DES PLANS DIAMÉTBAUX CONJUGUÉS OBLIQUES. I^S

ce qui me donne les relations

/wP /zP' P''

d'où je tirerai pour m et n des valeurs qui détermineront le diamètre OZ' par les équations

(4) J? = mz, y = nz.

Cela posé, les plans qui seront conjugués avec A6D devront évidemment passer, d'après leur définition , par la ligne OZ', et ils couperont le plan ABD suivant deux droites inconnues OX', OY', telles que si je les prends avec 021 pour axes coordonnés obliques , l'équation de la surface ne renfermera que des puissances paires des trois variables (n° 102), et se présentera sous la forme

(5) Ax'» -h ky^ -h M'z '» = K ; mais si alors on posait z' = o, le résultat

A^" H- My'^ = K

serait l'équation de la section ABD rapportée aux axes inconnus OX', OY'. Or, par sa forme elle prouve que ces axes doivent être deux diamètres conjugués quelconques de la courbe ABD; d'où il suit qu'en traçant à volonté deux diamètres de ce genre , on déterminera trois 'plans X'OY', X'OZ', Y'OZ', qui seront conjugués dans la surface. Le nombre des systèmes qui auront de communs le diamètre OZ' et le plan ABD sera infini , et les mêmes conséquences se reproduiront pour les diverses positions que l'on voudra donner à ce premier plan.

229. On doit observer, i^ que quand le plan diamétral ABD sera perpendiculaire à un des plans principaux

de la surface , le diamètre conjugué OZ' sera nécessaire*ment dans ce plan principal ; cela résulte évidemment de la forme que prennent alors les équations (3) et (4), 2^ qu'en laissant quelconque la direction du plan ABD , les deux autres plans conjugués avec lui pourront passer par les axes principaux de cette section, et alors, parmi les trois diamètres conjugués OX', OY', OZ', les deux premiers seulement seront perpendiculaires entre eux; 3^ si Ton choisit pour le plan ABD une des trois sections principales de la surface , le diamètre correspondant OTl deviendra nécessairement un axe principal , et les deux angles Z'OX', Z'OY' seront droits, tandis que le troisième, X'OY', pourra être quelconque. Mais on peut affirmer que jamais tes trois diamètres ne seront à la fois perpendiculaires, chacun sur les deux autres, qu'autant qu'ils coïncideront avec le système des tixes principaux, lequel est unique (n^ 118) tant que la surface n'est pas de révolution.

230. Dans l'hyperboloïde à une nappe, le premier plan diamétral ABD pourrait se trouver dirigé parallèlement aux sections paraboliques, et alors la courbe ABD se réduirait à deux droites \ mais un pareil plan ne pourrait servir à former un système de plans conjugués , car le diamètre OZ', qui lui correspondrait, serait (n® 194-) situé lui-même dans le plan sécant ABD.

Quant à l'hyperboloïde à deux nappes , le plan ABD mené par le centre pourrait donner une section imaginaire ; mais alors il suffirait évidemment de prendre OX' et OY' parallèles à deux diamètres conjugués d'une section réelle , faite par un plan parallèle à ABD ; car en posant dans l'équation (5), i?' = A au lieu de z' = o, les mêmes raisonnements sont applicables.