II) '=5F

On voit par là que les trois racines de Téquation (lo) sont toujours

en désignant par a , & , c , les valeurs analytiques des trois demi-axes de la surface (5) , c'est-à-dire les distances du centre aux points réels ou imaginaires où cette surface rencontre ses trois diamètres principaux ^ de sorte que si Ton prenait la peine de résoudre Téquation (lo), on pourrait calculer aisément les longueurs des trois axes , et fixer ensuite leurs positions au moyen des valeurs de m et n qui correspondraient dans (7) et (8) à chaque racine de s. Mais, pour le but que nous nous proposons ici , il suffit d'observer que l'expression analytique de chacun

des demi-axes ne pouvant avoir que la forme a ou a V — i > k carré R* n'aura que des valeurs réelles , et positives ou

DISCUSSION IMmÉDIATE D*UNB ÉQUATIOIT NUMERIQUE, etC. iS^

négatives; d'où il résulte : i° que Véquation (lo) a toujours ses trois racines réelles, ainsi que nous Tavions déjà prouvé dans la note du n° 109; 2^ que chaque racine positive indique l'existence d'un axe réel, et que chaque racine négative correspond à un axe imagi-noire, puisque nous avons admis que le terme H avait été rendu positif. Or, comme le nombre des racines positives ou négatives peut être fixé par la règle de Descartes , à Tinspection seule de Téquation (i o) , et sans la résoudre , nous déduirons de là les règles pratiques qui suivent.

238. Avec les coefficients numériques de Téquation (5) danfi laquelle on aura soin préalablement de rendre positif le terme constant H passé dans le second membre, on formera immédiatement Téquation (10), et Ton examinera quel est le nombre de variations et de permanent ces de signes que présentent ses différents termes:

i^. Si Téquation (10) offire trois variations , toutes ses racines sont certainement positives : donc alors la surface (5) admettra trois axes réels, et sera un ellipsoïde.

2^. Si réquation(io) renferme deux variations et une permanence , elle aura deux racines positives et une négative ; d'où Ton conclura que la surface (5) admet dlors deux axes réels et un axe imaginaire : ainsi c'est un ht- PEUBOLOÏDBÀ une nappe.

3^» Lorsque l'équation (10) offiîra une variation et deux permanences, elle aura une racine positive et deux négatives; par conséquent la surface (5) ayant alors un seul axe réel et deux imaginaires, sera un hyperboloïde à deux nappes.

4^, Enfin, quand l'équation (10) ne présentera que des permanences de signes , toutes ses racines seront négatives, et par suite les axes de la surface (5) seront tous trois imaginaires^ d'où l'on conclura que cette surface

l88 ' CHAPIT&E XII.

est totalement imaginaire, et que réquatiôn (5) est impossible, aussi bieu que Féquation (i) donnée primitivement (*).

239. Ces règles sont aussi applicables aux coordonnées obliques , En effet, concevons que la surface S à laquelle appartient Téquation (5) en coordonnées obliques, soit construite^ puis, pour chaque point M (^fig* i) de cette surface, faisons tourner les deux coordonnées DC ==y , CM = z , de manière à les rendre perpendiculaires entre elles et sur OD=a: qui restera immobile ; par là le point M viendra occuper ime autre position M' dont les coordonnées rectangulaires x', y\ z' auront les mêmes grandeurs que x^ y^ z\ or Tensemble de tous ces nouveaux points M' formera une seconde surface S' qui sera encore représentée évidemment par Téquation (5) avec les mêmes coefficients , mais en y remplaçant a:, j^, z par x',y', z\ et je dis que cette surface S', toujours du se- . cond degré, sera du même genre que S. Car, si cette dernière était un ellipsoïde , il est bien clair que S' sera aussi une surface fermée de toutes parts : si S était un hyperboloïde à une nappe , S' offrira pareillement une nappe unique et indéfinie : enfin , quand S présentera deux nappes séparées par un intervalle imaginaire depuis j; = +a jusqu'à x=: — a, il en sera évidemment de même pour S'. Par conséquent, les règles du n*^ 238 appliquées directement à Téquation (5) en coordonnées obliques, suffiront encore pour assigner le genre de la

{*) Ce mode de discussion avait été indique d^abord par M. Petit; mais il parvenait à la relation (ii) en regardant les demi-axes comme les valeurs maximum ou minimum des rayons vecteurs menés du centre , ce qui est peu satisfaisant pour Taxe moyen de rellipsoîde et pour les axes imaginaires des hyperboloides.

DISCUSSION IMMÉDIATE D^UNE ÉQUATIOM NUMÉRIQUE, etC. 189

surface S' et par suite celui de S ; mais la position et la grandeur des axes de cette dernière ne seront plus fournies par les équations (7), (8), (10) et (ii)*

240. Voici quelques exemples de ces discussions numériques. Soit Téquation

J7' -f- 27* H- Sjz — Qjcy — 6jf 4- 7>* -h 6z -h 7 = o ; en égalant à zéro les trois dérivées, on trouve

2JC — 7.y — 6 — 0,

L ar,= i,

\ d'où

Ces coordonnées du centre étant substituées dans la proposée, donnent H=o; ainsi la surface rapportée à son centre devient

x^ H- 2,y^ -h S/z — 7.xy = o,

et elle ne peut être qu'un cône ou un point. Mais en posant ^ = ^ , on obtient

x^ — nxy -h 2^' -h Zky =r o, d'où

x = y±.sl^{y^^Uyy,

cette section est une ellipse qui ne se réduit pas à un points puisque les deux facteurs du radical sont inégaux^ donc la surface est un cône. Ici cette conséquence pouvait se déduire de ce que Téquation est vérifiée par j? = o etj^ = o, ce qui montre que la surface admet une ligne réelle, savoir, l'axe des z.