eux-mêmes, puisque ce terme, étant le seul qui soit fonction de x, conservera toujours le même coefficient donné Qi — A). L'équation (24) représente donc un des deux paraboloides ; et c'est évidemment le ^araèo/oi'rfe hyperbolique, puisqu'en posant a: = 0, on obtient une hyperbole, ce qui ne saurait convenir (»^ 159) à l'autre paraboloïde; d'ailleurs, ce dernier n'admet pas (li^ 169) de génératrice rectiligne (*).

(*) Si Ton supposait h == h' y Péqoation (a4) m décomposerait en deux facteurs du premier degré, lesquels représentent deux plans qui se coupent. En effet , cette hypothèse revient à dire que les defux directrices B .

177. Si nous n'avions pas voulu offrir au lecteur m» exercice de calcul propre à servir de guide dans les eas généraux , nous aurions pu arriver à un résultat beaucoup plus simple, en choisissant les axes coordonnés d'une manière encore plus particulière. En ^et, en conservant le plan directeur donné pour le plan XY, on peut : i^ choisir Taxe OY de manière qu'il passe par les deux points où ce plan est rencontré par les directrices B et B' ; a** placer Torigine O au milieu de cette distance (*) ; 3^ conduire le plan XOZ suivant deux droites b et V me-^ nées par le point O parallèlement à B et B', ce qui déterminera la position de Taxe OX^ 4^ enfin, diriger l 'axe OZ de sorte qu'il divise en deux parties égales une parallèle à OX tracée dans l'angle bOb\ Avec de tels axes obliques j les droites B et B' se projetteront sur le plai> XZ suivant des lignes passant par l'origine , et elles auront évidemment pour équations

(B) x=z-^h, x = 'i-az, (B') X = — à y X z=z — az,

ta génératrice aura encore des équations de la forme

(A) 2 = 7> . X = ax'-h^; mais pour qu'elle s'appuie constamment sur (B) et

6t B' soDt sitaées dans un même plan y^^h^el alors la génératrice mo* bile, toujours parallèle au plan XY, i^ç peut plus prendre qqe Pun dç ces deux mouvements : i^ décrire le plan même des deux droites B et B'; ao passer constamment par le point de section de celles-ci , et décrire un plan parallèle à XY.

(*) 11 ne faut pas affirmer que cette distance, on cet axe OY, coïncidera avec la ylus courte distance des deux directrices , parce que cela supposerait que le plan directeur donné est perpendiculaire sur le plan parallèle à ces deux droites j ce qui peut ne pas arriver.

DISCUSSION DES SURFACES DÉPOURVUES DE CSNTEE. fS^

sur (B'), on trouvera les conditions

6=0, A = «ay ;

de sorte qu'en éliminant «,6,7 entre les quatre dernières équations , on obtiendra pour la surface demandée^

(25) ajz^nhxy

résultat qui pouvait se déduire de Téquation (a4)? ^^ y supposant &=o 9 i'=o,a' = — a, A'= — h.

178. Observons que sous les deux formes (24) et (aS), les plans XY et XZ sont évidemment les deux plans directeurs du paraboloïde, auxquels les génératrices des deux systèmes sont respectivement parallèles (jOl* 171}.; et ici leur intersection OX est seulement parallèle à Taxe principal de cette surface : aussi quand on pose z=zzJiy o\iy = kj on trouve pour section une droite unique ^

179. Démontrons encore la réciproque du mode de génération indiqué au û*' 174, en cherchant Téquation de la surface engendrée par une droite mobile A assujettie à glisser constoinment sur trois droites fixes B, B', B", qui sont toutes trois parallèles à un même plan : on sous-entend d'ailleurs que deux quelconques de ces droites ne sont pas dans un même plan, parce que Thyppthèse contraire ne conduirait qu'à trouver le système de deux plans dont la position est facile à prévoir d^ar* vance (n^ 154).

Prenons le plan XY paraUèle aux trois directrices B, B', B'', et la première de ces droites pour l'axe OX : di-r rigeons l'axe OY parallèlement à B', et enfin par le .podnt arbitraire O, où se coupent ces axes, menons-en un troisième. OZ qui rencontre à la fois les trois direci^

l38 GHAPIT&E VUi.

trices ^ alors ces lignes auront pour équaik»i&

(B') x=o, zz=zh, (B") f=^axy zz=zh\

La génératrice sera représentée par

mais pour qu'elle rencontre chacune des directrices, il faudi'a (n° 25) y joindre les conditions

(î = o, a^ -f- 7 = G, 6X -I- ^ = fl (aX- + 7),

et en raisonnant comme au n** 176, îl s'agira d'élimiiier a, 6, 7, (Î5 entre ces cinq équations. Si d'abord on substitue les valeurs des trois dernières quantités dans les équations (A), il viendra pour une position quelconque de la génératrice ,

(2b) xz=zcL{z-^h), yz::z^^— L^y

puis enfin , éliminant a , on obtiendra pour le lieu géojiaétrique cherché,

(27) kyZ'^a[h — h)xz-=hky.

Or, dans cette équation du second degré, le polynôme D (n^ 95) qui sert de dénominateur aux coordonnées du centre , se trouve évidemment nul 5 ainsi la surface ne peut être qu'un des deux paraboloïdes , ou bien un cylindre (n® 96). Mais, cette dernière hypothèse étant manifiestement incompatible arec la directicm des génératrices qui ne sont point parallèles entre elles, il demeure certain que la sutface (27} est un paraboloïde hyperhcn

DISCUSSION DES SURFACES DivOUAVUES DE GENT&E. ij^,

ligue j puisque Fautre paraboloïde n'admet pa& (n^ 169) de génératrice rectilîgne.

i80. En outre, il est aisé de reconnaître que les posi-v tiens (A), (A'), (A"),. . . de la génératrice se trouvent aussi, comme cela doit arriver dans un paraboloïde, toutes parallèles à un même plan. En eflTet, ces diverses positions sont représentées par les équations (26), dans lesquelles on attribuerait à a des valeurs arbitraires et successives a, a", a**,... : or, si on élimine entre elles la variable z, pour obtenir la projection de la génératrice sur le plan XY, on trouve

et puisqu'ici le coefficient de x est indépendant de a , il s'ensuit que sur XY les projections de toutes les génératrices sont parallèles entre elles ; d'où il résulte que , dans l'espace, toutes ces génératrices sont parallèles au plan représenté par l'équation

181 . Observons enfin que dans les deux modes de génération employés n°* 17ft et 179, les directrices prises deux à deux, comme (B) et (B'), ou (B') et (B"), se trouvent coupées en parties proportionnelles par les positions successives (A), (A'), (A"), . r . . de la génératrice. En effet, ces dernières droites étant toutes parallèles à un certain plan , on peut mener par chacune d'elles un plan parallèle à ce plan directeur , et l'on sait que trois plans parallèles divisent toujours deux droites quelconques en parties proportionnelles. Cette propriété sert à construire

l4o CHAMV&B VlUk

très-sirapiMnent un modèlee/i relief du paraboloïde kj-i perbolique, en employant un quadrilatère gauche y dont: on divise les côtés opposés en un même nombre de par^ ties égales, réunies par des fils : voyez la Géométrie d^s,-^, crlptii^e^ n^ 555 et 566.

fHÉOIliMES SUR LA SIMILITUDE DES COURBCS, etC. l4l

Théorèmes cUi^ers sur la similitude des courbes et des surfaces quelconques^ sur les sections parallèles dans les sivrfaces du second ordre ^ etc.

182. Similitude des coubbes. Deux courbes d'un degré quelconque , situées dans le même plan (bu dans des plans parallèles), sont dites semblables et semblablement placées , lorsque, après avoir pris dans la première un point arbitraire O , et mené divers rayons vecteurs OM , ON , . . . , on peut trouver dans la deuxième Fie. a5. courbe un point O' tel que les rayons vecteurs OXM', CN', . . . tracés parallèlement aux autres et dirigés dans le même sens , aient avec ceux-là un rapport constant ; c'est-à-dire qu'on doit avoir