D'après les relations trouvées n*'* 228 et
DES PLANS DIAMETRAUX CONJUGUES OBLIQUES. I77
entre trois diamètres conjugués , on peut facilement étendre aux surfaces du second ordre les propriétés connues dont jouissent les carrés et les parallélogrammes construits sur les diamètres conjugués des courbes de cet ordre.
Soient OX, OY, OZ, les directions des axes principaux <2 , i , c d'une surface du second degré , ces axes pou- bu. vant être tous réels, ou quelques-uns imaginaires^ la surface sera représentée par Téquation
et aussi par
si on la rapporte à trois diamètres conjugués quelconques,
Cela posé (*), si nous substituons à ce dernier système les trois diamètres
dont les deux premiers soient conjugués entre eux dans le plan X'OY', et dont Fun , a\ soit Tintersection de ce plan avec XOY, nous obtiendrons un second système de trois diamètres conjugués dans la surface (n^ 228)^ mais les diamètres a' et b\ a" et b"^ appartenant à la même courbe, savoir, la section de la surface parle plan X'OY', auront entre eux la relation connue
(^ Cette démonstration est de M. J. Binet. (Voyez Correspondance sur l'École Polytechnique , yol. II , page 79.)
ï-jS CHAPITRE XI.
«t l'on doit remarquer que le plan Y"OZ' contiendra (n** 229) Taxe OZ , puisque le diamètre OX'' est dans le plan principal XO Y. Maintenant, nous continuerons d'avoir trois droites conjuguées , si , en gardant OX" = a\ nous remplaçons les autres b" et c\ par deux nouveaux diamètres conjugués situés dans le même plan Z!OY'\ et dont l'un , Oy^ = &*, soit Tîntersection de ce plan avec XOY ; mais alors a" eth^ se trouvant tous deux dans le plan principal XOY, le conjugué de b" devra (n° 229) coïncider avec l'axe principal OZ = c -, de sorte que ce troisième système
ayant avec le précédent un diamètre commun, donnera, entre les autres qui appartiennent à la même courbe , dans le plan Z'OY" ou ZOY^ la relation
Enfin , si nous comparons ce troisième système avec celui des axes principaux ,
OX = a, QTi—h, OZ = c,
il y aura un diamètre commun, et les autres se trouvant conjugués deux à deux dans la section faite par le plan XOY, fourniront la relation
de sorte qu'en ajoutant membre à membre les équations (6) , (7) et (8), il viendra
(9) a '2 ^ A '* -f- c'» = a» + ft* -h c%
résultat qui démontre que dans une surface du second
J>ES PIANS DIAMÉTBAUX CONJUGUÉS OBLIQUBS. I79
ordre , la somme des carrés de Irais diamètres conjugués ^quelconques est constante y et égale à la somme des carrés des trois axes principaux. Toutefois, quand un ou deux des axes seront iniagiiiaire3 , il y aura évidemment, parmi les trois diamètres conjugués, un même nombre de diamètres qui seront imaginaires, et il faudra changer le signe du carré de cçs axes et de ces diamètres dans l'équation (9).
232. On peut démontrer, par les mêmes considéra'^tiens, que le volume du parallélipipède construit sur trois diamètres conjugués est égal au volume de celui gui serait construit, sur les trois axes principaux. Employons çn effet la mêmç succession de diamètres que ci* de$su3, et en désignant chaque parallélipipède par ses trois arêtes, mous aurons d'abord
vol. («', b%c')z=Yo\.{a'\ h\ c');
car ces deux corps ont la même hauteur, et des bases équivalentes, qui sont les parallélogrammes construits sur les deux systèmes de diamètres conjugués a' et b\ a" et b'\ lesquels appartiennent à la même courbe située dans le plan X'OY'. Par des raisons semblables , on trouvera que
vol. {a\ h\ c') = vol. (a", 6 «', c) = vol. (a , ^ , c);
d'où ronxonclura
vol. (a', 6', c') = vol. (a, ^, c).
On verra, au chapitre des plans tangents, que les parallélipipèdes ainsi formés sont tous circonscrits à la surface du second ordre.
233. Quant aux surfaces dépourvues de centre, et comprises dans Téquation à coordonnées rectangulaires
(lO) p*y^ -^pz^=pp'Xf
l8o CHAPITRE XI.
^ la formule générale du plan diamétral devenant ici
(il) iip'ny-{- ipz^pp'm^
montre que tous les plans de ce genre sont parallèles à Taxe OX ; et par suite leurs intersections mutuelles , que ^l'on nomme les diamètres de la surface , étant des droites parallèles entre elles , ne peuvent servir à former un système d^axes coordonnés : ou bien , trois plans diamétraux choisis comme on voudra, ne peuvent jamais être conjugués entre eux (n9 102). Mais si Ton veut trouver trois plans coordonnés obliques analogues à ceux de Féqualion (lo), c'est-à-dire dont deux soient diamétraux j et tels que chacun de ceux-ci soit conjugué avec les cordes parallèles à Tintersection des deux autres , on se donnera à volonté un premier plan diamétral de la forme
(12) Rj-hS3 = T,
FiG. 3i. lequel coupera nécessairement la surface suivant une parabole AO'B; puis, en identifiant les équations (11) et (12), on calculera les constantes m et n qui déterminent la direction des cordes conjuguées avec A(yB. Cela posé, en menant par un point arbitraire CK un axe OZ' parallèle à ces cordes, les deux autres plans cherchés devront passer par O'Z' et couper le plan AO'B suivant deux lignes inconnues O'X', C Y', telles que l'équation de la surface rapportée à ces axes ne renferme pas de puissances impaires de j^ ni de ^, ou bien qu'elle ait la forme
or, si l'on y pose z' = o, on trouve pour la courbe ACX B,
DES PLANS DIAMETRAUX CONJUGUÉS OBLIQUES. l8l
équation dont la forme prouve que les deux axes inconnus OX' et OY' doivent être formés par un diamètre de la parabole ACB, et par la tangente correspondante. Par là, la position du second plan diamétral Z'O'X' est déterminée, ainsi que celle du troisième plan coordonné Z'(y Y'; mais comme le point (X avait été choisi arbitrairement sur la parabole A(yB, il y aura une infinité de systèmes qui aiut)nt de copimun le plan de cette courbe. On peut d'ailleurs reconnaître que le plan non diamétral TIO'Y est tangent à la surface, puisqu'il passe par deux tangentes, (f^oyez chap. XID.)
GHAPIT&E XII.
»■ I ' .^Ji
Discussion immédiate d'une équation numérique du
second degré.
^i. Nous nous proposons ici d'établir des caractères qui, sans recourir à la transformation des coordonnées , puissent faire distinguer le genre et la forme particulière d'une surface du second ordre , représentée par une équation en coordonnées rectangulaires ou obliques , dont les coefficients sont des nombres connus et réels. Soit cette équation
-4- 2(lr -h 2C>- -f- aCz -+•£ )"~*^'
ayant tout, il faudra chercher, d'après la marche indiquée au n® 95, si la surface admet un centre, et calculer les coordonnées de ce point. On égalera donc à zéro les trois dérivées du premier membre de l'équation (i), en posant
(2) Ax, 4- B'z, -f. B'>-. -h C = o,
(3) My, -f- Ba, -h B "x, -f- C = o,
(4) M'z, -h Bj, -h Wx, -hC''= o;
d'où l'on déduira pour les coordonnées du centre ,
DIRSCTION IMMIÉDIATE D^UNE EQUATION NUMÉRIQUE, etC. lQ'6
valeurs dans, lesquelles
D = AB» + A'B'» -h A"B''» — AA'A" — 2BB' B'^
et où les numérateurs auraient une forme que n<^u8 avons citée au n^ 95 , mais qui n'est pas utile à rappeler ici , parce qu'il sera toujours plus simple, dans chaque exemple donné, de résoudre directement les équations numériques (2), (3), (4)j que de recourir à des formules littérales où l'on rencontre quelquefois des indéterminations qui ne sont qu'apparentes. Cela posé, comme les coordonnées du centre peuvent être toutes finies et déterminées j ou bien quelques-unes se trouver infimes ou indéterminées j nous partagerons la discussion en deux cas principaux.
PHSMIKE CAS : D "^ O.
235. Dans ce cas, la surface (1) admet ufi centre uni-- €fue; et si l'on y transporte les axes parallèlement à euxnaèmes, son équation deviendra
(5) kx^ -h Ay -f- AV H- 2Bj« -h 2B'2a: -h aB^o?/ = H ,
où nous savons (n^ 95) que tous les coefficients sont les mêmes que dans (i), excepté le terme constant H qui, passé dans le second membre , aurait pour valeur
^ ( A^; -f- My\ 4- k"z\ -h 2B/,z, 4- 2B'z»ar, -+- aB'^jr, j»
Mais cette expression peut être beaucoup réduite, en vertu des équations (2) , (3) et (4) \ car si l'on multiplie ces dernières respectivement par Xx^jx^z^^ et qu'on les ajoute à la valeur de H , celle-ci deviendra
1 84 GUAPITRE^XII .
expression facile à calculer quand on connaîti^a les valeurs numériques des coordonnées 0:4, j^i, ^1. D'ailleurs, pour abréger la discussion, nous admettrons toujours dans ce qui va suivre , qu'on a eu soin de rendre positif da^s le second membre le terme constant H.
236. Cela posé , si la quantité H se trouve nulle , la surface proposée est un cône ou un point unique. En eâet , si nous combinions Téquation (5) privée de second membre , avec celle d'un plan quelconque mené par Tongine ,
ZZ=1 OLX -f- €7",
il est bien clair, sans effectuer les calculs, que le résultat aurait la forme homogène
aj2 -f- bxy -h cx"^ z= o, d*où - = /? d~ Vy •
Or, ces valeurs constantes prouvent que toutes les sections sont (composées de deux droites passant toujours par l^ origine; ainsi la^ surface est bien un cône, lequel néanmoins se réduirait à un point unique ji:=o , ^ = , ^ =r o , si le radical était constamment imaginaire , quels que fussent a et 6. Mais ce dernier cas se distinguera tout de suite , et sans calculer lé radical qui précède , en examinant si un plan tel que z = k donne une section imaginaire.
237. Lorsque le terme constant H ne sera pas nul, Féquation (5) ne pourra représenter qu'un ellipsoïde ou l'un des deux hyperboloïdes , surfaces qui diffèrent les unes des autres par le nombre des axes réels ou imaginaires qu'elles admettent. Nous allons donc chercher une relation entre ces axes et les coefficients de l'équation (5), en supposant d'abord que les coordonnées sont rectan-
DISCUSSION IMMÉDIATE d'uNE ÉQUATION NUMÉRIQUE, etC. l85
gulaires^ mais nous ferons voir ensuite que les règles obtenues ainsi, s'appliquent également aux coordonnées obliques.
Les axes d'une surface étant (n*^ 104) les intersections mutuelles des plans principaux, ne sont autre chose que ies trou coî*des principales qui passent par le centre , et dont la direction çst déterminée par les constantes m et n employées au n** 109. Ainsi , une quelconque de ces trois cordes sera représentée par les équations
et en les combinant avec (5), on obtiendra pour le point de rencontre avec la surface proposée ,
kjm} 4- k'n" -h A" 4- 2B« -|- aB '/w 4- aB "mn '
d'où il suit qu'en appelant R la longueur de cette demicorde principale, réelle ou imaginaire, on aura pour le carré d'un quelconque des trois demi-axes de la surface ,
ou bien
^ ^ A/7î'4-AV4-A''4-2B/2 4-2B'/w4-2B"/w/i'
Maintenant , les valeurs des constantes m et n , ainsi que celle de l'inconnue auxiliaire 5 dont nous avons fait dépendre les premières, sont déterminées (n** 109) par les équations
(7) A/w 4- B' H- B''« = msy
(8) A'/2 4-B 4-B''ot=/i^,
l85 CBAMTRB XII.
le^uelles nous ont conduit par Tâimination de m et n, k la suivante
(10) j»-.j«(A-hA'-hA'')-*(B''* — AA'H-B'*-AA''4-B'-A'A'') -h(AB»-h A'B'«-+- A^B"* — AA'A" — îBB'B") = o.
Mais si Ton ajoute les équations (7), (8) et (9), après avoir multiplié la première par m et la seconde par /i , on trouve aussi
__ A m* -h Afn* -+• M' H- 2B/1 -j- 2B^/yi -h 2B^/w/i
r^ultat qui , compare avec la formule (6), conduit à la relation bien remarquable
