OM "~ ON

Lorsque ces conditions se trouvent remplies pour deux centres de similitude O et O', il en existe une infinité d'autres. En eflet, prenons un point I arbitraire, et tirons parallèlement à OI, la droite OT sur laquelle nous porterons une longueur telle que

alors on démontrera aisément par des triangles sembla-

1^2. GHAPIT&B iX.

bles, que Jes rayons vecteurs IM et TM', IN etl'N',. . . sont respectivement parallèles et ont entre eux le rapport k : par conséquent les points I et I' seront encore deux centres de similitude côrt*espondants.

183. Il est bon d'observer que, dans les courbes semblables déforme et de position, les tangentes aux extrémités de deux rayons vecteurs homologues OM et O'M', sont toujours parallèles entre elles. Eii eflTet, les triangles OMN et CM'N', évidemment semblables, prouvent que les sécantes MN et M'N' sont parallèles 5 or, comme cette relation continuera de subsister à mesure que les rayons ON et O'N' formeront avec les droites fixes OM et O'M', des angles plus petits, mais toujours égaux entre eux, il s'ensuit que quand ces angles deviendront nuk ensemble, alors les sécantes, réduites à dei^ tangentes, se trouveront encore parallèles.

184. Si les rayons vecteurs qui sont proportionnels n'étaient pas respectivement parallèles, mais du moins formaient des angles égaux avec deux droites fixes OX et O'X', de direction différente, les coui*bes seraient semblables de formée seulement, et non de position. Alors, pour rétablir la similitude sous les deux rapports, il suffirait évidemment de faire tourner la seconde courbe autour de O', d'une quantité angulaire marquée par l'angle compris entre les droites OX et O'X'.

Enfin, si, après cette rotation, 09 transportait la seconde courbe parallèlement à elle-même ^ de manière à faire coïncider le point O' avec O, les deux courbes semblables deviendraient concentriques y quaùt à leur centre de similitude.

\ 85. Pour exprimer analy tiquemcnt les conditions de la similitude déforme et de position , représentons par

THEOREMES SUR LA SIMILITUDE DES COURBES, etC. 1^3

les é<{uation8 des deux courlïes rapportées aux mêmes axes cpielconques OX, OY; alors, en adoptant pour centre de Fie. a5. similitude de la première courbe Forigine O des coordonnées , il devra exister dans la seconde un centre correspondant 0\ dont nous désignerons les cooiïlonnées inconnues para, S. Or les triangles semblables MOP et M'O'P' montrent qu'on exprimera complètement la pro* portionnaliîé et le parallélisme des rayons OM et O'M', en posant Ie$ deux conditions

ou bien

dans lesquelles k est une constante inconnue , mais essentiellement positii^e^ à moins qu'on ne voulût admettre une similitude inverse j dans laquelle les rayons vecteurs proportionnels auraient des directions précisément contraires ; car, dans ce cas , les numérateurs des fractions (3) et (4) devraient être remplacés par a — x' et S — j-^ ce qui reviendrait à supposer k négatif.

Cela posé ^ puiscpie les coordonnées des deux courbes semblables (i) et (a) doivent avoir entre elles les relations (3) et (4) , si Ton tire de ces dernières les valeurs de X et jTj pour les substituer dans (i) , le résultat

devra se trouver identique avec Téquation (2)^ car l'une et l'autre expriment une relation entre les coordonnées de la seconde courbe rapportée aux mêmes axes. Il faudra donc, dans chaque exemple, ordonner et identifier \e^

l44 GBAPXTES IX.

équations (2) et (5); puis, voir si Ton peut satisfaire aux conditions qu'amènera cette opération, par des valeurs réelles et finies des constantes inconnues a, S et h, Tou-* tefois la dernière de ces quantités peut être imaginaire , sans que la similitude cesse d'exister sous le rapport analytique , ainsi que nous le verrons plus loin , dans les hyperboles conjuguées (n** 190).

186. Appliquons cette marche à deux courbes du second degré , représentées par

(6) Aj» H- Bxx -4- Co?^ H- Dr -h Ex -4- F = o,

{7) Ay -h B'^y + C'x'' -h DV -I- E'x' -h F' = o.

En substituant dans la première , pour x et y, leurs valeurs tirées des relations (3) et (4) , il vient

-+-(A6» 4-Ca» + Ba6 — ^D6 — ;tEa-hFiti)= o,

équation qui , devant être identique avec (7) , exige que Ton ait les cinq relations

, , A D* — 2A6 — Ba

A E^ — aCa — B6

, ^, A A€» -{- Ca* -h Ba6 — ^D6 — AEa H- FP

mais comme il y entre trois inconnues a, 6 et ifc, les conditions de similitude , proprement dites, seront au nombre de deux, qui s'obtiendront par Félimination des in-

THÉORÂMÊS SUR LA. SIMILITUDE DRS GOUKBSS, etC. t^S

connues; et d'après l'ordre adopté ci-dessus, ce sont le^ équations (9) et (10). Les trois autres serviront à déterminer «, ê et ky c'est-à-dire le centre et le rapport de similitude , comme nous l'expliquerons bientôt.

187. Il résulte des conditions (9) et (10) que deux courbes du second degré sont semblables et semblablement placées^ quand les coefficients des trois termes du second ordre, sont respectii^ement proportionnels dans les deux équations ; et comme en posant

il en résulte.