I -H tang'ô

d'où l'on déduira la vaWur de tang 6, que nous emploierons de préférence au sinus , parce que les résultats seront plus symétriques et plus simples à discuter : puis, en opérant de même pour les deux autres hypothèses , on obtiendra les trois systèmes de valeurs qui suivent :

sin (p = o avec tang Ô = ± y p^p,/ ,

/p — p^ «ange -± ypTTp'''

(8) ces flp = o

/p — p" (9) ces 9 = o tang ff =± V r-F'

Dans le premier système, le plan sécant passerait par l'axe OX ] dans le second, qui se déduit du premier en changeant P en P', le plan passe par OY ^ et enfin il passe par OZ dans le troisième système , qui se déduit du second en y changeant P' en P".

D'ailleurs , si nous négligeons , dans l'équation (5) , la solution fournie par l'hypothèse particulière P — P' = o, c'est qu'elle conduirait évidemment dans (6) au même résultat que les formules ( 7) et (8) quand on y pose P = P'.

213. Maintenant, la discussion des valeurs obtenues pour les angles et (f, devient bien facile par les conditions (2) admises précédemment 5 car on voit tout de

DES SECTIONS GI&CULAIR&S DANS LES SUEFAGES, etC. l65

suite que les formules (7) et (9) sont nécessairement imaginaires j quand P, P', P", sont inégaux, et qu'elles ne donnent rien de plus que les formules (8) , lorsque quelques-uns de ces coefficients sont égaux entre eux. Il ne reste donc , pour déterminer un plan sécant propre à donner des sections circulaires , que les valeurs

(8) cosf = o, tango =±: y/l^— L;

lesquelles montrent que ce plan doit passer par Vaxê OY, et qu'il peut avoir deux positions symétriques , représentées par la double équation

(lo) z=zx tango =z±. X y/^^—^;

mais il importe d^ examiner quel est, dans chaque surface douée d'un centre, celui des diamètres principaux qui coïncide avec l'axe OY par lequel doit passer le plan sécant. .

214. Ellipsoïde. Ici les trois coefficients P^ P', P'', sont tous positifs , et la condition admise

P>P'>P" revient à «<6<c;

de sorte que le diamètre principal 2,b qui coïncide avec OY, est raxe moyen de Tellipsoïde \ d'ailleurs l'inclinaison du plan sécant devient

tango =±-y/^^-^„

quantité facile à construire ^ mais il vaudra mieux déterminer graphiquement la trace du plan sécant sur TcUipse

l66 CHAPITES X.

qui a pour axes aa et ac, et Ton verra bien qu'il suffit de chercher dans cette courbe un diamètre qui soit égal à 2&. 215» Lorsque rellipsoïde est de réuolutiorij on ne peut admettre ) d'après la relation (â), que les égalités suivantes :

P = P', d'où a := b,

ou bien P'= P", d'où b = c;

dans l'une et l'autre hypothèse, les deux valeurs de 9 se réduisent à une seule , d = o ou = 90^, ce qui annonce que le plan sécant n'est plus susceptible que d'une position unique , dans laquelle il passe par les deux axes égaux.

216. Enfin , si l'on avait P = P' = P\ la formule (8) donnerait pour 9 une valeur indéterminée^ et en outre il en serait de même de l'angle y , car alors les équations (5) et (6) se trouvent vérifiées identiquement. Dans ce cas, tout plan sécant quelconque donnera donc une section circulaire; et en effet, la surface (i) devient alors une sphère.

217. Hyperboloïde à une nappe. Pour cette surface, un seul des coefficients est négatif, et ce doit être P" d^près la relation (2) ; d'ailleurs cette même relation , combinée avec les équations (3) , entraine la condition a < ft , sans rien faire connaître sur la grandeur absolue de c. D'où il résulte que le diamètre principal ib par lequel passe le plan sécant qui donne des sections circulaires, se trouve ici le plus grand des deux axes réels; mais il peut être plus grand ou plus petit que 2e. La position du plan sécant se déterminera graphiquement comme au

218. Pour rendre l'hyperboloïde à nappe de résolution, il faut admettre que les deux coefficients de même

DES SECTIONS CIHGULAIRES DANS LES SURFACES, etC. 167

signe, P et P', sont égaux ^ et alors la formule (8) donnant 6 = 0, mettre que le plan sécant n^admet plus qu'une direction unique , où il passe par les deux axes égaux, ^

219. Hyperboloïde à deux nappes. Ici il faut supposer négatifs deux des coefficients , et ce sont nécessairement P' et P", d'après la relation (2). Cette relation donne aussi

sans qu'il en résulte aucune condition sur la grandeur du seul axe réel 2a \ par conséquent le diamètre principal ib par lequel passe le plan sécant , est ici le plus grand des deux axes imaginaires,

A la vérité, le plan sécant déterminé par la formule (8), et mené par le centre de Thyperboloïde actuel , ne donnerait qu'un cercle imaginaire^ puisque l'équation (4) deviendrait ici

cela tient à ce que le plan sécant se trouve placé dans rîntervalle qui sépare les deux nappes de l'hyperboloïde ^ mais en menant un plan parallèle à celui-là et assez éloigné du centre, on obtiendrait une section réelle et circulaire j puisqu'elle satisferait, du moins analytiquement , aux conditions de la similitude avec la première section.

220. Ici , il ne peut y avoir égalité qu'entre les deux coefficients négatifs P' et P"; et comme cette hypothèse introduite dans la formule (8), donne = 90*', il s'ensuit que le plan sécant n'est plus susceptible que d'une direction unique, dans laquelle il passe par les deux axes imaginaires & et c qui sont égaux, La surface est alors de

l68 CHAPITRE X.

rév^olution autour de l'axe réel a \ et la grandeur de celui-ci, ou de P, ne modifie jamais les conséquences précédentes.

221 . n résulte de cette discussion que , pour les surfaces douées d'un centre , il n'y a que deux directions dans lesquelles un plan sécant mené par le centre puisse couper la surface suwant un cercle. Ces deux directions sont perpendiculaires à un même plan principal^ et tous les plans parallèles à Tune ou à l'autre de ces directions fournissent deux séries de sections circulaires, dont les centres sont sur deux diamètres qui , d'après le n*^ 193 , se trouvent nécessairement dans le plan principal dont nous venons de parler.

Dans l'ellipsoïde, ces plans sécants passent toujours par Vaxe moyen , ou lui sont parallèles.

Dans l'hyperboloïde à une nappe , ils passent toujours par le plus grand des deux axes réels , ou bien lui sont parallèles.

Dans Thyperboloïde à deux nappes, 'ces plans sécants sont tous parallèles au plus grand des deux ojces imaginaires.

Enfin , les deux séries de sections circulaires se réduis sent à une seule , quand la surface est de révolution.

222. Les conséquences et les formules trouvées n^ 213, s'appliquent à un cône quelconque du deuxième d^ré, puisqu'il suffirait, pour obtenir cette surface, de poser H==o dans l'équation (i), et que les valeurs de et de y sont indépendantes de H. C'est pour cela que, dans un cône oblique à base circulaire EBD , il existe , outre les

FiG. a8. sections parallèles à la base , d'autres sections nommées anti-parallèles j qui sont également circulaires , comme on le démontre en Géométrie (*) 5 il est facile alors de re- ' ... I ..III » I ..I I I , ■ . I I II I ■ . I II . I

(*) Voyez la Géométrie descriptive , n^ 747.

DBS SECTIONS GIRCULAI&BS DANS LES SURFACES, etC. 169

trouver graphiquement les plans principaux et là direction des eûtes de ce cône , (pioique les longueurs de ces axes soient niulles (138). En eifet, la droite 01, sur laquelle sont les centres d'une série de sections circulaires , est un diamètre de la surface qui , d'après le n^ 221 , doit se trouver dans un plan principal perpendiculaire au cercle DE \ donc ce plan principal s'obtiendra en le faisant passer par 01 et par la perpendiculaire OP abaissée sur la base. Cela posé, le plan principal POI coupe le cône suivant deux arêtes OD , OE , et la droite OA , qui divise en deux parties égales l'angle de ces arêtes, est nécessairement un des axes principaux de la surface ^ d'où il suit que le plan OAB, mené à angle droit sur POI, est le second plan principal, et le troisième devra être mené par le centre O perpendiculairement aux deux premiers. D'ailleurs , les intersections de ces trois plans fourniront les axes principaux de la surface conique.

223. Examinons maintenant s'il existe des sections circulaires dans les paraboloïdes , représentés l'un et l'autre par l'équation

(il) p'f-irpz^=pp'x,

pourvu qu'on y suppose p' négatif quand il s'agira du paraboloïde hyperbolique. Si nous menons le plan sécant par l'origine des coordonnées, qui est ici le sommet de la surface, la section rapportée à des axes rectangulaires situés dans son plan , sera donnée par la substitution , dans l'équation (ii), des formules déjà employées,

a: = j:' cos 9 -h ^' cos 6 sin <p, y z=z x' sin(j> — y' cosô cosç , z = jr ' sin ô,

l'JO CHAPITRE X.

et il viendra

Pour que cette équation représente un cercle, on sait qu'elle doit satisfaire aux deux conditions

(i3) /7'sin(pcos(pcos9 = o,

(i4) />' sin*^ = />' C08* ô cos* (f -H/?sin* 6.

Or, la première serait vérifiée par l'hypottèse sin 9 = 0^ mais cette valeur doit être rejelée , parce qu'en rendant égaux les coefficients de x^ et dej^' dans l'équation (12) , elle les réduirait à zéro, et la section ne serait plus un cercle.

Il reste donc les deux systèmes de valeurs suivantes, ,

(i5) cos<j) =r o avec sin =r db \/ — >

(16) ces© = sin cp = ± \/~,»

224. Cela posé , dans le paraboloïde elliptique , p et // sont de même signe: ainsi les systèmes (i5) et (16) sont tous deux réels ^ mais comme il faut de plus qu'im sinus soit moindre que l'unité , un seul de ces systèmes sera admissible. Si donc on a p^p\ on devra adopter cos 5) = o , et le plan sécant passera par l'axe OY; il pourra d'ailleurs recevoir deux directions représentées par

= :i;tang9=:±,ry--^,

P—P et par conséquent tous les plans parallèles à Tune ou à

DBS SECTIONS CIRCULAIRES DANS LES SURFACES, CtC. I^I

l'autre de ces directions fourniront deux séries de sec^ lions circulaires.

Si, au contraire, p'^p, il faudra adopter cos 6=0^ de sorte que le plan sécant passera par Taxe OZ, et sera susceptible de deux directions

^==^taiig<p===±:^y-7^,

auxquelles correspondront encore deux séries de sections circulaires produites par des plans parallèles à ceux que représente cette équation.

On doit remarquer que , dans tous les cas , les plans des cercles seront perpendiculaires à la parabole principale j dont le paramètre est le plus petit,

225. Dans le cas particulier où.p=p\ le paraboloïde elliptique est de résolution j et les deux systèmes (i5) et (16) s'accordent à donner

ff z= 90° avec 9 z=2 go° ;

ainsi il n'y a plus alors qu'une seule série de sections cir** culaires, dont les plans sont tous perpendiculaires à Vaxe de réi^olution OX.

226. Quant au paraboloïde hyperbolique, le coefficient y»' est négatif: ainsi les deux systèmes (id) et (16) étant l'un et l'autre imaginaires, cette surface ne peut être coupée suii^ant un cercle par aucuji plan; et l'on pouvait prévoir celte conséquence, en se rappelant (n*^ 163), que dans ce paraboloïde, les sections planes ne sont jamais des courbesyè/Trzé^^.

Toutefois , on pourrait regarder comme un cercle d'un rayon infini^ la section rectiligne fournie par l'hypothèse Q) = o, que nous avons exclue de l'équation (iS)^

172 CHAPIT&E X.

car alors l'ëquatiou (i4) donne

tange

valeur qui sera réelle quand p^ sera négatif, et qui réduit l'équation (12) au premier degré.

227. Les deux séries de sections circulaires qui existent dans toute surface du second ordre , à l'exception du paraboloïde hyperbolique, présentent entre elles une relation bien remarquable (*) : c'est que deux cercles quelconques, appartenant à des séries différentes j sont toujours situés FiG. ag. sur une même sphère. Soient en eflet, AE et B'E' deux cercles non parallèles, qui devant se trouver (n*' 221) perpendiculaires à un même plan principal, peuvent être représentés simplement par leurs projections sur ce plan. En élevant par le centre I une perpendiculaire IC au cercle AE , et cherchant sur cette droite un point C également éloigné de E^ et de E , on aura le centre d'une sphère qui passera par la circonférence AE et par le point E'. Cela posé, cette sphère ayant avec la surface du second degré une courbe plane AE de commune , ne pourra la couper de nouveau (n** 206) tpie suivant une courbe plane passant par E', et qui sera nécessairement un cercle, puisqu'elle se trouvera aussi sur la sphère. Cette courbe de sortie devra donc coïncider avec une des deux sections circulaires E'B', E'A', qui seules peuvent passer par E' sur la surface du second ordre \ mais il faut évidemment rejeter la circonférence F/ A' parallèle à ElA, parce que , dans une sphère , deux cercles parallèles auraient toujours leurs centres sur un même diamètre per-

{*) Cette proposition est due à M. Hachette.

DBS SBCTIONS CI&CULAIHES DANS LES SURFACES, etC. 178

pendiculaire à leurs plans, et qu'ici le diamètre lOr étant conjugué avec les cordes AE, A'E', ne saurait les couper à angle droit, à moins que la surface ne soit de révolution, auquel cas les cercles A'E' et B'E' coïncident Tun avec l'autre. U est donc certain que la circonférence B'E' sera toujours la courbe de sortie , et qu'ainsi elle est située sur une même sphère avec le cercle AE.

.'«asssa

Des plans diamétraux conjugués obliques.

228. Dans les surfaces douées d'un centre, et qui, rapportées à leurs plans principaux, sont représentées par

(i) Vx" H- py -h P'V = H ,

nous avons remarqué que ces plans rectangulaires étaient conjugués entre euXj c'est-à-dire que chacun coupait en deux parties égales les cordes qui sont parallèles à Vintersection des deux autres^ mais comme il existe (n*^ 106) une infinité de plans diamétraux obliques à leurs cordes, on doit prévoir que , parmi tous ces plans , il y en aura qui, pris trois à trois, formeront aussi un système de FiG. 3o. plans conjugués. Pour les obtenir, je mène par le point O un plan diamétral

(2) Rx 4- Sr -h Tz = o ,

de direction arbitraire, pourvu qu'il coupe la surface suivant une courbe à centre ABD. Je cherche le diamètre 071 qui est conjugué avec ce plan, et pour cela j'identifie l'équation (2) avec ceUé d'un plan diamétral

c'est-à-dire ici

(3) mVx -h nV'y -h P'^z = o ,