B^ — 4AC

puis , en substituant dans (i6), on obtient , après quelques réductions, une équation du second degré à deux termes, qui donne

, , ^ 4 / ~W(R'* ~ 4A^CM - lE\ Wty-iA'F^) '^ îyjWT.' - aC^DQ (.9) *- V*- aF(ft«-4AC) -.E(BD - aAÈ ) ^D(BJE; ^aCP )'

Cette valeur unique , puisque (n** 185) on doit prendre k positivement , ne fournira , dans les expressions de a et 6, qu'un centre unique qui corresponde à ^origi^e O des coordonnées , adoptée pour centre de similitude de la première courbe •, mais pour que a et S soient réels , il faudra en général que k soit aussi réel, condition qui ne dépendra point de la quantité numérique A, toujours positive, si Ton a eu soin de rendre tels les coefficients A' et A.

190. Toutefois , observons que le rapport de similitude k pourrait être imaginaire , et a , S réels , si dans les expressions (ly) et (i8) le coefficient de k se trouvait nul : et pour faire comprendre comment , dans un pareil cas , les conditions analytiques de la similitude continuent d^ètre remplies , nous çiteroQS Texemple de deux hyperboles conjuguées^ représentées par

ay^ — è»x' -H tt'A» = o, a'j"— è»x'« — a^h^ z= o.

On trouvera ici

lO.

l^S CHAPITRE IX.

ce qui indique que les deux centres de similitude coïncident avec le centre de figure commun aux deux courbes. Or, si de ce point on mène deux rayons vecteurs parallèles , terminés respectivement aux deux hyperboles , on verra que Fun est imaginaire quand Fautre est réel , et réciproquement ; mais en calculant leurs expressions analytiques, on trouvera qu^elles sont de la forme

de sorte qu^il sera vrai de dire que leur rapport est constant et égal à \/ — i .

191 . Les diverses sections parallèles ^zYe^ dans une même surface du second ordre, sont des courbes sentrblables de forme et de position. Considérons d'abord les surfaces douées d'un centre , et combinons leur équation générale

(ao) Pje' -(- py 4- pv = H

avec celle d'un plan quelconque

(21) z = éld? -f- ^>- -f- ^.

En éliminant z , la courbe d'intersection , projetée sur le plan XY, sera représentée par

(22) (P + PV)x» + (P' 4- P^'^V ■+■ 2P"fl^jy + 'i.V'a^x H- 2P"Aay + V"^ — H = o ;

et pour obtenir la section faite par un autre plan

z=ax -{-hx -^ S'y

parallèle au plan (21), il suffirait évidemment de remplacer i par â\ dans l'équation (22). Or ce changement

l>Rlh)RàMBS SUK LA SIMILITUDE DES COURBES, etC. l49

n^altérant pas du tout les coefficients des termes du second degré qui sont ici indépendants de ^, il s^ensuit que les conditions (9) et (ïo) du n® 186 se trouveront bien vérifiées^ et par conséquent {fig^ ^5) les projections MN . . . Fio. a5. et M'N'. . . des deux sections parallèles ^ero/it^emi/ai/e^ de forme et de position. J^ajoute qu'il en est de même de ces courbes dans l'espace 5 car si , par les rayons vecteurs parallèles OM et O'M', ON et O'N', . . . , on mène des plans verticaux, ils couperont évidemment les plans des deux sections suivant des droites parallèles deux à deuXj et que je désigne par om et oW, on et o'n\ • . . En outre , il est facile de voir que l'on aura entre ces droites et leurs projections les relations suivantes (n^ 67)

OM = om . cos a , ON = on . cos 6, . . . , (yW == o'm'.cos a , O'N' = oV.cos 6, ... ;

mais comme la similitude des deux courbes MN ... et M'N'. . . donnait les rapports égaux