OM ON

on conclura des égalités précédentes la nouvelle suite de rapports égaux

om on , ^

o'/îi' oW

ce qui démontre bien la similitude de forme et de position , pour les courbes mn ... etm'n'.,, situées dans l'espace.

^ 192. Pour trouver le lieu des centres de toutes les sections parallèles au plan (21), observons que le centre d'une courbe dans l'espace se projette toujours sur le centre de

l5o CHAPiTaS IX.

la projection. Or, celui de la coia*be (aa) sera donné, comme pour une ^surface du second degré (n"" OS) , en égalant à zéro les dérives relatives à a: et ky^ c'est-à-dire par les é({uatîons simultanées

(24) (p' -h P"ô»)r 4- F^'abx 4- F'^bS = o ;

puis, en y joignant Téquation

(21) z = ax -t by -\- S

du pian £»écant, dans le^el doit être évidemment situé le centre cherèlié , on pourrait calculer les trois coordonnées du centre de la section qui , dans Tespace , répond à une valeur donnée de â. Mais si , au contraire , on élimine cette constante , variable d'une section à une autre , entre les équations (21), (aS) et (24), on obtiendra le lieu de tous les centres des sections paraUèles ; or, en iirant de (2 1) la valeur de â pour la s^ibstituer dans (23) et (24) ^ on trouve

(25) • Px -f- f'az = o,

(26) Vy -4- P"6z = o,

c'est-à-dire une droite passant par l'origine des coordonnées, qui est ici le centre de la surface (20) : donc le lieu des centres de tùiUes les sections parallèles est un diamètre de la surface,

193« Il est bon d^^bserver ^e ce diAmètrp efit conjugué avec celui des plans sécants qui passe par le centre de la surface. En effet, les équations précédentes reviealient à

THiORÂMBS SUR LA SIMILITUDE DKS GOU&BKS, etC. l5l

et réquation du plan diamétral conjugué avec ce diamètre , étant en général (n^ 105) de la forme

€Nf d4> d^

dx djr dz

elle deviendra pour la surface (20) ,

Vmx + P'/ïj -+■ P''z = o;

puis , par la substitution des valeurs précédentes de m et de n y elle se réduira à

z =2 ax -{- bjr,

qui représente bien un plan parallèle à celui de Téqua*don (ai).

194. Lorsque le plan sécant (21) a une direction pro« pre à donner des sections paraboliques , on pourrait se demander comment les centres de ces courbes se trouveront sur le diamètre (aS) et (26); mais si Ton cherche la con-dition nécessaire pour que Féquation (22) représente une parabole , on verra qu'elle rend en même temps ce diamètre parallèle au plan sécant , de sorte que leur rencontre, qui aurait dû donner le centre delà courbe , n'a ef-* fectivement lieu qu'à Tinfini.

195. Quant aux surfaces dépourvues de centre, qui sont toutes deux comprises dsftis Téquation

(27) py^ -+. pz^ = Pp'jCy

la section faite par un plan quelconque

(28) X = bf -h cz '^- Sy •

aura pour projection sur le plan YZ,

(29) py 4- pt* — pp'hy — pp'cz — pp'd = o ;

|52 CHAPITBE IX.

et puisqu'on faisant varier â seulement , les coefficients des termes du secoiid ordre ne changent pas , on en con.clura , comme au n^ 191 , que les sections parallèles sont^ dans Fespace , semblables et semblablement placées,

196. Le centre de la courbe (29) sera déterminé par les dérivées de son équation , égalées à zéro , savoir

et le centre de la section dans Tespace s^obtiendrait en joignant à celle-^ci Téquation du plan sécant ^ mais puisqu'il faudrait (n^ 192) éliminer entre eUes la constante i pour avoir la ligne des centres , il s'ensuit que cette ligne est déterminée par les équations (3o) et (3i) , qui se trouvent ici indépendantes de â. Or, comme ces équations représentent une droite parallèle à l'axe OX du paraboloïde , on doit en conclure que le lieu des centres des sections parallèles est encore un diamètre de la surface, d'après ce que nous avons prouvé au n^ 167 sur les diamètres des paraboloïdes.

197. On verrs^ aisément qu'ici le diamètre, lieu des centres , a son plan diamétral conjugua situé à une dis- ^nce infinie , et que ce diamètre disparaît lui-même lorsque le plan sécant a une direction propre à donner des sections paraboliques. En effet, pour obtenir de telles courbes , il faudrait (n®* 159 et 163) rendre le plan sécant (28) parallèle à l'axe OX , ce qui s'effectuera en posant

è — - — - ^ — et ensuitç a = o ; mais comme cela revient à faire ^ =5 oo

THÉOaEMES SUK LA SIMILITUDE DES COURBES, etC. l53

et c =: 00 , on voit qu^alors le diamètre représenté par les équations (3o) et (3i) s'éloigne tout entier à Fintini.

198. On peut déduire de ce qui précède, un mode de génération commun à toutes les surfaces du second degré, et qui en fournit la définition la plus propre à se prêter aux constructions graphiques de la Géométrie descriptive. Concevons que dans un^ ellipse ABDE , on ait tracé un Fie. a6. diamètre quelconque AD, et l'une de ses cordes conjuguées B£ ; puis que , dans un plan passant par cette corde et incliné d'ime quantité arbitraire sur le premier, on ait construit une seconde ellipse BCE ayant pour diamètres conjugués la corde BE et une ligne quelconque 2OC5 alors, si l'on fait mouvoir cette dernière elWj^se parallèlement à elle-même^ de manière que son centre O parcoure la droite AD, et que, ses diamètres conservant un rapport constant j le premier devienne successivement égal aux diverses cordes B'E', B'^E",. . ., on engendrera une surface qui sera évidemment un ellipsoïde , puisqu'elle sera le lieu de sections parallèles , semblables entre elles , et ayaint leurs centres sur le diamètre AD , lequel sera conjugué avec le plan mené par le centre O", parallèlement à l'ellipse mobile.

Si, d'ailleurs, on veut confirmer cette conséquence par un calcul direct , on imaginera trois axes coordonnés obliques, menés par le centre O", parallèlement à OA, OB , OC 5 l'ellipse directrice sera représentée alors par les équations *

et l'ellipse variable par

l54 CHAMTEB IX.

mftis pour qu'elle ait un point commun avec la première , et que ses diamètres conservent un rapport constant , il faudra y joindre les relations

alors, en éliminant de ces quatre équations les constantes variables a, b\ c\ on arrivera aisément à

199. Pour obtenir, par ce mode de génération, les deux hyperboloïdes , il suffirait de remplacer l'ellipse directrice ABDE par une hyperbole dont AD fut un diamètre imaginaire, ou bien un diamètre réel. Quant au paraboloïde elliptiq[ue, il faudrait prendre pour directrice une parabole \ et si en même temps on substituait â la génératrice BCE une hyperbole dont BE fût le diamètre réel, on obtiendrait le paraboloïde hyperbolique. Seulement il faut observer, dans ce aernier cas, que l'hyperbole mobile arrivée en A se réduirait à ses asymptotes, et qu'au delà, la corde BE = 2i' devenant imaginaire, l'hyperbole se renverserait. En effet, ses diamètres ai'

et 2C V — I devant conserver un rapport constant, le second deviendra %c' quand le premier se changj^ra en afe'y— Y: ces circonstances sont d'ailleurs conformes a la nature du paraboloïde hyperbolique. (Voyez la Géornétrie descriptive, nP 89.)

200. Similitude des surfaces. Deux surfaces d'un degré quelconque sont dites semblables déforme et de position, lorsque, après avoir mené dans la première

TfiEOREHiES SU& LA SIMtltftmft DKS COURBES ^ etC. l55

divers rayons vecteurs partant tons d'un même point arbitraire ) on peut trouver dans la seconde un point tel que les rayons vecteurs de cette surface ^ dirigés parai** lèlement aux premiers et dans le même sen^ , aient avec ceux4à un rapport constant*

D'aprèe cela^ si les surfaces rapportées aux mêmes axes ooordonnés sont représentées par

et si l'on désigne par (a, 6, y) le centre de similitude qui , dans la seconde surface , correspond à l'origine des coordonnées prise pour centre de la première , on verra aisément, conmie au n^ 185, que les conditions du paraïlélisme et de la proportionnalité des rayons vecteurs sont exprimées analytiquement par les relations

de sorte qu'en tirant de là les valeurs de x , j", ^ , pour les substituer dans F (x , j^, ^ ) = o , le résultat devra pouvoir être identifié avec F' {x\y\ ^') = o.

201 . Si l'on applique cette marche à deux surfaces du second degré , représentées par

(33) Ax*-+-A'r«4-AV-f-Br«-i-B'x«rt,BVH-Cx4-C'i'-hC''«-hE==o,

on trouvera^ pour établir l'identité comme au n^ 186, Ticaç^équations dont les dnq premières , savoir ,

a a' a" h h' h seront indépendantes des inconnues « , 6 , y , X^ , et par

)56 CBAPIT&B IX.

conséquent exprimeront les véritables conditions de la similitude^ les quatre dernières suriront à déterminer ces inconnues, quand les conditions (35) seront remplies.

202. On prouvera aisément, comme au n^ 187, <jue les relations (35) expriment que les deux surfaces (33) et (34) ont leurs axes principaux respectivement pa" rallcles et proportionnels. Il en résulte évidemment que deux diamètres menés dans ces surfaces sous la même direction, atiront~ leurs plans diamétraux conjugués parallèles l'un à l'autre.

203. Quand les deux surfaces (33) et (34) satisfont aux conditions de similitude (35), et qu'elles se coupent, la ligne d^ intersection est toujours plane. En effet, si l'on pose

et qu'on multiplie l'équation (34) par A, pour la retrancher de (33), il restera

(C — ch)x + (C' — c'h)x + {d' — c''h)z 4- E — eA = o ;

équation d'un plan qui, combinée avec une des deux proposées , devra donner tous les points communs aux deux surfaces : mais si ce plan ne les rencontre pas , l'intersection sera imaginaire*

On peut d'ailleurs observer que le plan de la courbe de section se trouve parallèle au plan diamétral qui, dans l'une ou l'autre surface , est conjugué avec la droite menée par les deux centres^ et pour s'en convaincre plus aisément, oa supposera que les axes coordonnés sont choisis parallèles aux axes principaux, ce qui ne change rien à la situation relative des surfaces. Fie. 37. !^4. {uoi^que deux surfaces d'un ordre quelconque

TH^ORiMES SUR LA SIMILITUDE DtS COURBES, etC. iS*]

sont semblables de forme et de position, et que leurs centres de similitude coïncident en O, si on les coupe par deux plans parallèles MNP, M'N'F, dont les distances au point O soient dans le rapport i : k des rayons vecteurs homologues , les sections ainsi obtenues seront nécessairement des courbes semblables. En effet, le» rayons OM, ON, OP, . . . menés aux différents points de la section faite par le premier plan , sont rencontrés par le second en des points qui donnent évidemment les relations

et par conséquent les points M', N', P^, . . . . sont bien sur la deuxième surface. D'ailleurs, en projetant ces rayons parallèlement à une droite quelconque O &)'&>, on aura aussi entre les projections , les rapports

donc les deux sections sont semblables, et leurs centres de similitude sont en (ù et (ù'.

20S. Supposons en outre que les surfaces en question soient du second degré , que O se trouve leur centre de figure , et que ]a droite arbitraire Oct>' (ù soit le diamètre conjugué avec le plan diamétral parallèle aux plans sécants : les points o) et c*)' deviendront (n^ 193) les centres de figure des deux sections. Mais le plan MNP coupera la seconde surface suivant une courbe mnp semblable avec M'N'F (n^ iOl)? ^t par conséquent semblable avec MNP, et dont le centre sera en a>. D'où il résulte que deux surfaces du second ordre, concentriques et semblables de forme et de position, sont coupées par un

l58 CHAPITKB IX.

même plan quelconque suivant des courba semblables , semblablement placées et conoentrîgues.

Cette proposition s^applique avec avantage dans plusieurs questions de Géométrie descriptive, et entre autres à Thyperboloïde comparé avee le c^ie asymptote qui lui est semblable (n° 138); on en conclut que, pour trouver le centre et r espèce de la section que produira damla première surface un plan sécant donné, il suffit de chercher le centre et Vespèce de la seetien produite par Id'méme plan dans le cône asymptote ^ ce qui offre ui\,e construction facile, et quelquefois la seule praticable.

206. On s'appuie souvent aussi, dans la Géométrie descriptive, sur une propriété des surfaces du second ordre qui ne suppose nullement leur similitude , et dont voici l'énoncé.

Lorsque deux surfaces quelconques de cet ordre se coupent suivant une courbe plane y laquelle est par conséquent du second degré, il existe en général une autre ligne d'intersection, puisque la combinaison des équations des deux surfaites conduirait à un résultat du quatrième degré : or , cette seconde section est également plane f et c'est ce qu'on exprime en disant que , quand la couxBE n'sifTRÉE est plane, la courbe de sortie Pest pareillement.

Pour justifier cette assertion , il ne suffirait pas de dire que l'équation finale diu quatrième degré résultant de l'élimination d'une des variables, devra, dans PhypothèsiC admise, se décomposer en deux facteurs dont un appartienne à la courbe d'entrée , et dont Tautre soit par conséquent aussi du seeond degré : car cela prouverait seulement que la courbe de sortie se projette suivant une ligne du second ordre , mais ne ferait rien connaître de

THÉORÈMES SUR LA SIMILITUDE DES COURBES, etC. iSg

certain sur la nature de la section dans Tespace. Concevons donc les deux surfaces rapportées à trois plans coor^ donnés , dont un , par exemple le plan XY , soit celui de la courbe d'entrée commune aux deux surfaces (*); et dans cette hypothèse, représentons leurs équations par

(36) Ar*-hA'r*-+-AVH-Bir«H-B'a-«H-B''xr-+-0 4-C>-hC''«H-E = o,

(37) ua* -^- a'jr* -h a "z* ■+■ byg-i- h'xz + h'xy 4- ex -H <;'r H- c *« -h c = o.

Il devra exister alors , entre les coefficients , certaines relations provenant de ce qu(^ les deux surfaces ont une courbe commune située dans le plan XY -y en effet ,. si Ion posç z = o , il faudra que les deux équations

Ax* 4- Ay -+- Wxy -f- O + C'j^ -+- E = o, aa^ -f- a'j' + h"xy 4- cj: + c'y -4- e =r o,

soient identiques , et par conséquent les coefficients de Tune ne devront différer de ceux de Fautre, que par tm certain facteur commun X ; ainsi on aura nécessairement les conditions

(38) A = aX, A' = «'>, B" = y'>, C = c\ C' = c'X, E = <?X.

Cela posé, pour obtenir l'intersection complète des deux surfaces (36) et (37), combinons leurs équations, en multipliant la seconde par X et la retranchant de la première \ il restera , en ayant égard aux relations (38),

(39) (A''— «n>»^ (B — b\)yz'\- (B'— h'\)xz -f- (C— (^\) z =0.

Cette équation représente tme nouvelle surface qui contient encore tous les points communs aux proposées ^ et

(*) Cptte démonstration , remarquable par sa simplicité et sa rigueur^ «tt due à M. Binel, ainsi que la remarque du n<^ 900.

l6o GHAPIT&t IX.

qui, combinée avec l'une d'elles, fera con&aitre les diverses branches de Tintersection cherchée. Or Téquation (39) se décompose en ces deux-ci ,

z = o, (4o) (A" — an)z ■+.(B~- è%-h(B' — ^'X)x-+-(C" — c"X) = o,

dont la première fera retomber sur la courbe d'entrée; tandis que la seconde, qui représente évidemment un plan, ne pourra donner par sa combinaison avec (36} qu'une courbe de sortie plane.

207. Toutefois il peut arriver que cette seconde section n'existe pas; car, si les coefficients des trois variables dans l'équation (4o) étaient nuls ensemble, ce plan se trouverait tout entier à une distance infinie , et l'on rentrerait dans le cas du n^ 203, puisque les surfaces satisferaient évidemment aux conditions de la similitude. D'ailleurs, sans admettre ces hypothèses très -particulières, s'il arrive que le plan (4o) ne rencontre pas la surface (36), la courbe de sortie sera imaginaire ; mais toutes les fois qu'elle existera , elle sera plane.

208. Il est un cas particulier qui offre une circonstance remarquable : c'est celui où Féquation (4o) se réduirait d'elle-même à

(A'' — a ">) z = o ou z = o,

ce qui ferait coïncider la courbe de sortie avec la courbe d'entrée. Alors il ne faut pas croire que les deux surfaces proposées se coupent suivant une seule branche plane, comme cela arrivait dans le cas de la similitude (n^ 203) \ mais , à cause des deux racines égales qu'admet l'équation (39) réduite ici à ^* = o, on doit dire qu'il y a deux branches d'intersection réunies ensemble , et qu'ainsi les surfaces sont tangentes entre elles tout le long de cette

THÉOEÈMES SUR LA SIMILITUDE DES COURBES, etC. l6l

courbe commune. Dans ce cas , les deux surfaces sont dites circonscrites Vuite à Vautre le long de la courbe située dans le plan XY, comme un cylindre ou un cône est circonscrit à une sphère le long d'un cercle.

209. Observons enfin que quand deux surfaces quelconques du second ordre ont un plan principal de com,'^ mun^ quelle que soit d'ailleurs la position des axes principaux , la ligne d'intersection est toujours projetée sur ce plan principal suiv^ant une courbe du second degré.

En effet, si Ton conçoit les deux surfaces rapportées à trois plans coordonnés rectangulaires, dont un, par exemple le plan XZ, coïncide avec le plan principal qui est commun aux deux surfaces, leurs équations ne devront alors renfermer (n** 101) aucune puissance impaire de la variable jfy et seront de la forme

Aor* H- Ay 4- A'V -+- B'xa -+- Cj? -h C^ -f- E = o , aa^ -f- a'x^ -h « V -f- b'xz -f- co: -h c'^z-h « = o;

de sorte que si on les retranche, après les avoir multipliées respectivement par a' et A', la coordonnée y se trouvera éliminée, et il restera une équation du second degré pour la projection de l'intersection sur le plan XZ. Cette remarque peut servir dans Y Épure relative à l'intersection de deux surfaces de rés^olution dont les axes se rencontrent^ puisque alors tout plan méridien est nécessairement un plan principal, et que celui qui passe par les deux axes , est évidemment commun aux deux surfaces proposées.

Des Sections circulaires dans les surfaces du second

ordre.

210. Il s'agit d'examiner si toutes les surfaces du second ordre peuvent être coupées suivant des cercles, par des plans convenablement inclinés ; et comme , dans ces surfaces, les sections parallèles entre elles sont toujoui's semblables,, il suffira de chercher parmi tous les plans menés par un même point , le centre ou le sommet , quels sont ceux <jui donnent des sections circulaires.

211. Les surfaces douées d'un centre sont représentées par l'équation générale

(i) Vx^ -h Py -f- P'V = -f- H,

où nous supposerons toujours que H a été rendu positif, et qu'il existe entre les coefficients des variables, les relations de grandeur

Lorsque ces relations qui n'excluent pas VégaUléy et où nous tenons compte des signes de P,,P', P'', ne seront pas vérifiées par l'équation donnée , il suffira d'y remplacer X pary ou par z , pour retomber sur l'hypothèse actuelle : et comme d'ailleurs un, au moins, de ces coefficients doit être positif, ce sera P qui remplira toujours cette condition ^ de sorte que les longueurs absolues des

DES SECTIONS CIRCULAIRES DANS LES SURFACES , CtC. l63

€ixes ou diamètres prin'cipaux , seront données par les équations

212. Cela posé, si nous menons par le centre, qui est ici l'origine des coordonnées , un plan quelconque , et que nous voulions obtenir la section même , et non pas seulement sa projection , il faudra recourir aux formules établies n® 85 , savoir,

x =r j:' ces ^ -^ y' CCS G . sin f , y = x^ sintf — /'cosô.cosf, z = y' sin ,

où les coordonnées x\ y\ sont parallèles aux deux axes rectangulaires OX', OY', situés dans le plan sécant (yî^. i5), et dans lesquelles 6 désigne Finclinaison de ce plan sécant sur le plan XY, et y Fangle que forme sa trace avec l'axe OX. En substituant donc dans (i), et supprimant les accents , il vient

(4) Pcos'ç P'sin>

x' -h aP ces f sin ^cos 6 — 2P'cos f sin ^ ces

xy -f- Pcos' 6 sin*^ P'cos^Ocos'fp P"sin»

Pour que cette équation en coordonnées rectangulaires représente un cercle , il faut et il suflSt que le rectangle des variables disparaisse, et que les carrés aient des coefficients égaux;-, on doit donc satisfaire aux conditions

(5) (P — P')sinf cos«cos0 = o,

(6) P cos^ ç -h P' sin^ ff = cos* (P sin»ç 4- P' cos^ (p) -h P"sin' 0.

Or, comme P et P' sont en général inégaux, on ne peut

l54. CHAPITRE X«

vérifier la première que de trois manières :

sin f = o , cos f = o , ou cos = o.

L'hypothèse sin ç = o , réduit l'équation (6) à

P' 4- P" tangue

P = P' co5'9 -h P'^sin'Ô = -— tI-,